第8章 概率 章末复习课-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

一、条件概率与全概率公式 1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率． 2．掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 例1　采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品．求： (1)采购员拒绝购买的概率； (2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率． 解　B1＝{取到的是含4个次品的包}， B2＝{取到的是含1个次品的包}， A＝{采购员拒绝购买}， P(B1)＝，P(B2)＝. P(A|B1)＝1－＝， P(A|B2)＝1－＝. (1)由全概率公式得到 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2) ＝×＋×＝. (2)P(B1|A)＝＝＝. 反思感悟　条件概率的计算要注意以下三点 (1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率． (2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化． (3)理解全概率公式P(A)＝(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想． 跟踪训练1　假定在中年男子当中超重的人数占总人数的30%，正常体重的人数占总人数的50%，体重偏瘦的人数占总人数的20%.超重的中年男子患动脉硬化的概率是0.3，正常的中年男子患动脉硬化的概率是0.1，偏瘦的中年男子患动脉硬化的概率是0.01.求从中年男子中任选一人，该人恰好得动脉硬化的概率． 解　设事件B1表示“选出的人是超重的男子”，事件B2表示“选出的人是正常体重的男子”，事件B3表示“选出的人是偏瘦的男子”． A表示“选出的人患有动脉硬化”． 由题意，P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2， P(A|B1)＝0.3，P(A|B2)＝0.1，P(A|B3)＝0.01， 由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3) ＝0.3×0.3＋0.1×0.5＋0.01×0.2＝0.142. 二、离散型随机变量的概率分布、均值和方差 1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛． 2．通过求离散型随机变量的概率分布，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 角度1　均值、方差的计算 例2　某学院为了调查本校学生4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率直方图如图所示． (1)根据频率直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； (2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的概率分布及均值E(Y)． 解　(1)由图可知健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2， 且Y服从超几何分布． 所以P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝. 所以Y的概率分布为 Y 0 1 2 P 所以Y的均值E(Y)＝1×＋2×＝. 反思感悟　求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 角度2　均值、方差在决策中的应用 例3　某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？ 解　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X＝5”． ∵P(X＝5)＝×＝， ∴P(A)＝1－P(X＝5)＝， ∴这两人的累计得分X≤3的概率为. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)， 由已知，X1～B，X2～B， ∴E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝. ∴E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝. E(2X1)>E(3X2)，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值最大． 反思感悟　若X～B(n，p)，则可直接利用公式求E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 跟踪训练2　甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，. (1)现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率； (2)用ξ表示乙投篮10次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及均值E(ξ)和方差D(ξ)； (3)若η＝4ξ＋1.求E(η)和D(η)． 解　(1)记“甲投篮1次投进”为事件A1，“乙投篮1次投进”为事件A2，“丙投篮1次投进”为事件A3，“3人都没有投进”为事件A. 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， 所以P(A)＝P(1 2 3) ＝P(1)·P(2)·P(3) ＝[1－P(A1)]·[1－P(A2)]·[1－P(A3)] ＝××＝. (2)根据题意ξ～B，其概率分布为P(ξ＝k)＝C·k·10－k(k＝0,1,2，…，10)， E(ξ)＝10×＝4， D(ξ)＝10××＝. (3)E(η)＝4E(ξ)＋1＝4×4＋1＝17， D(η)＝16·D(ξ)＝16×＝. 三、正态分布 1．正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计学中的(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率值在生产生活中有广泛的应用． 2．熟记正态分布的特征及应用(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率值解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养． 例4　为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民候车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间X服从正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图所示的频率直方图． (1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组的各个值，试估计μ，σ2的值； (2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由． 参考数据：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.841 57≈0.298 8，0.841 56≈0.355 1，0.158 53≈0.004 0，0.158 54≈0.000 6，P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997. 解　(1)μ＝0.1×2＋0.2×6＋0.4×10＋0.2×14＋0.1×18＝10， σ2＝s2＝2×(82×0.1＋42×0.2)＋(10－10)2×0.4＝19.2. (2)由(1)知σ≈4.38， ∴μ＋σ≈10＋4.38＝14.38， P(X≥14.38)＝≈0.158 5， 设“3名乘客候车时间超过15分钟”的事件为A， P(A)＝C×0.158 53×0.841 57≈0.143>0.003，故准点率正常． 反思感悟　利用正态密度曲线解决实际性问题时常利用其对称性解题，并注意借助(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率值求解．并注意正态密度曲线与频率直方图的结合． 跟踪训练3　某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49)． (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90)内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差． 参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Y<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<Y<μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<Y<μ＋3σ)≈0.997. 解　(1)因为学生的普通话测试成绩Y服从正态分布N(69,49)，所以μ＝69，σ＝7， 所以P(62<Y<90)＝P(μ－σ<Y<μ＋3σ)≈＝0.84. (2)因为总体平均分为μ＝69， 所以这12个数据中大于总体平均分的有3个， 所以X的可能取值为0,1,2,3， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(3－1)2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$