2.3.1.1 共面向量-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

2.3.1　空间向量的分解与坐标表示

第1课时　共面向量

[学习目标]　1.理解共面向量的定义.2.掌握空间向量共面的充要条件.3.能够运用向量共面的充要条件证明空间四点共面及直线与平面平行等有关问题．

导语

我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，所以空间中任意两个向量总是共面的，但空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面，那么满足什么条件时三个空间向量才共面呢？这就是今天我们要探究的问题．

一、空间向量共面的充要条件

问题1　你还记得平面向量基本定理的内容吗？

提示　对平面内任意两个不共线的向量e1，e2，由平面向量基本定理知，平面内的任意一向量p可以表示成p＝xe1＋ye2，其中(x，y)唯一确定．

问题2　对两个不共线的空间向量e1，e2，若p＝xe1＋ye2，那么向量p与向量e1，e2有什么位置关系？

提示　若p＝xe1＋ye2，则p在e1，e2所在平面内．反之，若p在e1，e2所在平面内，则有p＝xe1＋ye2.

知识梳理

1．共面向量的概念

一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量．

2．向量共面定理

如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xe1＋ye2，这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示．

注意点：

(1)向量共面定理中，e1与e2是不共线向量，若e1与e2为共线向量，则定理不成立．

(2)定理中有序实数组(x，y)是唯一确定的．

 

例1　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　)

A．有相同起点的向量   B．模相等的向量

C．共面向量   D．不共面向量

答案　C

解析　如图所示，向量，，不是有相同起点的向量，故A错误；

三个向量的模不一定相等，故B错误；

又在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

＝，而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC，

故向量，，是共面向量，故C正确，D错误．

反思感悟　若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的涵义是p在α内或p∥α.

跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是(　　)

A．空间的任意三个向量都不共面

B．空间的任意两个向量都共面

C．三个向量共面，即它们所在的直线共面

D．若三个向量两两共面，但这三个向量不一定共面

答案　BD

二、向量共面定理的应用——证明共面问题

例2　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.

(1)证明：A，E，C1，F四点共面；

(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.

(1)证明　∵＝＋＋

＝＋＋＋

＝＋

＝(＋)＋(＋)＝＋，

∴，，共面，

又它们有公共点A，

∴A，E，C1，F四点共面．

(2)解　∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋＝x＋y＋z，

∴x＝－1，y＝1，z＝，

∴x＋y＋z＝.

反思感悟　证明空间三向量共面或四点共面的方法

(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．

(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．

跟踪训练2　已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足＝＋＋，判断，，三个向量是否共面．

解　，，三个向量共面．

因为＝＋＋，

所以3＝＋＋，