4.3.1.3 非线性回归-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第3课时　非线性回归 [学习目标]　1.了解非线性回归模型.2.会把非线性回归模型转化成线性回归模型解决实际问题． 一、幂函数回归模型 例1　某电器企业统计了近10年的年利润额y(千万元)与投入的年广告费用x(十万元)的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关数据如表所示： ivi i i 30.5 15 15 46.5 (1)从①y＝bx＋a；②y＝m·xk(m>0，k>0)；③y＝cx2＋dx＋e三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由； (2)根据(1)中选择的回归类型，求出y与x的回归方程； (3)预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？(结果保留到万元) 参考数据：≈3.678 8,3.678 83≈49.787. 参考公式：回归直线方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解　(1)由散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且y与x呈正相关． 所以选择回归类型y＝m·xk更好． (2)对y＝m·xk两边取自然对数，得ln y＝ln m＋kln x， 因为v＝ln y，u＝ln x，则v＝ln m＋ku, 由表中数据得，＝ ＝＝， 所以ln m＝－＝1.5－×1.5＝1，所以m＝e， 所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为＝e·. (3)由(2)，知＝e·，令＝e·>10，得>，得>3.678 8， 所以x>3.678 83≈49.787≈49.8(十万元)． 故下一年应至少投入498万元广告费用． 反思感悟　幂函数型回归模型的处理方法 幂函数型y＝axn(n为常数，a，x，y均取正值)， 两边取常用对数lg y＝lg(axn)， 即lg y＝nlg x＋lg a， 令原方程变为y′＝nx′＋lg a， 然后按线性回归模型求出n，lg a. 跟踪训练1　某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价x(单位：万元/吨)和一天销售量y(单位：吨)的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图. iyi iyi 0.33 10 3 0.164 100 68 350 表中z＝，≈0.45，≈2.19. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋k·x－1哪一个更适合作为y关于x的回归方程；(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果，试建立y关于x的回归方程； (3)若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据(2)的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．(每月按30天计算，计算结果保留两位小数) 参考公式：回归直线方程＝x＋，其中＝＝，＝－. 解　(1)根据散点图知y＝c＋k·x－1更适合作为y关于x的回归方程． (2)令z＝，则y＝c＋k·z， 则＝＝＝5， ＝－·＝－5，＝－5＋， ∴y关于x的回归方程为＝－5＋. (3)一天利润为T＝y·(x－0.20)＝(x－0.2)＝6－5≤6－10≈1.5. (当且仅当x＝，即x＝0.45时取等号) ∴每月的利润为30×1.5＝45.00(万元)， ∴预计定价为0.45万元/吨时，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元． 二、指数函数回归模型 例2　人类已经进入大数据时代．目前，数据量级已经从TB(1 TB＝1 024 GB)级别跃升到PB (1 PB＝1 024TB)，EB(1 EB＝1 024 PB)乃至ZB(1 ZB＝1 024 EB)级别．国际数据公司(IDC)研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年数据量为0.8 ZB,2010年增长到1.2 ZB，2011年数据量更是高达1.82 ZB.下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB)及相关统计量的值： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份序号x 1 2 3 4 5 6 年数据量y(ZB) 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 (xi－)2 (zi－)2 (xi－)·(yi－) (xi－)·(zi－) 3.5 21.15 2.85 17.5 13.82 125.35 6.73 表中zi＝ln yi，＝i. (1)根据上表数据信息判断，方程y＝c1·ec2x(e是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程(c2精确到0.01)； (2)有人预计2023年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍．根据(1)中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由． 参考数据：e4.56≈95.58，e4.58≈97.51，在回归直线方程＝＋x中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－. 解　(1)由y＝c1·，两边同时取对数得ln y＝ln(c1·)＝ln c1＋c2x， 设z＝ln y，则z＝ln c1＋c2x. 因为＝3.5，＝2.85，(xi－)2＝17.5， (xi－)(zi－)＝6.73， 所以2＝＝≈0.38， ln 1＝－2＝2.85－0.38×3.5＝1.52. 所以z＝1.52＋0.38x＝ln y，所以y关于x的回归方程为＝e1.52＋0.38x. (2)令x＝8，得＝e1.52＋0.38×8＝e4.56≈95.58>1.82×50＝91. 预计2023年全世界产生的数据规模会超过2011年的50倍． 反思感悟　指数型函数回归模型的处理方法 (1)函数y＝ebx＋a的图象，如图． (2)处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 跟踪训练2　有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁．中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变．中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁．高铁可以说是中国一张行走的名片．截止到2022年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里．下表是2015年至2022年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 运营里程y(万公里) 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 根据以上数据，回答下面问题． (1)甲同学用直线y＝bx＋a来拟合，并算得相关系数r1＝0.97，乙同学用曲线y＝cedx来拟合，并算得转化为回归直线方程所对应的相关系数r2＝0.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由； (2)根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程(系数精确到0.01)． 参考公式：＝，＝－； 参考数据：＝2.48，(xi－)(yi－)＝15.50，(xi－)2＝42.00，令ω＝ln y，≈0.84，(xi－)(ωi－)≈6.50，(ωi－)2≈1.01，e0.14≈1.15. 解　(1)因为0<r1<r2<1， 所以y＝cedx更适合作为y关于x的回归方程类型． (2)＝＝＝4.5， 由y＝cedx两边取对数得，ln y＝ln c＋dx，令ω＝ln y， 则ω＝ln c＋dx，则＝＝ ≈0.15，ln ＝－＝0.84－×4.5≈0.14， 所以ω＝0.14＋0.15x＝ln y， 所以y关于x的回归方程为＝cedx＝e0.14e0.15x＝1.15e0.15x. 三、对数函数回归模型 例3　水泊梁山是全国挂车生产基地，郭堂村村民借助区位优势，大力发展相关产业，该村村民的收入逐年递增．以下是2016年至2022年郭堂村村民每户平均可支配收入的统计数据： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 每户平均可支配收入y(千元) 4 15 22 26 29 31 32 根据以上数据，绘制如图所示的散点图： (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dln x哪一个更适宜作为每户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)，并建立y关于x的回归方程(结果保留1位小数)； (2)根据(1)建立的回归方程，试预测要到哪一年郭堂村村民的每户平均可支配收入才能超过35千元？ (3)从2016年至2022年中任选两年，求事件A：“恰有一年的每户平均可支配收入超过22千元”的概率． 参考数据：其中ui＝ln xi，＝i. 参考公式：回归直线方程＝x＋中，＝，＝－. iyi iyi e2.1 22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2 解　(1)根据散点图，知y＝c＋dln x更适宜作为每户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归方程模型．令u＝ln x，则y＝c＋du. 由已知数据得＝＝＝＝≈14.2， ＝－＝22.7－×1.2≈5.6， 所以＝5.6＋14.2u. 故y关于x的回归方程为＝5.6＋14.2ln x. (2)由题意知，令5.6＋14.2ln x>35，整理得ln x>2.1，即x>e2.1≈8.2， 故当x＝9时，即预测要到2024年郭堂村村民的每户平均可支配收入才能超过35千元． (3)由题意知，2016年到2022年共7年，其中一年的每户平均可支配收入超过22千元的有4年，故“恰有一年的每户平均可支配收入超过22千元”的概率为P(A)＝＝. 反思感悟　对数型函数回归模型的处理方法 (1)函数y＝bln x＋a的图象，如图． (2)处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a， 再根据线性回归模型的方法求出a，b. 跟踪训练3　某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成散点图．光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤每亩)，记w＝ln x. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dln x，哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果保留小数点后两位)； (3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6～14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程当光照时长为e2小时时(自然对数的底数e≈2.718 28)，大棚蔬菜亩产约为多少． 参考数据： i i i iyi iyi 290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1 参考公式：β关于α的回归直线方程＝α＋中，＝，＝－. 解　(1)根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y＝c＋dln x更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型． (2)记w＝ln x．则y＝c＋dln x即y＝c＋dw， ＝＝＝5.12，＝＝＝2.6， ＝＝＝≈3.26， ＝－＝5.12－×2.6≈－3.34， 所以＝3.26w－3.34，即＝3.26ln x－3.34. (3)当x＝e2时，＝3.26ln e2－3.34＝3.18. 即当光照时长为e2小时时，大棚蔬菜亩产约为3.18千斤． 1．知识清单： (1)幂函数回归模型． (2)指数函数回归模型． (3)对数函数回归模型． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：模型的选择是否符合实际． 1．今有一组实验数据如下： x 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 分别用下列函数模型来拟合变量y与x之间的关系，其中拟合效果最好的是(　　) A．y＝(x2－1) B．y＝(2x－1) C．y＝log2x D．y＝2x－2 答案　A 解析　作出散点图如图所示， 由散点图可知，y随着x的变大而变大，且随着x的增大，增速逐渐增大，排除C，D. 对于A，B，分别代入x＝5.1,6.12计算y值，即可区分出A的拟合效果好于B. 2．两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是(　　) A．y＝a·xb B．y＝a·ebx C．y＝a＋bln x D．y＝a· 答案　C 解析　由散点图可知，此曲线类似对数型函数曲线，因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合， 而选项A，B，D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图． 3．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到回归直线方程z＝0.5x＋3，则c等于(　　) A．3 B．e3 C．0.5 D．e0.5 答案　B 解析　因为z＝0.5x＋3，z＝ln y，所以0.5x＋3＝ln y，所以y＝e0.5x＋3＝e3×e0.5x，故c＝e3. 4．某品牌手机销售商今年1,2,3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位：万部)与月份x之间的关系，现从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或函数y＝abx＋c(b>0，b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万件，则5月份的销售量约为________万件． 答案　1.375 解析　由题意可得，当选用函数f(x)＝ax2＋bx＋c时，解得 ∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，f(4)＝1.3. 当选用函数g(x)＝abx＋c时， 解得 ∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，g(4)＝1.35， ∵g(4)更接近于1.37，选用函数g(x)＝abx＋c， ∴g(5)＝1.375,5月份的销售量约为1.375万件． 1．如图是某商场近11年以来年交易额的散点图： 注：年份代码1～11分别对应年份2012～2022 i i i 66 9 790 506 152 22 表中wi＝t，＝i. (1)根据散点图判断，y＝a＋bt与y＝c＋dt2哪一个适宜作为交易额y关于时间变量t的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于t的回归方程，并预测2023年的交易额． 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋dt2更适宜作为交易额y关于时间变量t的回归方程类型． (2)令w＝t2，先建立y关于w的回归直线方程＝＋w， 由于＝＝22， ＝i＝＝890，＝i＝＝46， 所以＝－＝890－22×46＝－122， 所以y关于w的回归直线方程为＝－122＋22w， 因此y关于t的回归方程为＝－122＋22t2， 令t＝12，得＝－122＋22×122＝3 046， 即预测2023年的交易额为3 046亿元． 2．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛． (1)赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如表的成对数据： x(天) 1 2 3 4 5 6 7 y(秒) 990 990 450 320 300 240 210 现用y＝a＋作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？ 参考数据： iyi －72 1 845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. (2)小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率． 解　(1)由题意得，＝×(990＋990＋450＋320＋300＋240＋210)＝500， 令t＝，设y关于t的回归直线方程为＝t＋， 则＝＝＝1 000， 则＝－＝500－1 000×0.37＝130. ∴＝1 000t＋130， 又t＝， ∴y关于x的回归方程为＝＋130， 故当x＝100时，＝140. ∴小明经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为140秒． (2)设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜， 由题意知，最多再进行4局就有胜负． 当X＝2时，小明4∶1胜， ∴P(X＝2)＝×＝； 当X＝3时，小明4∶2胜， ∴P(X＝3)＝C×××＝； 当X＝4时，小明4∶3胜， ∴P(X＝4)＝C××2×＝. ∴小明最终赢得比赛的概率为＋＋＝. 3．我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额xi和年盈利额yi的数据，通过对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．令ui＝x，vi＝ln yi(i＝1,2，…，10)，经计算得如下数据： (xi－)2 (yi－)2 26 215 65 2 680 5.36 (ui－)2 (ui－)·(yi－) (vi－)2 (xi－)·(vi－) 11 250 130 2.6 12 (1)请从相关系数的角度分析，哪一个函数模型拟合程度更好？ (2)①根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程；(系数精确到0.01) ②若希望2023年年盈利额y为200亿元，请预测2023年的年研发资金投入额约为多少亿元？(结果精确到0.01) 附：相关系数r＝， 回归直线方程＝＋x中， ＝，＝－. 参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609. 解　(1)设ui和yi的相关系数为r1，xi和vi的相关系数为r2，由题意，得 r1＝ ＝＝≈0.87， r2＝ ＝＝≈0.92， 则|r1|<|r2|，因此从相关系数的角度分析， 函数模型y＝eλx＋t的拟合程度更好． (2)①先建立v关于x的回归直线方程， 由y＝eλx＋t，两边取对数得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx， ＝＝≈0.18， ＝－＝5.36－×26＝0.56， 所以v关于x的回归直线方程为＝0.18x＋0.56， 所以ln ＝0.18x＋0.56，则y关于x的回归方程为＝e0.18x＋0.56. ②当2023年年盈利额＝200(亿元)时，得ln 200＝0.18x＋0.56，即3ln 2＋2ln 5＝0.18x＋0.56，解得x≈26.32， 所以2023年的年研发资金投入额约为26.32亿元． 4.某书业出版集团为适应新时期学生的需要，不断改革创新，受到了广大师生的一致认可与好评，该集团为应对教材改革的需要，为今后的工作做好准备，为此特别统计了近9年以来数学学科教辅材料的年销售额yi(单位：十万本，i＝1,2，…，9)，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：(其中1～9对应的年份是2013～2021) iyi izi 2.72 19 139.09 1 095 表中zi＝，＝i. (1)从9个样本点中任意选取2个点，在2个点的年销售额都不高于三十万本的条件下，求2个点都高于二十万本的概率； (2)由散点图分析，样本点都集中在曲线＝ln(t＋)的附近，请求y关于t的方程＝ln(t＋)，并估计该书业出版集团从什么时候开始数学教辅材料的年销售额超过四十万本． 参考公式：回归直线方程是＝μ＋， ＝＝，＝－. 参考数据：e4≈54.6. 解　(1)9个样本点中的年销售额都不高于三十万本的有5个，高于二十万本且不高于三十万本的有3个， 设事件A：“所取2个点的年销售额都不高于三十万本”， 事件B：“所取2个点的年销售额高于二十万本”， ∴事件AB：“所取2个点的年销售额高于二十万本且不高于三十万本”， 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝. (2)∵＝ln(t＋)，∴＝e＝t＋， ＝5，＝285， ∴＝ ＝＝＝4， ∴＝－＝19－4×5＝－1， ∴＝ln(4t－1)． 令ln(4t－1)>4，解得t>≈13.9， ∴t≥14， 即该书业出版集团从2026年开始数学教辅材料的年销售额超过四十万本． 学科网（北京）股份有限公司 $$