第1章 习题课 导数与函数的单调性的综合问题-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

习题课　导数与函数的单调性的综合问题 [学习目标]　1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.2.能求简单的含参数的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围． 一、求含参数的函数的单调区间 例1　讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性． 解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax＋1－＝. ①当a＝0时，f′(x)＝， 由f′(x)>0，得x>1； 由f′(x)<0，得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ②当a>0时，f′(x)＝， ∵a>0，∴>0. 由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 反思感悟　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝aln x＋x，讨论f(x)的单调性． 解　∵f(x)＝aln x＋x(x>0)， ∴f′(x)＝＋1＝(x>0)， ①当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a<0时，令f′(x)>0，则x∈(－a，＋∞)， 令f′(x)<0，则x∈(0，－a)， ∴f(x)在(－a，＋∞)上单调递增，在(0，－a)上单调递减． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，f(x)在(－a，＋∞)上单调递增，在(0，－a)上单调递减． 二、由单调性求参数的取值范围 问题1　对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？ 提示　在x＝0的左右两侧，都有f′(x)>0，且该函数在x＝0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数．也就是说对于导函数有有限个等于0的点，不影响函数的单调性，其实即便是有无数个不连续的点使得f′(x)＝0，也不会影响函数的单调性，比如f(x)＝x－sin x，它的导函数f′(x)＝1－cos x≥0恒成立，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，f′(x)＝0，但这并不影响函数f(x)＝x－sin x在R上单调递增． 问题2　对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？ 提示　不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f′(x)≥0成立的条件是f′(x)＝0，即该函数无单调递增区间． 知识梳理 在某区间D上，若f′(x)>0⇒函数f(x)在D上单调递增；在某区间D上，若f′(x)<0⇒函数f(x)在D上单调递减． 若函数f(x)在D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在D上单调递减⇒f′(x)≤0. 注意点： (1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题．(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max.m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.(3)需要对等号进行单独验证． 例2　已知函数f(x)＝x3－ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围． 解　f′(x)＝x2－a，因为f(x)是R上的增函数，故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立， 即a≤(x2)min，所以a≤0. 延伸探究　 1．本例函数不变，若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最大值． 解　由题意，得f′(x)＝x2－a在有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤1，故实数a的最大值是1. 2．本例函数不变，若函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 解　由题意，得f′(x)＝x2－a在(2，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立， 即a≤x2恒成立，即a≤4. 反思感悟　(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)． 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　D 解析　因为函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，所以f′(x)＝x2＋2x＋m≥0或f′(x)＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立， 所以Δ＝4－4m≤0，解得m≥1. (2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1,3) C．(－2,2) D．不存在这样的实数k 答案　B 解析　由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根． 又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2， 故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内， ∴k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1， 解得1<k<3或－3<k<－1. 三、函数图象的增长快慢的比较 问题3　观察图象，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系． 提示　由图象可知若f′(x)>0，则f(x)单调递增，而导数值的大小不同决定了函数增长得快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长得就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)单调递减，显然越大，函数f(x)递减得就越快． 知识梳理 函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上有意义，则 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注意点： 分析图象的变化要比较的是导数的绝对值的大小关系，而不是导数本身． 例3　如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由y＝f′(x)，y＝g′(x)的图象知，y＝f(x)，y＝g(x)的图象都是上升的，但是y＝f(x)增长得越来越慢，y＝g(x)增长得越来越快，排除答案A，C；又因为f′(x0)＝g′(x0)，所以两个函数在x0处的切线斜率相同，故答案选D. 反思感悟　(1)原函数的增减取决于导数的符号：正则增，负则减． (2)原函数变化的快慢取决于导数的绝对值：大则快，小则慢． 跟踪训练3　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) 答案　A 解析　函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上单调递增，∴对任意的a<x1<x2<b，有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)， 即在a，x1，x2，b处它们的斜率是依次增大的． ∴A项满足上述条件． 1．知识清单： (1)求含参数的函数的单调区间． (2)由单调性求参数的取值范围． (3)函数图象增长快慢的比较． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论． 1．若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　) A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤ 答案　A 解析　∵f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立， ∴a≤0. 2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) 答案　D 解析　由函数的图象可知，当x<0时，函数单调递增，导数始终为正，故排除A，C项；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D. 3．若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　) A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1 C．a<－1或a>2 D．a<－2或a>1 答案　D 解析　若函数f(x)有3个单调区间， 则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点， 故Δ＝16a2＋16(a－2)>0， 解得a<－2或a>1. 4．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围是________． 答案　(－∞，－1] 解析　∵f(x)在(－1，＋∞)上单调递减， ∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立． ∵f′(x)＝－x＋， ∴－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立， 即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立． 设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1， 则当x>－1时，b≤g(x)min， ∵g(x)>－1，∴b≤－1. 1．设函数f(x)＝2x＋sin x，则(　　) A．f(1)>f(2) B．f(1)<f(2) C．f(1)＝f(2) D．以上都不正确 答案　B 解析　f′(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)<f(2)． 2．若函数f(x)＝ex－(a－1)x＋1在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(e＋1，＋∞) B．(e－1，＋∞) C．[e＋1，＋∞) D．[e－1，＋∞) 答案　C 解析　因为f(x)＝ex－(a－1)x＋1在[0,1]上单调递减，所以f′(x)＝ex－(a－1)≤0在[0,1]上恒成立，即a≥ex＋1在[0,1]上恒成立，又函数g(x)＝ex＋1在[0,1]上单调递增，所以g(x)≤e＋1，故a≥e＋1. 3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上单调递减，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上单调递增，则a等于(　　) A．1 B．2 C．0 D. 答案　B 解析　∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上单调递减，∴≥1，得a≥2；∵g′(x)＝2x－，依题意，得g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即2x2≥a在(1,2)上恒成立，∴a≤2，∴a＝2. 4．已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有(　　) A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 答案　B 解析　由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0， ∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0. 5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是(　　) 答案　D 解析　检验易知A，B，C均适合，D选项y＝f(x)和y＝f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D. 6．(多选)函数f(x)＝ax2－x＋2ln x单调递增的必要不充分条件有(　　) A．a≥2 B．a＝2 C．a≥1 D．a>2 答案　AC 解析　由函数f(x)＝ax2－x＋2ln x在区间上单调递增， 得f′(x)＝ax－(a＋2)＋＝≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即ax2－(a＋2)x＋2≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， ①当a＝0时，－2x＋2≥0⇒x≤1，不满足题意； ②当a<0时，ax2－(a＋2)x＋2 ＝a(x－1)≥0， 又<0， 即(x－1)≤0⇒0<x≤1，不满足题意； ③当a>0时，ax2－(a＋2)x＋2 ＝a(x－1)≥0， 又>0，若ax2－(a＋2)x＋2≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 则Δ＝(a＋2)2－8a＝(a－2)2≤0⇒a＝2； 当a＝2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 综上，函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x单调递增的必要不充分条件可以是a≥2或a≥1. 7．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为______________． 答案　－ 解析　f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex， 因为f(x)的单调递减区间是， 所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1， 即 解得m＝－. 8．已知f(x)＝x3＋x2－6x＋1在上单调递减，则m的取值范围为________． 答案　[－5,5] 解析　∵f(x)在上单调递减， ∴f′(x)＝x2＋mx－6≤0在上恒成立， 又f′(x)＝x2＋mx－6是图象开口向上的二次函数，要想使f′(x)≤0在上恒成立， 只需即 解得－5≤m≤5，则m∈[－5,5]． 9．设函数f(x)＝x2＋ax－3a2ln x，其中a∈R.讨论f(x)的单调性． 解　f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋a－＝＝， 令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－a， ①若a＝0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a<0，则当0<x<－a时，f′(x)<0，当x>－a时，f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增； ③若a>0，则当0<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a＝0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增； 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间． 解　(1)∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2， ∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4. 又f(1)＝3， ∴切点坐标为(1,3)，切线斜率为4， ∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)， 即4x－y－1＝0. (2)函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)， 由f′(x)＝0得x＝－a或x＝. 当a>0时，由f′(x)<0，得－a<x<， 由f′(x)>0，得x<－a或x>， 故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(－∞，－a)和； 当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立，故f(x)在R上单调递增； 当a<0时，由f′(x)<0，得<x<－a， 由f′(x)>0，得x<或x>－a， 故f(x)的单调递减区间为， 单调递增区间为和(－a，＋∞)． 综上，当a>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(－∞，－a)和； 当a<0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和(－a，＋∞)； 当a＝0时，f(x)的单调递增区间为R，没有单调递减区间． 11．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是(　　) 答案　B 解析　由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B. 12．若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，4] C．(－∞，8] D．[－2,4] 答案　B 解析　易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex. ∵函数f(x)在区间上单调递增，等价于x2＋(2－c)x－c＋5≥0对任意x∈恒成立， ∴c≤对任意x∈恒成立． ∵x∈，∴＝x＋1＋≥4， 当且仅当x＝1时等号成立，∴c≤4. 13．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则不等式的解集为(　　) A．(0,1) B. C. D．(2,4) 答案　A 解析　若图中实线部分曲线为函数y＝f(x)的图象，则虚线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在区间(0,4)上的单调递减区间为(0,2)， 但函数y＝f(x)在区间(0,2)上不单调，不符合题意； 若图中实线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象， 则函数y＝f(x)在区间(0,4)上的单调递减区间为，单调递增区间为，符合题意． 由图象可知，不等式的解集为(0,1)． 14．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________． 答案　[－1,1) 解析　令f′(x)≤0，即3x2－12≤0， 解得－2≤x≤2. ∴f(x)的单调递减区间为[－2,2]， 由题意得(2m，m＋1)⊆[－2,2]， ∴解得－1≤m<1. 15．函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是(　　) A．a∈ B．a∈ C．a∈∪ D．a∈ 答案　A 解析　由f(x)＝ax3＋x2＋5x－1，得f′(x)＝3ax2＋2x＋5， 当a＝0时，由f′(x)＝0，解得x＝－，函数f(x)有两个单调区间； 当a≠0时，f′(x)为二次函数，由Δ＝4－60a>0，解得a<，即a<0或0<a<，此时函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间． 综上所述，a∈(－∞，0)∪是函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的充要条件，结合选项得a∈是其必要不充分条件． 16．已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1)． (1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝－时， f(x)＝－x2＋ln(x＋1)(x>－1)， f′(x)＝－x＋＝－(x>－1)． 当f′(x)>0时，解得－1<x<1； 当f′(x)<0时，解得x>1. 故函数f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． (2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减， 所以f′(x)＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立， 即a≤－对任意x∈[1，＋∞)恒成立． 令g(x)＝－，x∈[1，＋∞)， 易求得在区间[1，＋∞)上，g′(x)>0， 故g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增， 故g(x)min＝g(1)＝－，故a≤－. 即实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$