第6章 再练1课(范围：§6.1～§6.2)-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

再练一课(范围：§6.1～§6.2) 一、单项选择题 1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　＋(＋)＝＋×2＝＋＝. 2．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C共面，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为M，A，B，C共面，所以＋＋λ＝1， 解得λ＝. 3．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 答案　B 解析　因为A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)， 所以＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)， 可得＝－3， 所以∥. 又同理可得与不平行，所以直线AB与CD的位置关系是平行，故选B. 4．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(　　) A．10x＋2y＋10z－37＝0 B．5x－y＋5z－37＝0 C．10x－y＋10z＋37＝0 D．10x－2y＋10z＋37＝0 答案　A 解析　由MA＝MB，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2.化简得，10x＋2y＋10z－37＝0. 5．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为(　　) A．－2 B．2 C．3 D．－3 答案　A 解析　∵b－c＝(－2,3,1)，a⊥(b－c)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2. 6．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是(　　) A．0 B．π C. D．2π 答案　B 解析　＝(3,3,3)，＝(－6，－6，－6)， 则·＝3×(－6)＋3×(－6)＋3×(－6)＝－54， ||＝3，||＝6， 所以cos〈，〉＝＝＝－1， 所以〈，〉＝π. 二、多项选择题 7．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是(　　) A.＋与＋ B.－与－ C.－与－ D.＋＋＋与＋＋＋ 答案　ACD 解析　如图，根据图形可看出，选项A，D的两向量互为相反向量； －＝，－＝，＝， ∴选项B的两向量不是相反向量； －＝，－＝，和互为相反向量， ∴选项C的两向量互为相反向量． 8．已知向量a＝(1,1,0)，则与a共线的单位向量e等于(　　) A. B．(0,1,0) C. D．(1,1,1) 答案　AC 解析　由于向量a＝(1,1,0)， 所以|a|＝＝， 根据单位向量的关系式e＝±， 可得e＝或e＝. 三、填空题 9．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝____________. 答案　－－＋ 解析　由题意，连接AE(图略)， 则＝－＝＋－ ＝＋(－)－×(＋) ＝－－＋. 10．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________． 答案　6 解析　a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4， |a|＝，|b|＝， 所以cos〈a，b〉＝＝－. 所以sin〈a，b〉＝＝. 因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为 |a||b|sin〈a，b〉＝××＝6. 11．已知在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________． 答案　 解析　如图所示， ＝＋＝＋＋，故||2＝|＋＋|2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·) ＝42＋32＋52＋2× ＝85，故AC′＝||＝. 12．如图，将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，的长为，的长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为________． 答案　 解析　以O为坐标原点，OA，OO1所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz， 则A(0,1,0)，A1(0,1,1)，B1，C. 所以＝(0,0,1)，＝(0，－1，－1)， 则·＝02＋0×(－1)＋1×(－1)＝－1， 所以cos〈，〉＝＝＝－. 因此，异面直线B1C与AA1所成的角为. 四、解答题 13．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 解　(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a＋b|＝＝5. (2)假设在直线AB上，存在一点E，使得⊥b，则存在实数t，使＝t， 所以＝＋＝＋t ＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2) ＝(－3＋t，－1－t,4－2t)， 若⊥b，则·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，点E坐标为. 14．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 解　(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1， ＝＋ ＝－＋－＝a－b－c， ＝＋＝＋ ＝－(＋)＋(＋) ＝－＝a－c. (2)＝(＋)＝(－＋) ＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c， 又＝xa＋yb＋zc，∴x＝，y＝－，z＝－1. 15．已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<)． 求：(1)MN的长； (2)当a为何值时，MN的长最小． 解　(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE， BE⊂平面ABEF， 所以BE⊥平面ABCD.所以AB，BC，BE两两垂直． 过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为点G，H，连接NG，易证NG⊥AB.因为CM＝BN＝a， 所以CH＝MH＝BG＝GN＝a， 所以以B为坐标原点，以BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则M， N.所以 MN＝ ＝＝(0<a<)． (2)因为MN＝(0<a<)， 故当a＝时，MN的长有最小值，这时M，N恰好分别为AC，BF的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$