第1章 培优课 与ex，ln x有关的常用不等式-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 培优课 与c',lnx有关的常用不等式 一、经典不等式e≥x十1 例1证明不等式e≥x十1 证明设fx)=e一x一1， 则f=e-1,由(x)=0,得x=0, 所以当x<0时，fc)0:当0时，f(r)>0,所以x)在rc\)(avs4\al\co1(-∞，0) 上单调递减，在rc)(a\vs4al\col(0,+o)上单调递增，所以fx)≥o)=0,即c-x-1 ≥0，所以e≥x+1 反思感悟与e有关的常用不等式 (I)e≥1+xx∈R). (2)e≥eacr∈R). 跟踪训练1求证：c-1≥x 证明方法一令Hx)=e-1一x, 则H'(x)=c-1一1 若x<1,则H′(x)0,H(x)在(-∞，1)上单调递减： 若>1，则H′)>0，Hx)在(1，+∞)上单调递增. ∴.Hx)am=H1)=0,∴.H(9≥0， '.c-1≥x 方法二令t=x-1,则x=t+1.由e≥t什1，得e-1≥x 二、经典不等式lnx≤x一1 例2证明不等式nx≤x一1， 证明由题意知>0，令x)=x一1一lnx, 所以f”)=1-1x=x-1x, 所以当()0时，x>1: 当fc)0时，0x<1, 故fx)在(0，I)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以x)有最小值1)=0， 故有f)=x-1-lnx≥f1)=0, 即nx≤x-1成立. 延伸探究 1.证明不等式lnc十1)≤x 证明由题意知一1，令x)=lnx+1)一x,所以f(x)=1x+1一1=-xx十1， 所以当fx0时，一1<x<0: ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当(0时，x>0,故x)在（一1.0）上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 所以有最大值0)=0. 故有fx)=ln(xr+1)一x≤f0=0, 即lnr十l)≤x成立， 2.已知x0,求证：x1+x<n(1+x) 证明方法一构造函数g9)=ln(1十x)-x1十x,则g0)=0 当x0时，g'(6x)=11+x-f1x(10)2) =x1+x2>0, 即当x>0时，函数gx)单调递增. 即gx)Pg0)=0. 故gx9=ln(1+x)-x1+x>0, 即x1+x<n(1十x). 方法二lnx≤x-1,且当x=1时等号成立 .ln1x+1<1x+1-1(>0) 即ln1x+1<-xx+1, .xx+1<n(c+1). 反思感悟与lnx有关的常用不等式 (I)x一1x≤nx≤x一1e>0,当且仅当x=1时，等号戒立). (2)lnx≤xe(>0,当且仅当x=e时，等号成立). (3)lnx≤2x一】x+1(0x≤1，当且仅当x=1时，等号成立). (4)lnx≥2x-1x+1x≥1，当且仅当x=1时，等号成立). (⑤)lnx≥12a\vs4\al\col(x-\f(1x)(0x≤1，当且仅当x=1时，等号成立). (6lnx≤12avs4al\co1(x-\f(1x)c≥l,当且仅当x=1时，等号成立). 跟踪训练2设函数w)=nx一x十1 (I)讨论x)的单调性： (2)证明：当x∈(1，+∞)时，1<x-11nxx (1)解由题意知，x)的定义域为(0，十∞)，f()=1x-1,令f=0,解得x=1 当0x<1时，f(心)>0，x)单调递增： 当°1时，f)<0,x)单调递减. (2)证明由(1)知)在x=1处取得最大值，最大值为1)=0 所以当x≠1时，lnxx-l 故当x∈(1，十∞)时， Inxx-1,Inlx<1x-1, 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 即1<x-1lnXx 三、与e和lnx有关的不等式 例3己知函数x)=ae-lnx-1 (I)设x=2是)的极值点，求a,并求x)的单调区间： (2)证明：当a≥1e时，x)≥0 (1)解x)的定义域为(0，+∞)， f (x)=ae*-1x. 由题设知，f(2)=0,所以a=12e2 从而fx)=12e2e-lnx-1, f (x)=12e2ex-1x. 当0<r<2时，fx)<0: 当x>2时，fc)>0. 所以f)的单调递增区间为(2，十∞)，单调递减区间为(0.2). (2)证明当a≥1e时，x)≥exe-lnx-1 设gx)=exe-lnx-1(x∈(0，+o), 则g'(x)=exe-lx 当0<x<1时，g()<0: 当x>1时，g')>0 所以x=1是gx)的最小值点. 故当x>0时，g)≥g(1)=0 因此，当a≥1e时，x)≥0. 反思感悟与c和lnx>O)有关的不等式之间的关系 e>x十1>xx一1≥nx,常用该不等式通过放缩证明一些问题. 跟踪训练3已知函数x)=x2一(a-2)x-dnx(aeR), (1)求函数y=)的单调区间： (2)当a=1时，证明：对任意的x>0,x)+>x2+x十2 (1)解函数fx)的定义域是(0，十∞)，f()=2x-(a-2)-ax=x+1 2x-a x. 当a≤0时，f()0对任意x∈(0，+∞)恒成立， ∴.函数)在区间(0，十∞)上单调递增： 当a>0时，由f(xP0得x>a2, 由(9)0，得0xa2, ∴.函数fx)在区间a\vs4\al\col(f(a2),+o∞)上单调递增，在区间\a\vs4\al\co1(0,\ f(a2))上单调递减. ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)证明当a=1时，x)=x2+x-lnx,要证明x)十c>x2+x+2, 只需证明e-nx一2>0，先证明当>0时，e>x+1, 令gx)=e-x-160). 则g')=e-1,当x>0时，g'()>0,gx)单调递增， .当x心0时，gr)Pg(0)=0,即e>x+1, ..e-Inx-2>x+1-Inx-2=x-Inx-1. ∴.只要证明x-lnx-1≥0(0)，令hx)=x-lnx-10), 则h')=1一1x=x一1xx0),易知hx)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， .x)≥1)=0，即x-nx-1≥0成立. .fx十e>x2+x十2成立. 课时对点练 1.“心1”是“n>x-1x”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案A 解析不等式lnx>x-1x等价于nx-1+1x0, 令fx)=lnx-1+1x, 则f)=1x-1x2=x-1x2. 当0<1时，)0，当x>1时，fxP0, 所以当x=1时， )取得最小值1)=0， 所以当x>1时，fx)>0,nx>x一1x, 而当nx-1x时，0且x≠1， 所以“>1”是“n>x一1x”的充分而不必要条件。 2.已知在△ABC中，r4<A<B<C<π2，x)=cos xe,则下列结论一定成立的是() A.f)-f(B)fC) B.fA)fB)fC) C.fA)fC)fB) D.fB)fA)C) 答案A 解析f(x)=(-sinx)e+cos xe=(cosx-sin x)e, 当r4<r2时，cosx-sinx0, ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 即f(x<0,fx)在avs4 alcol(f2)上单调递减， 又π4<A<B<C<I2, .AAAB)AC) 故选A 3.以下不等式不成立的是() A.xsinx,xE\a\vs4\al\col(0,\f(2)) B.x-1≥lnx,x∈(0，+∞) C.lnx≤xe>0) D.lnx+1-e>0,x∈(0，+∞) 答案D 解析对于A,令x)=x-sinx,xe\avs4\alco1(0,\f(π2)，由x)=1-cosx ≥0，则fx)在\a\vs4\al\col(0,\f(π2)上单调递增，则x>f0)=0=x-sinx0=xsinx, 不等式成立： 对于B,令fx)=x-1-lnx,x∈(0，+∞)，则fx)=1-1x=x-1x,当x∈(0,1)时，f(x) <0,x)单调递减，当x∈(1，十o)时，(x)>0,x)单调递增，则x)≥1)=0-x一1一nx ≥0=x-1≥nx,不等式成立： 对于C,令x)=lnx-xe,x>0,则f(x)=lx一le=e-xex,当>e时，(x)0,fx)单调 递减：当0x<e时，f(x)>0,fx)单调递增，则fx)≤e)=0=lnx≤xe>0),不等式成立： 对于D,令x=lnx+1-e,x∈(0，十o),当x=1时，1)=1一e<0,所以不等式不成立 4.设x,y,z为正数，且2=3=5，则( ) A.2x3y<52 B.52<2x3y C.3y<5:2x D.3y<2x<52 答案D 解析令2=3y=5=(c1),两边取对数得x=logt=In tln2,y=logt=1ntln3,z=logd =1ntln5,从而2x=21n2nt,3y=31n3nt,5z=5ln5nt.由P1知，要比较三者大小， 只需比较2ln2,3ln3,5ln5的大小.又21n2=4ln4,c3<4<5,由y=lnxx在(e,+ ∞)上单调递减可知，1n33>ln44>1n55,从而31n34ln4<51n5,所以3y25z,故选 D 5.(多选)已知函数fx)=1一x1+x2,若fx)=fx2),且x2,关于下列命趣，其中正确的 有() A.f)P一x2)》 B.f(x2)f-x1) C.)P术一) D.f2P一x2) 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案BC 解析广()=-xx2一2x十3ex1+x22,所以函数fx)在(-∞，0)上单调递增， 在(0，十)上单调递减.又0)=1,1)=0，当x<0时，x)>0,所以0x2<1,即x轴是 函数的渐近线，画出草图如下， 设A1,),B,).由图可知1)=一x2),AD错：)=)P一1)，BC对. 113 A/0.5 -2.5-2-1.5-1-0.50 0.51 -0.5 6.(多进)下列命题中正确的有() A.In 5<5In 2 B.ln元>re C.2而<11 D.3eln2>42 答案BC 解析构造函数fx)=1nxx,则f'=1一1nxx2,当x∈(0，e)时，'x)>0,fx)单调递增： 当x∈(e,十∞)时，fx)0,r)单调递减. 对于A,ln5<5n2=2ln5<5ln2-<1n22, 又2<5<e,故错误： 对于B,n心re)→2nr>→>12e=, 又e>n>e,故正确： 对于C2<11-11n2h11=2n11÷1n22=1n44<,又411>e,故正确： 。3ln2 对于D,3eln2>42-2en22>2×22÷ ->lnee,显然错误， 22 7.(多进)下列不等式中恒成立的有() A.In\rc\)(\a\vs4\al\col(x+1)>x-18x2 B.Inx>12\a\vs4\al\col(x-\f(1x)),xE(0,1) C.c≤1+x+x2 D.cosx≥1-12x2 答案BD 解析A选项，令x)=n(x+1)-x+18x2,x>-1, 则)=1x+1一1+x4=xx-34x+1,>-1, 当0x3时，)0， ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 所以f在(0,3)上单调递减， 又0)=0,3)0)=0，故A错误； B选项，令fx)=lnx-12\avs4al\col(x-\f(1x),x∈(0,1)， 则'(x)=1x-12\avs4al\co1(1+1f(1x2)=2x-x2-12x2=-\ rc)(a\vs4\al\co1(x-1))22x2≤0显然恒成立， 所以f)=nx-12a\vs4\al\col(x一\f(1x)在(0,1)上单调递减， 又f1)=0,所以当x∈(0,1)时，x)>1)=0,即nx>12\avs4al\co1(x-\f(1x)),故B 正确： C选项，当x=3时，e1十3+32，此时e>1十x十x2,故C错： D远项，令fx)=cosx-1十12x2, 则f产g=一snx十x, 令hx)=f()=-sinx十x, 则h')=-cosx十1≥0恒成立， 即函数f子()=一sinx十x单调递增， 又(0)=0， 所以当x0时，()>0， 即x)=cosx-1+12x2单调递增； 当x<0时，f)<0, 即x)=cosx-1+12x2单调递减， 所以x)n=f0=0, 因此cosx≥1-12x2恒成立，故D正确. 8.已知函数fx)=xx十x2,且xo是函数fx)的极值点.给出以下几个命题： ①0xo<1e; ②x>1e; ③o)+x00: ④fxo)+xo0 其中正确的命题是 .(填序号) 答案①③ 解析x)的定义域为x>0},(x)=nx+2x+1,因为o是函数x)的极值点，所以o) =lnxo十2xo+1=0,所以2x=-(nx+1),即lnxo<-1,即In xo<In e-1,所以0o1e:f o)+xo=xoln xo十x20+xo=xnxo+o+1).因为2xo=-(no十1)，所以o)十o=xonx0 +十1)=一x20<0 9.已知函数fx)=a2-nx,若x>0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是 ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m● 您身边的互联网+敷辅专家 答案\avs4\al\col(f(12e),+o) 解析由题意得x)>0在函数定义域内恒成立，即a2一nx>0在函数定义域内恒成立，即k >lnxx2在函数定义域内恒成立，设gx)=lnxx2,则g'(x)=x-2 xIn xx4=x1-2lnx x4,当x∈(0，e)时，g'(x>0,函数gx)单调递增：当x∈(e,+∞)时，g'(x)0,函数g c)单调递减，所以当x=e时，函数gx)取得最大值，此时最大值为g(e)=12e,所以实数k 的取值范围是\a\vs4\al\co1f(12e),+∞) 10.已知函数fx)=alnx-+l(a∈R) (1)若gx)=x一x),讨论函数gx)的单调性： (2)若x)=12r2+x,h)=e-1(其中e是自然对数的底数)，且a=1,x∈(0，十∞)，求证： h(x)tx)fx). (1)解由题意得，gx)=x一fx)=x-anx-1, 其定义域为(0，十∞)，g'()=1-ax=x-ax, 当a≤0时，g'()>0在(0，十∞)上恒成立，则函数g)在(0，十∞)上单调递增： 当a>0时，易得函数gx)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增. (2)证明设4(x)=h(x)-x)=e-1-12xr2-x,则w'(9=e一x一1， 设mx)=h'(c)=e*-x-l, 则m'(x)=e-1, 当>0时，m'()P0恒成立， 则mx)在(0，+o)上单调递增， ∴.m(x>m(0)=0, 则x)在(0，十o)上单调递增， ∴.ux)>(O=0, ∴.hx)一x)>0在(0，十∞)上恒成立， 即h)>x). 当a=1时，设7(x)=x)一x=12x2, ,当x>0时，x)>0,即x)x 设s)=x一nx-1,则s()=1-1x=x一1x 易得sx)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， ∴.sx)≥s1)=0, x≥lnx+1=x) .x)x≥f),即x)>fx), 综上所述，hx)PxPx). 独家授权侵权必究