2.2.1 空间向量及其线性运算-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

第1课时　空间向量及其线性运算 [学习目标]　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算． 导语 你见过滑翔伞滑翔的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？ 一、空间向量的基本概念 问题1　平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示　平面内既有大小又有方向的量称为平面向量，空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致． 知识梳理 空间向量的有关概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)表示法： ①符号表示法：a，b，c，. ②几何表示法：有向线段． (3)向量的模：空间向量a的大小(或长度)称为a的模，记为|a|. (4)几类特殊向量 概念 定义 单位向量 长度为1的向量 零向量 模为0的向量，记作0.零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量 (平行向量) 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a.零向量与任意向量共线 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间共线向量不一定具备传递性，比如0. 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足||>||，则> D．相等向量其方向必相同 答案　D 解析　A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小． (2)如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中， ①试写出与相等的所有向量； ②试写出的所有相反向量； ③若|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝1，求向量的模． 解　①与向量相等的所有向量(除它自身之外)为，，. ②向量的相反向量为，，，. ③||＝ ＝＝3. 反思感悟　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1　(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c 答案　BC 解析　A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行． 二、空间向量的加减法 问题2　数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是研究它们的运算．空间两个向量是否可能异面？可以把平面向量的线性运算和运算律推广到空间向量吗？ 提示　由于空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以凡涉及两个空间向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们． 问题3　如何证明加法结合律＋c＝a＋？如图，在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，分别标出＋＋，＋＋表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 提示　＋＋和＋＋表示同一向量，如图所示． (1)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量． (2)利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 知识梳理 空间向量的加减运算 加法 运算 三角形法则 语言表述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形表示 平行四边形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形表示 减法 运算 三角形法则 语言表述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形表示 运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： 三角形法则、平行四边形法则在空间向量的运算中仍然适用． 例2　(1)(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ 答案　AB 解析　A中，－－＝－＝； B中，＋－＝＋＝； C中，－－＝－＝－＝≠； D中，－＋＝＋＋＝＋≠. (2)对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是(　　) A.＋＝ B.－＝ C．||＋||＝|| D．||－||＝|| 答案　B 解析　根据空间向量的加减法运算，对于A，＋＝恒成立； 对于C，当，方向相同时， 有||＋||＝||； 对于D，当，方向相同且||≥||时， 有||－||＝||； 对于B，由向量减法可知－＝，又为非零向量，所以B一定不成立． 反思感悟　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 跟踪训练2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果． (1)＋－； (2)－－. 解　(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. (2)如图，连接GF，则G＝，－－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. 三、向量与实数相乘 知识梳理 定义 任何一个向量a都可看作某平面上的向量，它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa|＝|λ||a| 几何 意义 λ>0 λa与a方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与a方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 对实数加法的分配律 (λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a 对向量加法的分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 例3　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). 解　(1)∵P是C1D1的中点， ∴＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋b＋c. (2)∵N是BC的中点， ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)∵M是AA1的中点， ∴＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. 延伸探究　若把例3中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？ 解　＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c. 反思感悟　利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 跟踪训练3　已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值． (1)＝＋x＋y； (2)＝x＋y＋. 解　(1)由图可知， ＝－ ＝－(＋) ＝－－， ∴x＝y＝－. (2)∵＋＝2， ∴＝2－. ∵＋＝2， ∴＝2－， ∴＝2－(2－) ＝2－2＋. ∴x＝2，y＝－2. 四、向量共线问题 例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.若＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示； (2)求证：E，F，B三点共线． (1)解　因为＝2，＝a，＝b，＝c， 所以＝＋＋＝＋＋＝－b－c＋a， 所以＝a－b－c. (2)证明　＝， ＝＋＋＝＋＋ ＝(＋＋)＋＋ ＝(－b－a＋c)－c＋a ＝a－b－c＝＝， 又与相交于B， 所以E，F，B三点共线． 反思感悟　判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b. 1．知识清单： (1)空间向量的基本概念． (2)空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)空间向量的线性运算的运算律． 2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． 1．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 答案　ABC 解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．化简－＋的结果是(　　) A. B. C．0 D. 答案　C 解析　－＋＝＋＝－＝0. 3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 答案　A 解析　∵＋＝＋， ∴＝. ∴∥且||＝||. ∴四边形ABCD为平行四边形． 4.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M，N分别为OA，BC的中点，若＝xa＋yb＋zc，则x＝________，y＝________，z＝______. 答案　－　　 解析　＝＋＋＝a＋(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c.所以x＝－，y＝，z＝. 1．下列说法中正确的是(　　) A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，λ既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ 答案　C 解析　对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B，两个向量不相等，他们的模可以相等，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D，满足＋＝的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误． 2．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　＋－＝(＋)－＝－＝. 方法二　＋－＝＋(－)＝＋＝. 3.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(　　) A.＋＋＝0 B.－－＝0 C.＋－＝0 D.－＋＝0 答案　A 解析　由题图观察可知，，，平移后可以首尾相接，故有＋＋＝0. 4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a－c D．b－a＋c 答案　C 解析　＝－＝(－)－， ∵＝＝c，∴＝b－a－c. 5.在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且＝，记＝x＋y＋z，则(x，y，z)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　连接OE，OF(图略)，因为＝，E，F分别是AB，BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×(＋)＋×(＋)＝＋＋，故(x，y，z)＝. 6．(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列选项中正确的有(　　) A.－＝ B.＝＋＋ C.＝ D.＋＋＋＝ 答案　ABC 解析　 作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′的图象，如图所示.－＝＋＝，故A正确； ＋＋＝＋＋＝，故B正确； C显然正确； ＋＋＋＝＋＝，故D不正确． 7.如图所示，在由平行六面体ABCD－A′B′C′D′的顶点连接成的向量中，与向量相等的向量有________个，与向量相反的向量有________个． 答案　3　4 8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________. 答案　－a－b＋c 解析　 ∵＝＋＋＝－－＋， 又∵M是AA1的中点，∴＝， ∴＝－－＋， ∵＝a，＝＝b，＝c， ∴＝－a－b＋c. 9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)＋； (2)＋＋； (3)－－. 解　(1)＋＝. (2)因为M是BB1的中点， 所以＝. 又＝， 所以＋＋ ＝＋＝. (3)－－＝－＝. 向量，，如图所示． 10.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值． 解　∵＝＋＋ ＝－＋－－ ＝－＋＝－＋(＋) ＝－＋(＋) ＝－＋＋(－) ＝＋－， 又＝＋x＋y， ∴x＝，y＝－. 11．(多选)下列命题是假命题的是(　　) A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足||>||，且与同向，则> D．若两个非零向量与满足＋＝0，则与共线 答案　ABC 解析　因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，选项A是假命题；由＝知，||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，选项B是假命题；空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，选项C是假命题；因为＋＝0，所以＝－，故与共线，选项D是真命题． 12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则等于(　　) A．－＋＋ B．－＋＋ C.＋＋ D.－＋ 答案　C 解析　 因为BM＝2MC′， 所以＝， 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中， ＝＋＝＋＝＋(＋)＝(－)＋(＋) ＝＋＋. 13.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)． 答案　a＋b＋c 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×(＋)＋×＝＋＋＝a＋b＋c. 14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简－－＝________； (2)用，，表示，则＝________. 答案　(1)　(2)＋＋ 解析　(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝. (2)因为＝＝(＋)， 所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋. 15.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示) 答案　 a＋b＋c 解析　 在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点， 则＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－) ＝＋＋－ ＝＋＋ ＝a＋b＋c. 16.如图，在四面体中A－BCD中，M，N分别为△BCD和△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线． 证明　如图，取CD的中点E，连接AE，BE， 因为M，N分别为△BCD和△ACD的重心， 所以M在BE上，N在AE上， 设＝a，＝b，＝c， 因为M为△BCD的重心， 所以＝＋＝＋×(＋)＝＋(＋) ＝＋(－＋－) ＝(＋＋)＝(a＋b＋c)， 因为GM∶GA＝1∶3， 所以＝， 所以＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， 因为N为△ACD的重心， 所以＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝， 所以∥， 又BN∩BG＝B， 所以B，G，N三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$