1.5.2 数学归纳法的应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第一章　§5　数学归纳法 第2课时　 数学归纳法的应用 1.进一步熟练数学归纳法的原理与步骤. 2.能用数学归纳法证明数学问题.　　 学习目标 一、用数学归纳法证明不等式 二、用数学归纳法证明整除问题 课时对点练 三、用数学归纳法证明几何问题 随堂演练 内容索引 用数学归纳法证明不等式 一 例1　 5 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立， ∴当n＝k＋1时，不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立. 6 7 (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立， ∴当n＝k＋1时，不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对任意n>1且n∈N＋都成立. 8 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 关键点一 验证第1个n的取值时，要注意n0不一定为1，若条件为n＞k，则n0＝k＋1 关键点二 证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推” 反思感悟 9 关键点三 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明 关键点四 证明n＝k＋1成立时，应加强目标意识，即要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放得过大”或“缩得过小” 反思感悟 10 跟踪训练1　 11 (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立， 那么当n＝k＋1时， 12 ∴当n＝k＋1时，不等式成立. 根据(1)(2)可知，对任意n∈N＋且n≥2，不等式都成立. 13 用数学归纳法证明整除问题 二 例2　证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除. (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，则当n＝k＋1时， f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9 ＝9×32k＋2－8k－17 ＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64. 故f(k＋1)也能被64整除. 综合(1)(2)，知当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除. 15 用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明. 反思感悟 16 跟踪训练2　用数学归纳法证明：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数(n∈N＋). 17 (1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时， 3×52k＋1＋23k＋1是17的倍数， 令3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m∈N＋)， 则当n＝k＋1时，3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8 ＝(3×52k＋1＋23k＋1)×8＋17×3×52k＋1 ＝8×17m＋3×17×52k＋1 ＝17(8m＋3×52k＋1)， 18 ∵m，k∈N＋，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除，即当n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数. 综合(1)(2)知，对任意正整数n，都有3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数. 19 用数学归纳法证明几何问题 三 例3　求证平面上凸n边形(n∈N＋，n≥4)的对角线的条数为f(n)＝ n(n－3). 21 (2)假设n＝k(k≥4，k∈N＋)时命题成立，即平面上凸k边形A1A2…Ak共 有f(k)＝ k(k－3)条对角线，则当n＝k＋1时，即平面 上凸k＋1边形在k边形的基础上增加了1个顶点Ak＋1， 如图所示，这时新增加的对角线是Ak＋1A2，Ak＋1A3， …，Ak＋1Ak－1以及A1Ak，共增加了(k＋1－3)＋1＝(k －1)条. 22 ＝f(k＋1)，所以n＝k＋1时，命题也成立. 由(1)(2)可知，对于任意n≥4，n∈N＋，命题都成立. 23 (1)利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少.一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法.即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设. (2)对于本题，当n＝k＋1时，对角线条数的增量k－1可用画图的方法去找，也可由f(n)＝ n·(n－3)，得f(k＋1)－f(k)＝k－1分析出，再结合图形说明为什么从“n＝k”到“n＝k＋1”时，对角线条数的增量为k－1. 反思感悟 24 跟踪训练3　平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点.求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分. (1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，k个圆把平面分成k2－k＋2个部分.当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即当n＝k＋1时命题也成立.由(1)(2)可知，对任意n∈N＋命题都成立. 25 1.知识清单： (1)利用数学归纳法证明不等式. (2)利用数学归纳法证明整除问题. (3)利用数学归纳法证明几何问题. 2.方法归纳：数学归纳法. 3.常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，n0的取值应为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3. 1 2 3 4 3.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，将式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为_____________________. 采取凑配法，凑出归纳假设k3＋5k，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6. (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步验证中的起始值n0应取 A.2 B.3 C.5 D.6 √ 当n取0,1,2,3,4时，2n>n2＋1均不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，故第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知8>7,16>9,32>11，…，则有 A.2n>2n＋1 B.2n＋1>2n＋1 C.2n＋2>2n＋5 D.2n＋3>2n＋7 √ 由8>7,16>9,32>11可知 第一项为8>7⇒21＋2>2×1＋5， 第二项为16>9⇒22＋2>2×2＋5， 第三项为32>11⇒23＋2>2×3＋5， 依此类推，第n项为2n＋2>2n＋5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N＋)能被3整除”的过程中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为 A.5(5k－2k)＋3×2k B.(5k－2k)＋4×5k－2k C.3(5k－2k) D.2(5k－2k)－3×5k √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 即5k－2k能被3整除， 则当n＝k＋1时， 5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k ＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k ＝5(5k－2k)＋3×2k. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的是 A.假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立 B.假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立 C.假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立 D.假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为n为正奇数，所以步骤(2)应为假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，此时n＝k＋2也为正奇数；也可为假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，此时n＝2k＋1也为正奇数.故B，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是 A.若f(6)<7成立，则f(5)<6成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，所以f(5)<6成立，故A正确； 若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确.所以选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.k B.2k－1 C.2k D.2k＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____. 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1 ＋52(k＋1)＋1应变形为______________________________________________ _____________. 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1. 81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不 过同一点，证明：交点的个数f(n)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个. ∴当n＝2时，命题成立. 那么，当n＝k＋1时， l与其他k条直线交点个数为k. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点， ∴当n＝k＋1时，命题也成立. 由(1)(2)可知，对任意n∈N＋，n≥2，命题都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即当n＝k＋1时，命题也成立. 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N＋都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，当n＝k＋1时，只需展开 A.(k＋3)3 B.(k＋2)3 C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3 √ 假设当n＝k时，原式＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，原式＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 A.n＋1 B.2n C. D.n2＋n＋1 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋ 个区域. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若对任意n∈N＋，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝___. 当n＝1时，36＋a3能被14整除，则a＝3或a＝5； 当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除， 故a＝5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝ ，n∈N＋，则下列结论成立的是 A.a2 019<a2 020<a2 018 B.a2 020<a2 019<a2 018 C.a2 019<a2 018<a2 020 D.a2 018<a2 019<a2 020 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 > > ，即a3<a4<a2， 所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－1<a2n<a2n－2， 以下为证明： 当n＝2时，a3<a4<a2成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，a2k－1<a2k<a2k－2成立， 当n＝k＋1时，因为a2k－1<a2k<a2k－2， 所以有 > > ， 即a2k－1<a2k＋1<a2k成立. 所以 > > ， 即a2k＋1<a2k＋2<a2k.所以当n＝k＋1时，猜想也成立.故当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－1<a2n<a2n－2，所以a2 019<a2 020<a2 018. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由①②得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故当n＝2时不等式也成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋). 即1＋＋＋…＋<2. 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2＋＝ <＝＝2. 延伸探究　本例中把不等式改为“1＋＋＋…＋>(n>1且n∈N＋)”， 试用数学归纳法证明. 那么当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋>＋＝ >＝. (1)当n＝2时，左边＝1＋＝， 右边＝，∴左边>右边，∴不等式成立. 即1＋＋＋…＋>. 求证：当n∈N＋且n≥2时，＋＋…＋>. ＝＋＋…＋＋＋－ ＝＋－>＋>， (1)当n＝2时，＋＝＝>，不等式成立. 即＋＋…＋>， ＋…＋＋＋ (1)当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，平面上四边形有2条对角线，命题成立. 因为k(k－3)＋(k－1)＝(k2－k－2) ＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3] 由题意得，第一步应验证当n＝2时，不等式1＋＋<2. 1.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)时，第一步应验证不等式 A.1＋<2 B.1＋＋<2 C.1＋＋<3 D.1＋＋＋<3 1＋＋＋…＋> 4.观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋ >2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为 _______________________(n∈N＋). 当n＝k时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k－1项；当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k＋1－1项，所以增添的项数为2k＋1－2k＝2k. 6.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≤n时，从n＝k到n＝k＋1不等式左边增添的项数是 又f(2)＝×2×(2－1)＝1， (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝k(k－1)， 任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)， 即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k ＝k(k－1＋2)＝k(k＋1) ＝(k＋1)[(k＋1)－1]， 10.用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N＋). (1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1， 且≤1＋≤，命题成立. 即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k， 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋. 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)， 12.在用数学归纳法证明f(n)＝＋＋…＋<1(n∈N＋，n≥3)的过程中： 假设当n＝k(k∈N＋，k≥3)时，不等式f(k)<1成立，则需证当n＝k＋1时， f(k＋1)<1也成立.若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)等于 A.＋ B.＋－ C.－ D.－ 当n＝k＋1时，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋， 又f(k)＝＋＋…＋， 所以g(k)＝＋－. ＝ 因为a1＝，an＋1＝ ， 所以a2＝ >＝a1，所以1>a2>a1， 所以1< < ，即a1<a3<a2， 16.已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥. (1)求a的值； 由于f(x)＝ax－x2的最大值不大于，所以f ＝≤，即a2≤1.① 又当x∈时f(x)≥， 所以即解得a≥1. ② (2)若0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N＋.证明：an＜. 所以f(x)在上单调递增， ①当n＝1时，0＜a1＜，不等式0＜an＜成立.因为f(x)＞0，x∈ ， 所以0＜a2＝f(a1)≤＜， ②假设当n＝k(k≥2)时，不等式0＜ak＜成立，因为f(x)＝x－x2的对称轴为x＝， 所以由0＜ak＜≤得0＜f(ak)＜f ， 于是有0＜ak＋1＜－·＋－＝－ ＜， 根据①②可知，对任何n∈N＋，不等式an＜成立. $$