1.3.1 函数的单调性与导数-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.3.1　函数的单调性与导数 [学习目标]　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.了解函数与其导函数图象之间的关系． 导语 同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法求解函数的单调区间，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等．当然，求单调区间的前提是要先确定函数的定义域，但是对于更复杂一些的函数，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，虽然定义法是解决问题的根本方法，但定义法比较烦琐，又不能画出函数图象，为了解决这个问题，就需要用到我们今天的知识：函数的单调性与导数的关系． 一、函数的单调性与导数的关系 问题1　观察下面跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 提示　通过观察图象，可以发现 (1)运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0； (2)从最高点到入水，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0. 问题2　观察下面几个函数图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系． 提示　(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0； (2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0； (3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数．而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0； (4)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，而y′＝－，因为x≠0，所以y′<0. 由以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减． 知识梳理 一般地，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间有如下关系： 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 在区间(a，b)上单调递减 注意点： (1)在某个区间上恒有f′(x)＝0，f(x)是常函数． (2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)的变化． 例1　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3－x2＋2x－5； (2)f(x)＝x－－ln x； (3)f(x)＝x－ex(x>0)． 解　(1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5，x∈R，所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5在R上单调递增． (2)因为f(x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝1＋－＝＝>0，所以f(x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上单调递增． (3)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减． 反思感悟　利用导数判断函数单调性的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)，有时需对导函数进行通分、因式分解等变形处理； (3)确定f′(x)在定义域内的符号； (4)得出结论，其依据简记为：正则增，负则减． 跟踪训练1　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x2－2x＋aln x； (2)f(x)＝(x>e)． 解　(1)因为f(x)＝x2－2x＋aln x，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝2x－2＋＝，对于y＝2x2－2x＋a，a>，所以Δ＝4－8a＝8<0，故有y＝2x2－2x＋a>0恒成立，即f′(x)>0， 所以f(x)＝x2－2x＋aln x在(0，＋∞)上单调递增． (2)因为f(x)＝，x>e， 所以f′(x)＝＝<0， 所以f(x)＝在(e，＋∞)上单调递减． 二、利用导数求函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2－ln x. 解　(1)f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}， f′(x)＝＝ ＝. 令f′(x)>0，解得x>1＋或x<1－； 令f′(x)<0，解得1－<x<1或1<x<1＋. 所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1－)和(1＋，＋∞)， 单调递减区间是(1－，1)和(1,1＋)． (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝x－＝＝. 令f′(x)>0，即 解得x>1； 令f′(x)<0，即 解得0<x<1. 所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． 反思感悟　利用导数求函数的单调区间的两种方法 (1)解不等式法(求简单函数的单调区间) ①求函数定义域：确定函数f(x)的定义域． ②求导：求f′(x)． ③解不等式，定单调区间：在定义域内，令f′(x)>0，解得函数f(x)的单调递增区间；令f′(x)<0，解得函数f(x)的单调递减区间． (2)列表法(求较复杂函数的单调区间) ①确定函数y＝f(x)的定义域． ②求出导数f′(x)的零点． ③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 跟踪训练2　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2·e－x； (2)f(x)＝x＋. 解　(1)易知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝′e－x＋x2′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 f(0) 单调递增 f(2) 单调递减 ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)． (2)易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，－1) －1 (－1，0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) 单调递增 f(－1) 单调递减 单调递减 f(1) 单调递增 ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 三、由导数的信息画函数的大致图象 例3　已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0<x<7时，f′(x)<0；当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，试画出函数f(x)的大致图象． 解　当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的；当0<x<7时，f′(x)<0，可知函数f(x)在区间(0,7)上单调递减；当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”．故函数f(x)的大致图象如图所示． 反思感悟　(1)由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0时，f(x)单调递增，f′(x)<0时，f(x)单调递减． (2)由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0. 跟踪训练3　(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是(　　) 答案　D 解析　由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当0<x<2时，导函数f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故选项D正确． (2)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 答案　C 解析　∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)上单调递增，∴当x<1或x>4时，f′(x)<0； 当1<x<4时，f′(x)>0，故选项C正确． 1.知识清单： (1)函数的单调性与导数的关系． (2)利用导数判断函数的单调性． (3)利用导数求函数的单调区间． (4)由导数的信息画函数的大致图象． 2.方法归纳：方程思想、分类讨论、数形结合． 3.常见误区：忽略定义域的限制． 1．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(3,4) D．(2，＋∞) 答案　CD 解析　∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex， 由f′(x)>0得(x－2)ex>0，∴x>2. ∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，结合选项知C，D符合题意． 2．函数f(x)＝3＋xln x的单调递增区间是(　　) A. B．(e，＋∞) C. D. 答案　C 解析　f′(x)＝ln x＋1(x>0)，令f′(x)>0， 即ln x＋1>0，得x>. 故函数f(x)的单调递增区间为. 3．若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案　C 解析　由y＝f′(x)的图象可得，在(－∞，b)上f′(x)≥0，在(b，＋∞)上f′(x)<0， 根据原函数图象与导函数图象的关系可得，y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D， 且在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C. 4．函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是________． 答案　 解析　由f′(x)＝1－2sin x<0，得sin x>， 又x∈(0，π)，∴x∈. 1.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(　　) A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－2，－1)∪(1,2) 答案　C 解析　因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f′(x)>0. 2．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在(－2,1)上，f(x)单调递增 B．在(1,2)上，f(x)单调递增 C．在(4,5)上，f(x)单调递增 D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增 答案　BC 解析　由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)单调递增，故B，C正确；当x∈(－3，－2)，x∈(－2，－1)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)，(－2，－1)上，f(x)单调递减，故A，D错误． 3．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 答案　D 解析　易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)， ∴f′(x)<0，则f(x)＝cos x－x在(0，π)上单调递减． 4．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1) 答案　A 解析　f′(x)＝2x－＝(x>0)， 令f′(x)＝0，得x＝1， ∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 故f(x)的单调递减区间是(0,1)． 5．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　原函数先减再增，再减再增，且x＝0位于增区间内，故符合条件的只有D. 6．(多选)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数有(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x＋cos x C．f(x)＝xex D．f(x)＝ex－e－x－2x 答案　ABD 解析　A项，因为f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，A正确；B项，因为f(x)＝x＋cos x，则f′(x)＝1－sin x，由于－1≤sin x≤1，所以f′(x)＝1－sin x≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，B正确；C项，因为f(x)＝xex，则f′(x)＝(1＋x)ex，当x>－1时，f′(x)>0，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，C错误；D项，因为f(x)＝ex－e－x－2x，所以f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，D正确． 7．函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 答案　(2，＋∞)　(－∞，2) 解析　y′＝2x－4，令y′>0，得x>2； 令y′<0，得x<2， 所以y＝x2－4x＋a的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)． 8．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为________． 答案　(－3，－1)∪(0,1) 解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时， f′(x)<0； 当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0， 故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)． 9．求函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2的单调区间． 解　函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为， ∵f(x)＝ln(2x＋3)＋x2， ∴f′(x)＝＋2x＝， 由f′(x)>0，得－<x<－1或x>－， 由f′(x)<0，得－1<x<－， ∴函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为，；单调递减区间为. 10．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间． 解　(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. 所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，即＝－2，① 又f′(x)＝， 所以＝－.② 由①②得a＝2，b＝3. 所以所求函数的解析式是f(x)＝. (2)由(1)知，f′(x)＝. 令－2x2＋12x＋6＝0， 解得x1＝3－2，x2＝3＋2， 则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0； 当3－2<x<3＋2时，f′(x)>0. 所以f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)． 11．函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是(　　) 答案　A 解析　因为f(x)＝xcos x， 所以f′(x)＝cos x－xsin x. 因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数， 所以函数f′(x)的图象关于y轴对称． 由f′(0)＝1可排除C，D. 而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，排除B. 12．(多选)在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列图象一定不正确的是(　　) 答案　CD 解析　当f′(x)>0时，y＝f(x)是单调递增的； 当f′(x)<0时，y＝f(x)是单调递减的． A，B中函数的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的； 而C，D中导函数为负的区间内相应的函数不是单调递减的，故C，D错误． 13．函数f(x)＝x2ex的大致图象为(　　) 答案　A 解析　由题意可知f′(x)＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex，当x<－2或x>0时，f′(x)>0，当－2<x<0时，f′(x)<0，所以f(x)＝x2ex在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，可排除B，D；且当x<0时，f(x)＝x2ex>0，排除C. 14．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　) A．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f > D．f < 答案　AD 解析　由题中图象可知，f(x)的大致图象如图所示． A选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；f 表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标， 显然有f <，故C不正确，D正确． 15．(多选)若函数exf(x)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是(　　) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2＋2 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x 答案　AB 解析　设g(x)＝ex·f(x)， 对于A，g(x)＝ex·2－x＝x在定义域R上是增函数，故A正确； 对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确； 对于C，g(x)＝ex·3－x＝x在定义域R上是减函数，故C不正确； 对于D，g(x)＝ex·cos x，则g′(x)＝excos，所以g′(x)>0在定义域R上不恒成立，故D不正确． 16．已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求实数k的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 解　(1)由f(x)＝， 可得f′(x)＝. ∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行， ∴f′(1)＝0，即＝0，解得k＝1. (2)由(1)知，f′(x)＝(x>0)， 设h(x)＝－ln x－1(x>0)， 则h′(x)＝－－<0. 可知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，由h(1)＝0知， 当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，故f′(x)>0； 当x>1时，h(x)<h(1)＝0，故f′(x)<0. 综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$