5.1.2.1 导数的概念 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教A版2019）

第1课时　导数的概念 第五章　5.1.2　导数的概念及其几何意义 1.了解导数概念的实际背景. 2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. 学习目标 导语 同学们，经过上节课的学习，我们把物理中的平均速度和瞬时速度对应到了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短时间内拍两次，然后看你发生的位移，原理也是无限逼近的思想，今天我们用上述思想方法继续研究更一般的问题. 一、导数的概念 二、导数定义的应用 课时对点练 三、导数在实际问题中的意义 随堂演练 内容索引 导数的概念 一 问题　瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？ 提示　瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率.实际上，上节课我们通过研究抛物线的切线斜率就大致了解了瞬时变化率在数学中的意义. 1.平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). 我们把比值 ，即 ＝ 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率. 知识梳理 7 2.导数 如果当Δx→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限， 则称y＝f(x)在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在 处的_____(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即f′(x0)＝ ＝ . 可导 x＝x0 导数 f′(x0) 知识梳理 8 注意点：(1)曲线切线的斜率即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数；(2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价. 知识梳理 9 例1　已知函数y＝f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) 10 (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率； 当x0＝2，Δx＝0.01时， 即函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为8.02. 11 (3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率. Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx. 12 求瞬时变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. 反思感悟 13 跟踪训练1　已知函数f(x)＝ (1)函数f(x)在区间[1,1.5]，[1,1.1]上的平均变化率各是多少？ 14 (2)函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是多少？ 函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为 15 导数定义的应用 二 例2　求函数y＝x－ 在x＝1处的导数. 从而y′|x＝1＝2. 17 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). 反思感悟 18 跟踪训练2　(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为 A.2x B.2 C.2＋Δx D.1 √ 19 (2)已知f(x)＝ ，且f′(m)＝－ ，则m的值等于 A.－4 B.2 C.－2 D.±2 √ 20 导数在实际问题中的意义 三 例3　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6.求c′(1)与c′(2)，并说明它们的实际意义. 22 设x＝1时产量的改变量为Δx， 设x＝2时产量的改变量为Δx， 23 c′(1)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元； c′(2)的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元. 24 导数的物理意义是：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为它的瞬时变化率. 反思感悟 25 跟踪训练3　一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的 函数：s＝ 求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义. 26 当0≤t<3时，s(t)＝3t2， 当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2， s′(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，s′(4)＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分. 27 1.知识清单： (1)导数的概念. (2)导数定义的应用. (3)导数在实际问题中的意义. 2.方法归纳：定义法. 3.常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知物体做直线运动的方程为s＝s(t)(位移单位：m，时间单位：s)，则s′(4)＝10 m/s表示的意义是 A.经过4 s后物体向前走了10 m B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C.物体在第4 s内向前走了10 m D.物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则 等于 A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2 √ 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是 A.1 B.－1 C.2 D.－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3 处的导数为 A.－1 B.－2 C.1 D.2 √ 由题意， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设函数f(x)在x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则 A.f′(x)＝a B.f′(x)＝b C.f′(x0)＝a D.f′(x0)＝b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若函数y＝f(x)在x＝x0处导数为f′(x0)，则 A.－f′(x0) B.3f′(x0) C.－3f′(x0) D.－4f′(x0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于 A.－2 B.2 C.－1 D.1 √ ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.与x0有关 B.与h有关 C.与x0无关 D.与h无关 √ 由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝_____. 又因为f′(1)＝3，所以a＝3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝_____. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数. Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义. f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 令x→0，则Δx＝1－(1－2x)＝2x→0， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有 A.两机关节能效果一样好 B.A机关比B机关节能效果好 C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关 的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________. 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4] 结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. [x3，x4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则 的最小值为_____. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由导数的定义， 16.一小球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2(位移单位：m，时间单位：s).求小球在5 s～6 s间的平均速度和5 s～5.1 s间的平均速度，并与用匀加速直线运动速度公式求得的t＝5 s时的瞬时速度进行比较. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 小球在5 s～6 s间的平均速度为 在5 s～5.1 s间的平均速度为 因为s＝t2，所以t＝5 s时的瞬时速度为 所以5 s～5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度. ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx. 由(1)可知＝4x0＋2Δx， ＝4×2＋2×0.01＝8.02， ∴＝2Δx＋8. 故函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为 ＝(2Δx＋8)＝8. (3)得平均变化率＝. (4)得瞬时变化率. ∵f(x)＝－， ∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，f(1.1)＝－， ∴该函数在区间[1,1.5]上的平均变化率为＝＝4， 在区间[1,1.1]上的平均变化率为＝＝. －. ＝＝＝＝6. ∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋， ∴＝＝1＋， ∴＝＝2. (2)求平均变化率＝. (3)求极限 . ＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. 所以f′(m)＝ ＝－， 所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 因为＝＝＝， c′(2)＝＝(－2Δx－1)＝－1. 则＝＝＝－2Δx＋3， c′(1)＝＝ (－2Δx＋3)＝3， 则＝＝＝－2Δx－1， ＝＝＝6＋3Δt， ∴s′(1)＝ ＝ (6＋3Δt)＝6. ＝＝＝18＋3Δt， ∴s′(4)＝＝(18＋3Δt)＝18. 2.若函数f(x)可导，则 等于 A.－2f′(1) B. f′(1) C.－f′(1) D. f′ ＝－＝－ f′(1). ＝＝＝4＋2Δx.  f′(1)＝＝＝＝. 4.已知函数f(x)＝，则f′(1)＝_____. ＝＝＝－1. 知f′(3)＝＝－2. ∵＝＝a＋bΔx. ∴f′(x0)＝＝a. ＝－4 ＝－4f′(x0). 等于 ∴f′(0)＝＝＝－1. 6.(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值 因为f′(1)＝ ＝ ＝a. 由题知－8＝＝(2Δx＋4x0)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝  f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9. ∴＝＝2Δx＋16. ∴y′|x＝3＝＝(2Δx＋16)＝16. 因为＝＝＝3， 所以f′(2)＝ ＝3. 所以＝＝f′(1)＝－1. 11.设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)为 A.1 B.－1 C.2 D.－2 ∵ ＝＝－3f′(x0)＝a， 13.设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0) ＝________. －a ∴f′(x0)＝－a. 上的平均变化率分别为，，， 得f′(0)＝＝＝[a·(Δx)＋b]＝b>0. 又∴ac≥，∴c>0. ∴＝≥≥＝2. 当且仅当a＝c＝时等号成立. ＝＝36－25＝11(m/s)， ＝＝＝10.1(m/s)， v＝ ＝(10＋Δt)＝10(m/s). $$