6.1.1 空间向量的线性运算-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

6.1.1　空间向量的线性运算 [学习目标]　1.通过向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题． 导语 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 一、空间向量的概念 知识梳理 1．定义：在空间，把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫作空间向量． 2．几何表示法：空间向量用有向线段表示． 3．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量称为零向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量 相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a 相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b相等. 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小． 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，而方向相同或相反 C．若向量，满足||>||，则> D．相同的向量其方向必相同 答案　D 解析　A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小． (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．任一向量与它的相反向量不相等 答案　BC 解析　A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量． 反思感悟　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． 解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个． (2)向量的相反向量为，，，. (3)||＝＝＝3. 二、空间向量及其线性运算 问题1　联想平面向量的线性运算，思考空间向量的线性运算包括哪些？其相应的运算法则在空间向量中是否依然适用？ 提示　易知空间向量的线性运算包括向量的加法、减法、数乘运算；线性运算法则也是一样，如加法满足三角形法则和平行四边形法则；减法是加法的逆运算；数乘运算，分λ>0，λ<0和λ＝0三种情况． 问题2　你能借助向量加法的几何意义证明等式(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)吗？ 提示　如图， 因为＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)＋c， ＝＋＝＋＋)＝a＋(b＋c)， 所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识梳理 1．空间向量的线性运算 已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：＝＋＝a＋c； ＝－＝a－b＝－c. 若P在直线OA上，则＝λa(λ∈R)． 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a＋b＝b＋a； (2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)． 例2　已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)＋＋； (2)－＋； (3)＋＋(－)． 解　(1)＋＋＝＋＋＝. (2)－＋＝－(－)＝－＝. (3)＋＋(－)＝＋(＋)＝＋. 设M是线段CB′的中点， 则＋＋(－) ＝＋＝. 向量，，如图所示． 反思感悟　(1)向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 跟踪训练2　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：－－＝________； (2)用，，表示，则＝________. 答案　(1)　(2)＋＋ 解析　(1)－－＝－(＋)＝－＝－＝. (2)＝＋＝(＋)＋ ＝＋＋. 三、共线向量(或平行向量) 问题3　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示　对任意两个平面向量a，b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量． 知识梳理 1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 例3　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN. 证明　方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴＝＋＋ ＝＋＋.① 又＝＋＋＋ ＝－＋－－，② ①＋②得2＝， ∴与共线． 又∵直线CE与MN不重合，∴CE∥MN. 方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝－＝(＋)－ ＝(＋)－(＋) ＝(－)＝(－)＝. ∴与共线． 又直线CE与MN不重合， ∴CE∥MN. 反思感悟　向量共线的判定及应用 (1)判断或证明空间中任意两向量a，b(a≠0)共线，就是寻找实数λ，使b＝λa成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． (2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ. 跟踪训练3　(1)若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的实数k的值为________． 答案　－ 解析　由题意知，存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]，即解得 (2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 证明　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＋(＋＋) ＝＋＋＝a＋b＋c， ＝＋＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c，∴＝3，又直线MC1与直线MO有公共点M，∴C1，O，M三点共线． 1．知识清单： (1)空间向量的概念． (2)空间向量的线性运算． (3)共线向量(或平行向量)． 2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合． 3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线． 1.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　D 解析　∵＝，∴||＝||，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，＝. 2．在三棱锥O－ABC中，＋－等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　＋－＝－＝＋＝. 3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 答案　A 解析　∵＋＝＋， ∴＝. ∴∥且||＝||. ∴四边形ABCD为平行四边形． 4．设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________. 答案　－3 解析　因为＝－2a－b，＝a－2b， 所以＝＋＝－ ＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b. 因为A，B，D三点共线， 所以存在实数λ，使得＝λ， 即9a＋mb＝λ(－3a＋b)． 所以 解得m＝λ＝－3. 1．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相同的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 答案　ABC 解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相同的向量或相反向量． 2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A．a＝b B．a＋b为实数0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3 答案　D 解析　向量a，b互为相反向量，则向量a，b的模相等，方向相反，故选D. 3.与共线是直线AB∥CD的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　根据向量共线的定义，可知若与共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则与共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知与共线是直线AB∥CD的必要且不充分条件． 4．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列各式运算结果是的为(　　) A.＋＋ B.＋＋ C.＋＋ D.＋＋ 答案　ABC 解析　选项A中， ＋＋＝＋＝； 选项B中， ＋＋＝＋(＋) ＝＋＝； 选项C中， ＋＋＝＋＝； 选项D中， ＋＋＝＋(＋) ＝＋≠. 5．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　因为＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2， 所以＝＋＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2) ＝6e1＋6e2. 又A，B，D三点共线，所以＝λ， 所以e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)． 因为e1，e2是不共线向量， 所以解得k＝1. 6．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．P∈AB B．P∉AB C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对 答案　A 解析　因为m＋n＝1，所以m＝1－n， 所以＝(1－n)＋n， 即－＝n(－)， 即＝n，所以与共线． 又，有公共起点A， 所以P，A，B三点共线，即P∈AB. 7．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为______． 答案　0 解析　如图所示，延长DE交边BC于点F， 则有＋＝，＋＝＋＝， 故＋－－＝0. 8．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________. 答案　1　 解析　＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝. 9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)＋； (2)＋＋； (3)－－. 解　(1)＋＝. (2)因为M是BB1的中点， 所以＝. 又＝， 所以＋＋＝＋＝. (3)－－＝－＝. 向量，，如图所示． 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝. 求证：E，F，B三点共线． 证明　设＝a，＝b，＝c， 因为＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝(－)＝(＋－) ＝a＋b－c， 所以＝－＝a－b－c ＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，所以＝，又与有公共起点E， 所以E，F，B三点共线． 11．(多选)若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式为零向量的是(　　) A.＋2＋2＋ B．2＋2＋3＋3＋ C.＋＋ D.－＋－ 答案　BD 解析　A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋； B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝0； C中，＋＋＝＋； D中，－＋－＝＋＋＋表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路，结果必为0. 12．(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与共线的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b－c D．－a－b＋c 答案　AC 解析　因为＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，a－b－c＝－，所以与共线的向量是－a＋b＋c和a－b－c. 13．(多选)下列命题，其中是真命题的是(　　) A．若∥，则A，B，C，D四点共线 B．若∥，则A，B，C三点共线 C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b D．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 答案　BC 解析　根据共线向量的定义，若∥， 则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错误； 因为∥，且，有公共点A， 故B正确； 由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b， 所以a∥b，故C正确； 若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或 |a＋b|＝||a|－|b||，故D错误． 14.如图，已知空间四边形ABCD中，F为BC的中点，E为AD的中点，若＝λ(＋)，则λ＝______. 答案　 解析　由＝＋＋，＝＋＋，且＝－，＝－，得2EF＝＋，即＝(＋)，故λ＝. 15．已知A，B，C三点共线，对空间任一点O，若＝2＋μ，则μ＝__________，若存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________． 答案　－1　0 解析　∵A，B，C三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1， 又由λ＋m＋n＝0， 得＝－－， 由A，B，C三点共线知－－＝1，则λ＋m＋n＝0. 16．如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形． 证明　∵E，H分别是边AB，AD的中点， ∴＝，＝， ∴＝－＝－＝. 又＝－＝－＝(－) ＝， ∴＝，∴∥，||＝||. 又点F不在线段EH上， ∴四边形EFGH是梯形． 学科网（北京）股份有限公司 $$