第1练 空间向量及其运算-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第1练　空间向量及其运算 1．(多选)下列命题中，正确的有(　　) A.＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 答案　ABC 解析　ABC正确；D不正确，因为等式左边表示与b共线的向量，右边表示与a共线的向量，两者方向不一定相同． 2．如图，在空间四边形OABC中，若＝a，＝b，＝c，点M，N分别为OA，BC的中点，则等于(　　) A.a－b＋c B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 答案　B 解析　＝＋＋＝a＋(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c. 3．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则A，B，C，D四点(　　) A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 答案　C 解析　设＝x＋y ＝(2x＋3y)e1＋(8x－3y)e2＝e1＋e2， 则 解得即＝＋， 所以A，B，C，D四点一定共面． 4．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 答案　A 解析　∵＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，∴∥，由于A与B有一公共点B，∴A，B，D三点共线． 5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则向量与的夹角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　由题意知，∵A1A⊥平面ABC， ∴A1A⊥AB，A1A⊥AC. ∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC. 又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点， ∴＝(＋)． ∴·＝(＋)·(－)＝||2＝1. 又∵AA1＝，∴A1C＝2. ∴cos〈，〉＝＝＝， 又0°≤〈，〉≤180°， ∴〈，〉＝60°. 6.(多选)如图所示，若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有(　　) A.·＝a2 B.·＝a2 C.·＝a2 D.·＝a2 答案　AC 解析　连接A1D(图略)， 则·＝·＝||||cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2，故A正确； ·＝·(＋＋)＝||2＋·＋·＝a2，故B错误； ·＝·＝·＝a2，故C正确； ·＝·(－)＝·－·＝－a2，故D错误． 7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点， (1)化简：－－＝________； (2)用，，表示，则＝________. 答案　(1)　(2)＋＋. 解析　(1)－－＝－＝－＝－＝＋＝. (2)因为＝，所以＝＋＝＋， 又＝＝(＋)，则＝＋＝＋＋. 8．已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝1，m＝λa＋b，n＝a＋b，〈a，b〉＝60°，若m⊥n，则λ＝________. 答案　－ 解析　由m⊥n，得(λa＋b)·(a＋b)＝0，即λa2＋(1＋λ)a·b＋b2＝0，所以4λ＋1＋λ＋1＝0， 即5λ＝－2，解得λ＝－. 9．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC的长为________． 答案　12 解析　如图所示， ∵＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＝36＋36＋36＋2×36×cos 60°＝144. ∴PC＝||＝12. 10．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为________． 答案　60° 解析　∵＝＋＋， ∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝0＋12＋0＝1， 又||＝2，||＝1. ∴cos〈，〉＝＝＝. ∴a与b所成的角为60°. 11．如图所示，在四面体O－ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量a，b，c表示向量，； (2)试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面． (1)解　＝－＝－a. 因为＝＋， 而＝，＝－， 又D为BC的中点，所以＝(＋)， 所以＝＋＝＋(－) ＝＋×(＋)－ ＝(＋＋)＝(a＋b＋c)． (2)证明　因为＝－， ＝＝×(＋)＝(b＋c)， 所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a＝－. 又＝－，所以＝.所以M，N，G，H四点共面． 学科网（北京）股份有限公司 $$