2.3.1.1 共面向量-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

2.3.1　空间向量的分解与坐标表示 第1课时　共面向量 [学习目标]　1.理解共面向量的定义.2.掌握空间向量共面的充要条件.3.能够运用向量共面的充要条件证明空间四点共面及直线与平面平行等有关问题． 导语 我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，所以空间中任意两个向量总是共面的，但空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面，那么满足什么条件时三个空间向量才共面呢？这就是今天我们要探究的问题． 一、空间向量共面的充要条件 问题1　你还记得平面向量基本定理的内容吗？ 提示　对平面内任意两个不共线的向量e1，e2，由平面向量基本定理知，平面内的任意一向量p可以表示成p＝xe1＋ye2，其中(x，y)唯一确定． 问题2　对两个不共线的空间向量e1，e2，若p＝xe1＋ye2，那么向量p与向量e1，e2有什么位置关系？ 提示　若p＝xe1＋ye2，则p在e1，e2所在平面内．反之，若p在e1，e2所在平面内，则有p＝xe1＋ye2. 知识梳理 1．共面向量的概念 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量． 2．向量共面定理 如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xe1＋ye2，这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示． 注意点： (1)向量共面定理中，e1与e2是不共线向量，若e1与e2为共线向量，则定理不成立． (2)定理中有序实数组(x，y)是唯一确定的． 例1　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共面向量 D．不共面向量 答案　C 解析　如图所示，向量，，不是有相同起点的向量，故A错误； 三个向量的模不一定相等，故B错误； 又在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， ＝，而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC， 故向量，，是共面向量，故C正确，D错误． 反思感悟　若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的涵义是p在α内或p∥α. 跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是(　　) A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三个向量两两共面，但这三个向量不一定共面 答案　BD 二、向量共面定理的应用——证明共面问题 例2　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z. (1)证明　∵＝＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋， ∴，，共面， 又它们有公共点A， ∴A，E，C1，F四点共面． (2)解　∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋＝x＋y＋z， ∴x＝－1，y＝1，z＝， ∴x＋y＋z＝. 反思感悟　证明空间三向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． 跟踪训练2　已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足＝＋＋，判断，，三个向量是否共面． 解　，，三个向量共面． 因为＝＋＋， 所以3＝＋＋， 化简， 得(－)＋(－)＋(－)＝0， 即＋＋＝0，即＝－－， 故，，三个向量共面． 三、向量共面定理的应用——证明线面平行问题 例3　如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点． 求证：AB1∥平面C1BD. 证明　记＝a，＝b，＝c， 则＝a＋c，＝－＝a－b，＝＋＝b＋c， 所以＋＝a＋c＝， 又与不共线， 所以，，共面． 又由于AB1不在平面C1BD内， 所以AB1∥平面C1BD. 反思感悟　(1)在证明线面平行时，先转化为三个向量共面，再转化为线面平行； (2)在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a，b不共线”的要求． 跟踪训练3　已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)证明：E，F，G，H四点共面； (2)证明：BD∥平面EFGH. 证明　如图，连接EG，BG. (1)＝＋＝＋(＋ )＝＋＋ ＝＋， 由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面． (2)方法一　∵＝－＝－＝， ∴EH∥BD. 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 方法二　∵＝＋＝2＋2 ＝2＝2(＋)＝2＋2， 又，不共线，∴与，共面． 又BD⊄平面EFGH，∴BD∥平面EFGH. 1．知识清单： (1)共面向量的概念． (2)向量共面的充要条件． (3)向量共面定理的应用． 2．方法归纳：类比、转化化归． 3．常见误区：易忽视向量共面定理中e1，e2不共线的条件． 1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 答案　A 解析　由向量共面定理可知，三个向量a，b,2a－b为共面向量． 2．(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A.＝3－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 答案　AC 解析　A选项中，3－1－1＝1，四点共面， C选项中，＝－－，四点共面． 3．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ(λ∈R)确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据P，A，B，C四点共面的条件知，存在实数x，y，z使得＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，解得λ＝. 4．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面 B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb C．若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面 D．若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y 答案　AC 解析　若a，b共线，由p＝xa＋yb知p一定与a，b共面；若a，b不共线，由向量共面的充要条件知p与a，b共面，A正确，同理，C正确；若p与a，b共面，且a，b共线，则不一定有p＝xa＋yb，故B不正确，同理，D不正确． 1．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若i与j不共线，且存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj， 则由向量共面定理，知i，j，k共面． 若i与j不共线，且k与i，j共面， 则存在唯一的一对实数(m，n)， 使k＝mi＋nj， 但m，n不一定为非零常数，故是充分而不必要条件． 2．在下列结论中，其中正确的是(　　) A．若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行 B．若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面 C．若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面 D．已知空间的两个不共线向量a，b，对于空间的一个向量p，存在实数x，y，使得p＝xa＋yb，则向量p与向量a，b共面 答案　D 解析　若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行或为同一直线，故A错误； 两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故B错误； 三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如在三棱锥P－ABC中，，，两两共面，但它们不是共面向量，故C错误； 根据空间向量共面的充要条件可知，a，b需不共线，故D正确． 3．已知向量e1，e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－5e2，则(　　) A.与共线 B.与共线 C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面 答案　D 解析　A中，不存在实数λ，使＝λ，故A错误； B中，＝－＝e1－13e2，不存在实数λ，使＝λ，故B错误； 若A，B，C，D四点共面， 则必有＝x＋y＝(x＋2y)e1＋(x＋8y)e2＝3e1－5e2， 则解得 故＝－， 故A，B，C，D四点共面，故C错误，D正确． 4．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　＝－x＋ ＝－x＋(－) ＝－x－. 又P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面， 则－x－＝1，解得x＝. 5．在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是(　　) A.＝－＋2 B.＝－＋ C.＋－＝0 D.＋＋＋2＝0 答案　C 解析　对于A选项，由于1－1＋2＝2≠1，所以不能得出P，A，B，C共面； 对于B选项，由于－＋＝≠1，所以不能得出P，A，B，C共面； 对于C选项，由于＝＋，则，，为共面向量，所以P，A，B，C共面； 对于D选项，由＋＋＋2＝0得＝－－－2，而－1－1－2＝－4≠1，所以不能得出P，A，B，C共面． 6．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由点A，B，C，D共面得x＋y＝，① 又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，② 联立①②，解得x＝，y＝， 所以x＋3y＝. 7．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为________． 答案　 解析　∵＝x＋＋， 且M，A，B，C四点共面， ∴x＋＋＝1，解得x＝. 8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________. 答案　－8 解析　由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵A，B，D三点共线， ∴与共线，即存在λ∈R，使得＝λ. ∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2， ∵e1，e2不共线， ∴∴k＝－8. 9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 证明　设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又∵AN∶NC＝2∶1，∴＝＝(b＋c)， ∴＝－＝(b＋c)－a ＝(b－a)＋ ＝＋， ∴，，为共面向量． 又∵三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面． 10.如图所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面． 解　由题图可得， ＝＋＋，① 因为＝＋＋，② ＝－，＝－， 所以①＋②得2＝＋， 即＝＋， 故向量与向量，共面． 11．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ，μ≠0)，则下列结论正确的是(　　) A．a∥e1 B．a∥e2 C．a与e1，e2共面 D．以上三种情况均有可能 答案　C 解析　假设a与e1共线，则a＝ke1，所以a＝λe1＋μe2可变为(k－λ)e1＝μe2，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相矛盾，故假设不成立，则A不正确，同理B不正确，则D不正确． 12．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①＝2＋μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么使①②成立的μ与λ＋m＋n的值分别为(　　) A．1，－1 B．－1,0 C．0,1 D．0,0 答案　B 解析　∵A，B，C三点共线，＝2＋μ， ∴2＋μ＝1，解得μ＝－1， 又由λ＋m＋n＝0， 得＝－－， 由A，B，C三点共线知，－－＝1， 则λ＋m＋n＝0. 13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必在(　　) A．平面BAD1内 B．平面BA1D内 C．平面BA1D1内 D．平面AB1C1内 答案　C 解析　因为＝＋7＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋6(－)－4(－) ＝11－6－4，又11－6－4＝1， 所以M，B，A1，D1四点共面， 所以点M在平面BA1D1内． 14．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________. 答案　 解析　若a，b，c三个向量共面，则存在实数x，y∈R，使得a＝xb＋yc， 即2i－j＋3k＝x(－i＋4j－2k)＋y(7i＋5j＋λk) ＝(－x＋7y)i＋(4x＋5y)j＋(－2x＋λy)k 则解得 15.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为棱PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，则实数m的值是________． 答案　 解析　连接BD，BG(图略)． 因为＝－，＝， 所以＝－. 因为＝＋， 所以＝＋－＝－＋＋. 因为＝， 所以＝， 所以＝－＋＋. 又因为＝－， 所以＝－＋＋. 因为＝m， 所以＝m＝－＋＋. 又因为＝＋＝＋＋，且G，B，P，D四点共面， 所以1－＝0，解得m＝. 16.已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)∥； (3)＝k. 证明　(1)由＝＋m，＝＋m， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面． (2)∵＝＋m ＝－＋m(－) ＝k(－)＋km(－) ＝k＋km ＝k(＋m) ＝k，∴∥. (3)由(2)知＝－ ＝k－k ＝k(－)＝k， ∴＝k. 学科网（北京）股份有限公司 $$