1.3.2.1 等比数列的前n项和公式-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 导语 2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十五号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得成功．神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程立项实施以来的第27次飞行任务，也是进入空间站阶段后的第4次载人飞行任务．此次发射成功标志着空间站关键技术验证和建造阶段规划的12次发射任务全部圆满完成．小明在手机上写下这条消息后将此消息传给了两个朋友，这两个朋友在1分钟后分别将此消息传给了未知此消息的两个朋友，如此进行下去，4分钟后，这条消息传遍了多少人？ 一、等比数列前n项和公式的基本运算 问题　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示　因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 知识梳理 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 注意点： (1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论． (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数. (3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项. 例1　求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1＝27，a9＝，q<0. 解　(1)因为a1＝，q＝， 所以S8＝＝. (2)由a1＝27，a9＝，可得＝27q8. 又因为q<0，解得q＝－， 所以S8＝＝＝＝. 反思感悟　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立． 跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，首项a1＝8，公比q＝，那么它的前5项和S5的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　S5＝＝＝. (2)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________. 答案　2　2n＋1－2 解析　设等比数列的公比为q， ∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40， ∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20， 解得q＝2，且a1＝2. ∴Sn＝＝＝2n＋1－2. 二、等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用 例2　在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解　(1)设{an}的公比为q，由题意得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1. 由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. 反思感悟　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解． 跟踪训练2　等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________. 答案　32 解析　设{an}的首项为a1，公比为q， 则解得 所以a8＝×27＝25＝32. 三、等比数列前n项和公式的实际应用 例3　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度， 由题意得an＋1＝an， 因此，数列{an}是以25为首项，为公比的等比数列． 热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn＝a1＋a2＋…an＝ ＝ ＝125×<125， 即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 反思感悟　解答等比数列前n项和公式的实际应用问题的注意事项 (1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型． (2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释． (3)实际问题解答完成后一定要有结论． 跟踪训练3　国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．试问从2015年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(精确到年，参考数据：1.128≈2.476，1.127≈2.211) 解　设从2015年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an万亩． 则a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…， an＝515(1＋12%)n，…. Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝＝6 370－515， 所以515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12， 即1.12n≈2.218. 又因为n∈N＋，当n＝7时，1.127≈2.211<2.218，此时完不成退耕还林计划，所以n＝8. 故到2023年底西部地区才能完成退耕还林计划． 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式． (2)等比数列的前n项和公式的应用． 2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论法． 3．常见误区： (1)忽略q＝1的情况而致错． (2)忽略对参数的讨论． 1．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于(　　) A．－63 B．31 C．－31 D．63 答案　D 解析　S6＝＝26－1＝64－1＝63. 2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论．他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米；……，所以阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，且首项a1＝100，公比q＝，易知a5＝10－2，则乌龟爬行的总距离(单位：米)为 S5＝＝＝. 3．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________. 答案　3或－4 解析　因为q≠1，所以S3＝＝＝26，所以q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4. 4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________. 答案　6 解析　因为a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又因为Sn＝126，所以＝126，解得n＝6. 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 答案　C 解析　设{an}的公比为q，因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.又a1＝1，所以S4＝＝15. 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　显然q≠1，由Sn＝， 得93＝，解得q＝2.由an＝a1qn－1， 得48＝3×2n－1，解得n＝5. 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 答案　B 解析　设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝＝＝381， 解得a1＝3. 4．在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　a1＝2，am＋n＝aman， 令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an， ∴{an}是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴an＝2×2n－1＝2n. 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25， ∴＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4. 5．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　) A.或5 B.或5 C. D. 答案　C 解析　由9S3＝S6，得q≠1，且＝， 即1＋q3＝9，解得q＝2， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 则数列的前5项和为＝. 6．(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝1，＋＋＝，则(　　) A．{an}必是递减数列 B．S5＝ C．公比q＝4或 D．a1＝4或 答案　BD 解析　设等比数列{an}的公比为q，则q>0， 因为a1a5＝a＝1，a3＝a1q2＝1 ， 所以＋＋＝1＋＋＝1＋＝1＋a1＋a5＝a1＋1＋＝， 解得或 当a1＝4，q＝时，S5＝＝， 数列{an}是递减数列； 当a1＝，q＝2时， S5＝＝，数列{an}是递增数列； 综上，S5＝. 7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________. 答案　－2 解析　S3＋3S2＝a1＋a2＋a3＋3a1＋3a2＝4a1＋4a2＋a3＝a1(4＋4q＋q2)＝a1(2＋q)2＝0， 故q＝－2. 8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________. 答案　2n－1 解析　设等比数列{an}的公比为q. 则q＝＝＝， 所以＝＝＝2n－1. 9．已知等比数列{an}． (1)若q＝2，S4＝1，求S8的值； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S6的值． 解　(1)方法一　∵q＝2，S4＝1， ∴＝1，即a1＝， ∴S8＝＝＝17. 方法二　∵S4＝＝1，且q＝2， ∴S8＝＝·(1＋q4) ＝1×(1＋24)＝17. (2)设等比数列{an}的公比为q，由题意得 即 ∵a1≠0,1＋q2≠0， ∴②÷①得，q3＝，即q＝， ∴a1＝8，∴a4＝a1q3＝8×3＝1， S6＝＝＝. 10．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和． 解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1，n∈N＋. (2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得＝， 因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列． 设{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝＝－. 11．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝. 12．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 答案　B 解析　设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1. ∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8. ∵＝＝qm＝8＝， ∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2. 13．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为(　　) A．S1 B．S2 C．S3 D．S4 答案　C 解析　由题意知S1正确；若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12.a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65；若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12.∴q＝， ∴S4＝＝＝65，符合题意． 14．在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是________(填序号)． ①q＝2；②数列{Sn＋2}是等比数列；③S8＝510；④数列{lg an}是公差为2的等差数列． 答案　①②③ 解析　因为数列{an}为等比数列， 又a1·a4＝32，所以a2·a3＝32， 又a2＋a3＝12， 所以或 又公比q为整数，则 故an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2，由上可得q＝2，即①正确； Sn＋2＝2n＋1，＝＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，即②正确； S8＝29－2＝510，即③正确； lg an＋1－lg an＝lg ＝lg 2，即数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，即④错误． 15．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在直线y＝x＋上．若bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝________. 答案　 解析　依题意得＝n＋， 即Sn＝n2＋n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－＝2n－； 当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－， 所以an＝2n－(n∈N＋)， 则bn＝＝32n， 由＝＝32＝9， 可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32＝9， 故Tn＝＝. 16．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N＋. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； (2)求T2n. 解　(1)因为an·an＋1＝n， 所以an＋1·an＋2＝n＋1， 所以＝，即an＋2＝an， 因为bn＝a2n＋a2n－1， 所以＝＝＝， 所以{bn}是公比为的等比数列． 因为a1＝1，a1·a2＝， 所以a2＝，则b1＝a2＋a1＝， 所以bn＝×n－1＝. (2)由(1)可知＝， 所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列， 所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－. 学科网（北京）股份有限公司 $$