1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.3.3　三次函数的性质： 单调区间和极值 第1章　 §1.3　导数在研究函数中的应用 学习目标 1.能利用导数研究三次函数的有关性质. 2.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 3.会求某闭区间上具体函数的最值. 研究高次函数(中学阶段多项式函数不超过三次)时，我们往往通过求导降次的方法，转化为低次函数来处理，从而达到研究的目的.今天我们研究三次函数的有关性质，也可以采取上述的思想方法. 导语 内容索引 一、三次函数的性质：单调区间和极值 二、极值与最值的关系 课时对点练 三、求函数的最值 随堂演练 三次函数的性质：单调区间和极值 一 问题1　回顾函数的单调性与导数的关系，怎样确定三次函数的单调性和极值呢？ 提示　三次函数可以通过求导转化为二次函数，研究二次函数在相应区间上的正、负，可以得到三次函数的单调性，进而确定函数的极值. 三次函数的导数的零点与其单调区间和极值 设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，F′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，填写下表. 当a>0时， F′(x)的零点 F(x)、 F′(x)的性质　 无 x＝ω x＝u和x＝v(u<v) F′(x)的符号 F′(x) >0 F′(x) 0 x∈ 时，F′(x)>0；x∈ 时，F′(x)<0 ≥ (－∞，u)∪(v，＋∞) (u，v) 知识梳理 F(x)的单调性 在(－∞，＋∞)上_________ 在(－∞，＋∞)上_________ 在(－∞，u)，(v，＋∞)上 ，在(u，v)上___________ F(x)的极值 ____ ___ 在x＝ 处取极大值，在x＝ 处取极小值 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减 无 无 u v 知识梳理 当a<0时， F′(x)的零点 F(x)、 F′(x)的性质　　 无 x＝ω x＝u和x＝v(u<v) F′(x)的符号 F′(x) <0 F′(x) 0 x∈____________________ 时，F′(x)<0；x∈______ 时，F′(x)>0 ≤ (－∞，u)∪(v，＋∞) (u，v) 知识梳理 F(x)的单调性 在(－∞，＋∞)上__________ 在(－∞，＋∞)上__________ 在(－∞，u)，(v，＋∞)上 ，在(u，v)上_________ F(x)的极值 无 无 在x＝ 处取极小值，在x＝ 处取极大值 单调递减 单调递减 单调递减 单调递增 u v 知识梳理 例1　已知x轴是曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点A(1，f(1))处的切线. (1)求函数f(x)的解析式； 由题意知f′(x)＝3x2＋a， f′(1)＝0，且f(1)＝0， 所以f(x)＝x3－3x＋2. (2)求函数f(x)的单调区间和极值. f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)， 令f′(x)＝0，得x＝±1. 当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如表所示. x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1). f(x)的极大值是f(－1)＝4，极小值是f(1)＝0. 求解函数的单调区间和极值时，导数值为0的点将整个定义域分为若干个区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中，通过表格可以清楚地判断在相应区间上是单调递增还是单调递减，在哪个点处取得极值，是极大值还是极小值. 反思感悟 13 跟踪训练1　求下列函数的单调区间和极值点： (1)f(x)＝2x3＋3x2＋6x＋1； f′(x)＝6x2＋6x＋6＝6(x2＋x＋1). ∵f′(x)恒为正， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间，无极值点. (2)f(x)＝－2x3＋9x2－12x－7. f′(x)＝－6x2＋18x－12＝－6(x2－3x＋2)＝－6(x－1)(x－2)， 令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝2. 当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如表所示. x (－∞，1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 极大值 递减↘ 故f(x)的单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，单调递增区间为(1,2). x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点. 二 极值与最值的关系 问题2　如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗？ 提示　由题图可得，最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在. 17 问题3　开区间上的连续函数有最值吗？ 提示　如图. 容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到. 18 函数最值的定义 (1)一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a，b]上必有最大值和最小值. (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值. 知识梳理 19 注意点： (1)开区间上的函数不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值. (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件. 知识梳理 20 例2　如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b). 21 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 反思感悟 跟踪训练2　(多选)关于函数的最值，下列说法正确的是 A.导数为零的点一定是函数的最值点 B.函数的最小值一定小于它的最大值 C.f(x)在定义域内一定有最大值或最小值 D.在[a，b] 内的连续函数f(x)一定有最小值和最大值 √ √ 对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，f(0)也不是最值，故选项A不正确； 最小值一定小于最大值，故选项B正确； f(x)＝x－1 没有最值，选项C显然不正确； 选项D正确. 三 求函数的最值 例3　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； 因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]， 当x＝3时，f(x)取得最大值18. 26 所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 27 求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)求函数y＝f(x)在端点处的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大者是最大值，最小者是最小值. 反思感悟 28 跟踪训练3　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]； f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37， ∴当x＝4时，f(x)取得最大值35. 当x＝－2时，f(x)取得最小值－37. 即f(x)在[－2,4]上的最大值为35，最小值为－37. 29 30 令f′(x)＝0，得x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. 31 ∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 32 1.知识清单： (1)三次函数的性质. (2)函数最值的定义. (3)求函数的最值. 2.方法归纳：转化化归、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系. 课堂小结 随堂演练 四 1.下列结论正确的是 A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 1 2 3 4 √ 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而若在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上一定存在最大值和最小值. 35 √ f′(x)＝x2－4， 由f′(x)>0，得x<－2或x>2； 由f′(x)<0，得－2<x<2. 又x∈[0,3]，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， 1 2 3 4 1 2 3 4 3.已知函数f(x)＝ex－2x＋3，则f(x)在定义域上 A.有极小值5－2ln 2 B.有极大值2ln 2 C.有最大值 D.无最小值 因为f(x)＝ex－2x＋3的定义域为R，f′(x)＝ex－2，令f′(x)>0，即ex－2>0，解得x>ln 2，所以f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，得x<ln 2，即f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，所以函数f(x)在x＝ln 2处取得极小值即最小值，所以f(x)min＝f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋3＝5－2ln 2，故有极小值5－2ln 2，即最小值5－2ln 2，无极大值与最大值. √ 4.函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________. 1 2 3 4 由题意知f′(x)＝(x＋2)ex， 当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 因此当x＝－2时，函数有最小值， 课时对点练 五 1.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则 A.－3是函数y＝f(x)的极大值点 B.y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增 C.－1是函数y＝f(x)的最小值点 D.y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 根据导函数图象可知，函数y＝f(x)在(－∞，－3)上 单调递减，在(－3,1)上单调递增，∴－3是函数y＝ f(x)的极小值点，故A错误，B正确； ∵f(x)在(－3,1)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的 最小值点，故C错误； ∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1， ∴导函数f′(x)的图象开口向上， 又∵a≠0， ∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称， ∴其图象必为题图③. 由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴为直线x＝－a>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是 A.a＝0或a＝7 B.a<0或a>21 C.0≤a≤21 D.a＝0或a＝21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ f′(x)＝3x2＋2ax＋7a. ∵函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax(x∈R)不存在极值点，且f′(x)的图象开口向上， ∴f′(x)≥0在x∈R上恒成立， ∴Δ＝4a2－84a≤0， 解得0≤a≤21. 4.函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是 A.5，－15 B.5，－4 C.－4，－15 D.5，－16 √ f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)， 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2， 所以当x∈[0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2,3]时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 所以f(x)min＝f(2)＝－15， 又f(0)＝5，f(3)＝－4，所以f(x)max＝f(0)＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x) <g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为 A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b) C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 令F(x)＝f(x)－g(x)， ∵f′(x)<g′(x)， ∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0， ∴F(x)在[a，b]上单调递减， ∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是 A.f(x)>0的解集是{x|0<x<2} C.f(x)没有最小值，也没有最大值 D.f(x)有最大值无最小值 √ √ √ 由f(x)>0得0<x<2，故A正确； f′(x)＝(2－x2)ex， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值， 故C不正确，D正确. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 令f′(x)>0，得－1<x<1，令f′(x)<0，得x<－1或x>1，所以函数f(x)在(－1,1)上单调递增，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，极大值为f(1)＝1. 又当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→0，所以f(x)的最小值为－1，最大值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知函数f(x)＝x3－ x2－4x＋1. (1)求f(x)的单调区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f′(x)＝3x2－x－4＝(x＋1)(3x－4)， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求f(x)在区间[0,2]上的最值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令f′(x)<0，得1<x≤e， 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ ∴f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2). 由f′(x)＝(x－2)(x＋2)>0， 得x>2或x<－2，此时函数单调递增； 由f′(x)＝(x－2)(x＋2)<0， 得－2<x<2，此时函数单调递减，∴C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f′(0)＝－4，f(0)＝4， ∴它在点(0,4)处的切线方程为y＝－4x＋4，∴D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 A.20 B.18 C.3 D.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，在[－3，－1]和[1,2]上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题意知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A. 14.函数f(x)＝2x3－3x＋1的零点个数为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 当x→－∞时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 所以函数f(x)＝2x3－3x＋1的零点个数为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知直线x＝t与y＝x及y＝2ln x的图象分别交于A，B两点，则|AB|的最小值为 A.1 B.2ln 2－2 C.2ln 2 D.2－2ln 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令f(x)＝x－2ln x，x∈(0，＋∞)， 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(2)＝2－2ln 2，即|AB|最小值为2－2ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x0)是f(x)的一个极值， 所以f′(x)＝x2－2mx＋1＝0有两个不同的解， 所以Δ>0，即m2>1， 所以解得 所以当x＝时，f(x)取得最小值－8； 所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)， 令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝. 因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8， 又x∈[0,2π]，解得x＝或x＝. 因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f ＝＋，f ＝－. (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]. 因为f(x)＝x＋sin x， 所以f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0， (2)f(x)＝. 函数f(x)＝的定义域为R.  f′(x)＝＝， x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 递增↗ 递减↘ ∴f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝. 2.函数f(x)＝x3－4x＋3在[0,3]上的最小值为 A.－ B.－ C.0 D.3 所以f(x)min＝f(2)＝－8＋3＝－. 最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－. － 2.如图所示的图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)等于 A. B.－ C. D.－或 ∴a＝－1，∴f(－1)＝－－1＋1＝－. 因为f′(x)＝1－2sin x，且x∈， 所以f′(x)＝1－2sin x>0在上恒成立. 所以f(x)在上单调递增. 所以f(x)min＝f ＝－＋2cos＝－. 5.函数f(x)＝x＋2cos x在区间上的最小值是 A.－ B.2 C.＋ D.＋1 B.f(－)是极小值，f()是极大值 令f′(x)＝0，得x＝±， 当x<－或x>时，f′(x)<0， 当－<x<时，f′(x)>0， ∴当x＝－时，f(x)取得极小值，当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确； 且f()>0， 8.函数f(x)＝的最小值为______，最大值为______.  f′(x)＝，令f′(x)＝0⇒x＝±1， x (－∞，－1) －1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增↗ 递减↘ － 递增↗ 故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，，单调递减区间为.  f(x)＝x3－x2－4x＋1， 当x＝－1或时，f′(x)＝0. 由(1)知，f(x)在上单调递减，在上单调递增，  x＝为极小值点，f(0)＝1，f ＝－，f(2)＝－1， 所以f(x)在区间[0,2]上的最小值为－，最大值为1. 得即解得 10.已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切. (1)求a，b的值；  f′(x)＝－2bx(x>0). 由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， (2)求f(x)在上的最大值. 由(1)得f(x)＝ln x－x2.  f′(x)＝－x＝，x∈. 令f′(x)>0，得≤x<1， 所以f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－. 11.各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的是十进制.通常我们用函数f(x)＝·表示在x进制下表达M(M>1)个数字的效率，则下列选项中表达M个数字的效率最高的是 A.二进制 B.三进制 C.七进制 D.十进制 －＝＝<0， 所以<，所以f(3)最大，即三进制效率最高. 设g(x)＝，则g′(x)＝， 所以g(x)max＝g(e)＝， 由于f(x)中x∈N＋，下面比较和的大小即可. 12.(多选)关于函数f(x)＝x3－4x＋4，下列说法正确的是 A.它的极大值为，极小值为－ B.当x∈[3,4]时，它的最大值为，最小值为－ C.它的单调递减区间为[－2,2] D.它在点(0,4)处的切线方程为y＝－4x＋4 ∵函数f(x)＝x3－4x＋4， 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值f(－2)＝， 当x＝2时，函数f(x)取得极小值f(2)＝－，∴A正确； 当x∈[3,4]时，f(x)单调递增，它的最大值为f(4)＝－4×4＋4＝， 最小值为f(3)＝－4×3＋4＝1，∴B错误； 所以当x＝－时，f(x)取得极大值1＋>0； 当x＝时，f(x)取得极小值1－<0， 令f′(x)＝6x2－3＝0，解得x＝±， 所以f(x)在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 则f′(x)＝1－＝. 16.已知函数f(x)＝x3－mx2＋x，m∈R. (1)当m＝时，求函数y＝f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值； x 0 2 (2,3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 0 递增↗ 递减↘ － 递增↗ 当m＝时，f(x)＝x3－x2＋x，  f′(x)＝x2－x＋1＝(x－2)， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝2. 所以当x＝2时，f(x)取得最小值－； 当x＝3时，f(x)取得最大值. (2)若f(x0)为f(x)的一个极值，求证：<0. 且f′(x0)＝x－2mx0＋1＝0，即x－2mx0＝－1， 所以 ＝ ＝(x－2mx0)－m2＋1＝－m2＋<0. $$