2025年中考数学压轴填空题专项集训：反比例函数

反比例函数 一．填空题（共25小题） 1．如图，点A在反比例函数y（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，若BC：CD＝2：1，S△ADC，则k的值为 　 　． 2．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C′落在第四象限，过M点的反比例函数y（k≠0）的图象恰好过MN的中点，点C′的坐标为 　 　． 3．已知如图，直线yx分别与双曲线y（m＞0，x＞0）、双曲线y（n＞0，x＞0）交于点A，点B，且，将直线yx向左平移6个单位长度后，与双曲线y交于点C，若S△ABC＝4，则mn的值为　 　． 4．如图，点P是反比例函数y1（x＞0）上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若OP＝2AB，∠OBA＝90°，则点P的坐标为 　 　． 5．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 　 　，点F的坐标为 　 　． 6．如图，直线yx与双曲线y交于A、B两点，直线BC经过点B，与双曲线y交于另一点C，∠ABC＝45°，连接AC，若△ABC的面积是35，则k＝　 　． 7．如图，经过原点O的直线与反比例函数y（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 　 　，的值为 　 　． 8．如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则　 　． 9．如图，直角坐标系中，Rt△ABC的AB边在x轴上，∠CAB＝90°，sin∠ACB．将Rt△ABC沿直线BC翻折得Rt△DBC，再将Rt△DBC绕点B逆时针旋转，正好点C与坐标原点O重合，点D的对应点E落在反比例函数y（x＞0）的图象上，此时线段AC交双曲线于点F，则点F的坐标为　 　． 10．如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数y的图象上，则点B的坐标为 　 　． 11．如图，一次函数y＝x与反比例函数y（k＞0）的图象在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OC在x轴正半轴上，四边形OABC为平行四边形，反比例函数y的图象经过点A与边BC相交于点D，若S△ABC＝15，CD＝2BD，则k＝　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边分别平行于坐标轴，原点O恰好为矩形对角线的交点，反比例函数y的图象与矩形ABCD的边交于点M、N、P、Q，记矩形ABCD的面积为S1，四边形MNPQ的面积为S2，若S1＝3S2，则MN：MQ的值为　 　． 14．如图，平行四边形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，O为坐标原点，以OA为斜边构造等腰Rt△AOD，反比例函数y（m＞0）的图象经过点A，交BC于点E，连接DE，若tan∠AOC＝3，DE∥x轴，DE＝2，则m的值为 　 　． 15．以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为　 　． 16．已知函数y（x＞0）与y（x＜0）的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A、B两点，连接OA、OB．下列结论； ①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2； ②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形； ③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP； ④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，）． 其中正确的结论为　 　． 17．如图，经过原点O的直线与反比例函数y（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为　 　，的值为　 　． 18．如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，在反比例函数y的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上，则点A2的坐标是 　 　． 19．已知直线y＝kx+2与y轴交于点A，与双曲线y相交于B，C两点，若AB＝3AC，则k的值为　 　． 20．如图，动点P在函数的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值等于 　 　． 21．如图，函数y（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论： ①△ODM与△OCA的面积相等； ②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°； ③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2； ④若MFMB，则MD＝2MA． 其中正确的结论的序号是　 　．（只填序号） 22．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝　 　． 23．如图，直线yx+6与反比例函数y（k＞0）的图象交于点M、N，与x轴、y轴分别交于点B、A，作ME⊥x轴于点E，NF⊥x轴于点F，过点E、F分别作EG∥AB，FH∥AB，分别交y轴于点G、H，ME交HF于点K，若四边形MKFN和四边形HGEK的面积和为12，则k的值为　 　． 24．已知双曲线y与直线yx交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则的值是　 　． 25．如图，直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴的正半轴于点A，B，交反比例函数y的图象于点C，D（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若，则CD的长为　 　． 反比例函数 参考答案与试题解析 一．填空题（共25小题） 1．如图，点A在反比例函数y（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，若BC：CD＝2：1，S△ADC，则k的值为 　16　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．首先证明S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，由此构建方程即可解决问题； 【解答】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F． ∵BC：CD＝2：1，S△ADC， ∴S△ACB， ∵OA＝AB， ∴B（2m，2n），S△AOC＝S△ACB， ∵A、C在y上，BC＝2CD， ∴C（m，n）， ∵S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC， ∴•（nn）m， ∴mn＝16， ∵A（m，n）， ∴k＝16． 故答案为16 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，本题的突破点是证明S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC． 2．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C′落在第四象限，过M点的反比例函数y（k≠0）的图象恰好过MN的中点，点C′的坐标为 　（，）　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）．版权所有 【专题】代数几何综合题；运算能力． 【答案】（，）． 【分析】利用△BQM≌△OQN（AAS），得到点Q是MN的中点，利用Rt△OHQ∽Rt△OCB得到，求出k的值，设AM＝a，则BM＝3a＝OM，求得OA＝2a，再根据反比例函数系数k的几何意义求得a，从而求得OC′＝BC＝OA＝2，ON＝BN＝OM，根据三角形面积求得C′G，再根据勾股定理即可求得OG，从而求得C′的坐标． 【解答】解：如图，连接OB，交MN于点Q， ∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN， ∴QB＝QO，MB＝MO， ∵AB∥CO， ∴∠ABQ＝∠NOQ， ∵∠MQB＝∠NQO， 而OQ＝BQ， ∴△BQM≌△OQN（AAS）， ∴QM＝QN，即点Q是MN的中点， 过点Q作QH⊥BC于点H，则QH是△OBC的中位线， 则Rt△OHQ∽Rt△OCB， 则， 而S△OBCS矩形AOCB， 则S△OHQk， 解得k， ∵点M是反比例函数上的点， 则S△AOMk， 而S△ABOS矩形AOCB4S△AOM， 故AMAB， 设AM＝a，则BM＝3a＝OM， 则OA＝2a， 则S△AOMAM•AOa•2a， 解得a（负值已舍去）， 则AB＝4AM＝2，AM＝a， 连接BN，作C′G⊥ON于G， ∵QO＝BQ，QM＝NQ， ∴四边形MONB是平行四边形， ∴ON＝BN＝OM， ∵OC′＝BC＝OA， ∴Rt△AOM≌Rt△CBN≌Rt△C′ON（HL）， ∴S△C′ON＝S△AOM，ON＝OM，OC′＝OA＝2， ∴ON•C′G， ∴C′G， ∴C′G， ∴OG， ∴C′为（，）， 故答案为：（，）． 【点评】此题考查了翻折变换，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，坐标与图形变换﹣对称，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，解决本题的关键是综合运用以上知识，难度较大． 3．已知如图，直线yx分别与双曲线y（m＞0，x＞0）、双曲线y（n＞0，x＞0）交于点A，点B，且，将直线yx向左平移6个单位长度后，与双曲线y交于点C，若S△ABC＝4，则mn的值为　100　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】先求出直线yx向左平移6个单位长度后的解析式为yx+4，那么直线yx+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．根据互相垂直的两直线斜率之积为﹣1得出直线EF的解析式为yx+4，再求出F（，），EF，根据S△ABC＝4，求出AB，那么OAAB，进而求出A、B两点坐标，求出m、n即可解决问题． 【解答】解：直线yx向左平移6个单位长度后的解析式为y（x+6），即yx+4， ∴直线yx+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F． 可得直线EF的解析式为yx+4， 由，解得，即F（，）． ∴EF， ∵S△ABC＝4， ∴•AB•EF＝4， ∴AB， ∵， ∴OAAB， ∴A（3，2），B（5，）， ∴m＝6，n， ∴mn＝100． 故答案为100． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求直线的解析式，两点间的距离公式，三角形的面积，函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 4．如图，点P是反比例函数y1（x＞0）上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若OP＝2AB，∠OBA＝90°，则点P的坐标为 　（，）　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（，）． 【分析】延长PA交x轴于C，延长PB交y轴于D，设点P（a，b），可表示出A和B两点坐标，计算得出，从而得出△PAB∽△PCD，进而推出AB∥CD，根据OP＝2AB，进而得出AB是△PCD的中位线，再证得△PAB∽△DBO，从而得出a，b的关系式，结合a•b＝3，从而求得a，b的值，进而得出结果． 【解答】解：如图，延长PA交x轴于C，延长PB交y轴于点D， 设点P（a，b）， ∴A（a，），B（，b），a•b＝3， ∵，， ∴， ∵∠APB＝∠CPD， ∴△PAB∽△PCD， ∴∠PAB＝∠PCD， ∴AB∥CD， ∴△PBA∽△PDC， ∴， ∵∠PDO＝∠COD＝∠PCO＝90°， ∴四边形CODP是矩形， ∴AP＝CD， ∴， ∴B（，b），A（a，）， ∵∠APB＝∠BDO＝90°， ∴∠BOD+∠DBO＝90°， ∴∠ABO＝90°， ∴∠DBO+∠ABP＝90°， ∴∠BOD＝∠ABP， ∴△BOD∽△ABP， ∴， ∴， ∴b2， ∵a•b＝3， ∴a，b， 故答案为：（，）． 【点评】本题结合反比例函数的知识，考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，发现和构造相似三角形． 5．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 　　，点F的坐标为 　（，0）　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．版权所有 【专题】整式；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】，（，0）． 【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【解答】解：如图， 方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I， 设点B（b，），D（a，）， 由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC， ∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD， ∴OI＝BI， ∴DI＝CI， ∴， ∵∠CID＝∠BIO， ∴△CDI∽△BOI， ∴∠CDI＝∠BOI， ∴CD∥OB， ∴S△BOD＝S△AOBS矩形AOCB， ∵S△BOE＝S△DOG3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE， ∴S梯形BEGD＝S△BOD， ∴•（a﹣b）， ∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0， ∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0， ∴a＝2b，a（舍去）， ∴D（2b，）， 即：（2b，）， 在Rt△BOD中，由勾股定理得， OD2+BD2＝OB2， ∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（）2]＝b2+（）2， ∴b， ∴B（，2），D（2，）， ∵直线OB的解析式为：y＝2x， ∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3， 当y＝0时，230， ∴x， ∴F（，0）， ∵OE，OF， ∴EF＝OF﹣OE， ∴， 方法二：如图，连接OD，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H， 由上知：DF∥OB， ∴S△BOF＝S△BOD， ∵S△BOE|k|＝3， ∴， 设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a， ∴BE，OG＝3a+b，DG， ∵△BOE∽△DFG， ∴， ∴， ∴a＝b，a（舍去）， ∴D（4a，）， ∵B（2a，）， ∴， ∴GH＝EG＝2a， ∵∠ODH＝90°，DG⊥OH， ∴△ODG∽△DHG， ∴， ∴， ∴a， ∴3a， ∴F（，0） 故答案为：，（，0）． 【点评】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 6．如图，直线yx与双曲线y交于A、B两点，直线BC经过点B，与双曲线y交于另一点C，∠ABC＝45°，连接AC，若△ABC的面积是35，则k＝　6　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；推理能力；应用意识． 【答案】故答案为：6． 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点O作OK⊥AB交BC于点K，过点K作KT⊥x轴于T，设BC交y轴于点J，连接OC，设A（m，m），则OM＝m，AMm，B（﹣m，m）．利用全等三角形的性质不熟悉点K的坐标再求出直线BK的解析式为y＝2xm，设C（n，2nm），构建方程组求出m2，可得结论． 【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点O作OK⊥AB交BC于点K，过点K作KT⊥x轴于T，设BC交y轴于点J，连接OC，设A（m，m），则OM＝m，AMm，B（﹣m，m）． ∵∠ABC＝45°，OK⊥AB， ∴OK＝OB＝OA， ∵∠OTK＝∠AOK＝∠AMO＝90°， ∴∠KOT+∠AOM＝90°，∠AOM+∠OAM＝90°， ∴∠KOT＝∠OAM， ∴△KTO≌△OMA（AAS）， ∴OT＝AMm，KT＝OM＝m， ∴K（m，m）， ∴直线BK的解析式为y＝2xm， 设C（n，2nm）， ∴J（0，m）， ∵S△BOC＝S△AOC， ∴S△BOJ+S△OCJ， 则有， 可得m2＝18， ∴k＝mm＝6， 【点评】本题考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 7．如图，经过原点O的直线与反比例函数y（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 　24　，的值为 　﹣3　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】24，﹣3． 【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得ab＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K． 由题意A，D关于原点对称， ∴A，D的纵坐标的绝对值相等， ∵AE∥CD， ∴E，C的纵坐标的绝对值相等， ∵E，C在反比例函数y的图象上， ∴E，C关于原点对称， ∴E，O，C共线， ∵OE＝OC，OA＝OD， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24， ∴S△AOE＝S△DEO＝12， ∴ab＝12， ∴a﹣b＝24， ∵S△AOC＝S△AOB＝12， ∴BC∥AD， ∴， ∵S△ACB＝32﹣24＝8， ∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1， ∴BC：AD＝1：3， ∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m， ∴AK：BK＝3：1， ∴3， ∴3，即， 解法二：设A（m，），B（m，），则E（，），D（﹣m，），C（，）， 由题意，a﹣b＝24，2a﹣（m）（）32， 化简可得，3． 故答案为24，﹣3． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，学会添加常用辅助线，构造平行线是解题的关键． 8．如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则　　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M．利用相似三角形的性质证明，设A（m，），则B（，），由BC∥x轴，EC∥y轴，推出C（2m，），E（2m，），求出直线OC，BE的解析式，构建方程组确定点F的坐标，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M． ∵AN∥BM， ∴△OBM∽△OAN， ∵S△OBM，S△AON＝2k， ∴（）2， ∴， 设A（m，），则B（，）， ∵BC∥x轴，EC∥y轴， ∴C（2m，），E（2m，）， ∴直线OC的解析式为yx，直线BE的解析式为yx， 由，解得， ∴F（，）， ∴， 解法二：可以通过求角CBE和角BCO的正切值，证明两个角相等，从而得出F为BE的中点，可得结论． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题． 9．如图，直角坐标系中，Rt△ABC的AB边在x轴上，∠CAB＝90°，sin∠ACB．将Rt△ABC沿直线BC翻折得Rt△DBC，再将Rt△DBC绕点B逆时针旋转，正好点C与坐标原点O重合，点D的对应点E落在反比例函数y（x＞0）的图象上，此时线段AC交双曲线于点F，则点F的坐标为　（3，）　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点E作EH⊥OB于点H，由全等变换可得∠EOB＝∠ACB，由sin∠EOB，点E在反比例函数图象上可求出点E的坐标，易证△OHE∽△EHB，从而可求出HB、EB（即AB）、进而可求出AH，OE（即AC）、OB、OA即可解决问题； 【解答】解：过点E作EH⊥OB于点H，如图， 则有∠EHO＝∠BHE＝90°． 由题可得：△CAB≌△CDB≌△OEB， ∴∠ACB＝∠DCB＝∠EOB，∠CAB＝∠CDB＝∠OEB＝90°， AC＝CD＝OE，AB＝DB＝EB． ∵sin∠ACB， ∴sin∠EOB． 设EH＝a，则OE＝3a， ∴点E的坐标为（2a，a）． ∵点E在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴2a2＝4，a＞0， ∴a2＝2， ∴a， ∴OH＝4，EH． ∵∠OEB＝90°， ∴∠OEH＝90°﹣∠HEB＝∠EBH， ∴△OHE∽△EHB， ∴， ∴BH， ∴AB＝BE， ∴OA＝OB﹣BA＝3， ∴F（3，）． 故答案为（3，）． 【点评】本题主要考查了全等变换、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，对运算能力要求较高． 10．如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数y的图象上，则点B的坐标为 　（2，0）　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】作CD⊥AB于D，CG⊥x轴于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F，由等边三角形的性质得出D为AB的中点，根据点C是反比例函数y的图象上一点，设点C的坐标为（x，），点B的坐标为（a，0），D的坐标为（，2）；然后根据△AED∽△DFC的性质，得出a、x的两个关系式，解关系式求得a的值，即可求得点B的坐标． 【解答】解：如图，作CD⊥AB于D，CG⊥x轴于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F， ∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB， ∴BD＝AD， 设点C的坐标为（x，），点B的坐标为（a，0）， ∵A（0，4）， ∴AB的中点D的坐标为（，2）； ∵CD⊥AB， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， ∵∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， ∵∠AED＝∠CFD＝90°， ∴△AED∽△DFC， ∴，即tan60°， 整理，可得x2①，2a②， 由①②整理得，a2+4a﹣33＝0 解得a1＝2，a2（舍去）， ∴B（2，0）， 故答案为（2，0）． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，以及等边三角形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 11．如图，一次函数y＝x与反比例函数y（k＞0）的图象在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为　y或y　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】设A（m，m），因为点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，可得AB＝5，由此构建方程即可解决问题． 【解答】解：设A（m，m）， ∵点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7， ∴AB＝5， ∴m2+（7﹣m）2＝25， 解得m＝3或4， ∴A（3，3）或（4，4）， ∵点A在y上， ∴k＝9或16， ∴反比例函数的解析式为y或y， 故答案为y或y． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OC在x轴正半轴上，四边形OABC为平行四边形，反比例函数y的图象经过点A与边BC相交于点D，若S△ABC＝15，CD＝2BD，则k＝　36　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】36． 【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD．由DE∥BF，推出，设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a），想办法用a表示CE，CF，构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD． ∵CD＝2BD， ∴， ∵DE∥BF， ∴， 设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a）， ∵S△ABC＝15，CD＝2BD， ∴S△ADC＝10， ∵OA∥BC， ∴S△ODC＝S△ADC＝10， ∴•OC•DE＝10， ∴OC， ∴AB＝OC， ∴B（，3a）， ∴CE，CF， ∴（）：2：3， 解得k＝36， 故答案为36． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边分别平行于坐标轴，原点O恰好为矩形对角线的交点，反比例函数y的图象与矩形ABCD的边交于点M、N、P、Q，记矩形ABCD的面积为S1，四边形MNPQ的面积为S2，若S1＝3S2，则MN：MQ的值为　2　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】2． 【分析】首先判断四边形NMPQ是平行四边形，对角线MP，NQ经过点O，设D（a，b），则M（，b），N（a，），Q（﹣a，），由S1＝3S2，推出ab＝3[ab•（a）（b）]，整理得a2b2＝3k2，可得abk，推出b，a，求出MN•，MQ，即可解决问题． 【解答】解：如图，由题意，矩形ABCD关于点O成中心对称，反比例函数关于点O成中心对称， ∴四边形NMPQ是平行四边形，对角线MP，NQ经过点O， 设D（a，b），则M（，b），N（a，），Q（﹣a，） ∵S1＝3S2， ∴ab＝3[ab•（a）（b）]， 整理得a2b2＝3k2， ∵ab＞0，k＞0， ∴abk， ∴b，a， ∵MN•， MQ， ∴2． 故答案为2 【点评】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，中心对称等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 14．如图，平行四边形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，O为坐标原点，以OA为斜边构造等腰Rt△AOD，反比例函数y（m＞0）的图象经过点A，交BC于点E，连接DE，若tan∠AOC＝3，DE∥x轴，DE＝2，则m的值为 　12　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；平行四边形的性质；解直角三角形．版权所有 【专题】数形结合；反比例函数及其应用；图形的全等；多边形与平行四边形；几何直观；应用意识． 【答案】12． 【分析】过点A作AH⊥OC于H，过点D作DF⊥AH于F，作DG⊥OC于G，过点E作ET⊥OC于T，由tan∠AOC＝3，得AH＝3OH，设A（a，3a），即得m＝3a2，再证明四边形DFHG是矩形，由△AOD是以OA为斜边的等腰直角三角形，可证明△ADF≌△ODG，从而可得DG＝a，OG＝2a，再证明四边形DETG是矩形，可得E（2a+2，a），进而可得m＝3a2＝（2a+2）a，解方程即可得答案． 【解答】解：过点A作AH⊥OC于H，过点D作DF⊥AH于F，作DG⊥OC于G，过点E作ET⊥OC于T，如图： ∵tan∠AOC＝3， ∴3，即AH＝3OH， 设A（a，3a）， ∵反比例函数y（m＞0）的图象经过点A， ∴3a，即m＝3a2， ∵DF⊥AH，DG⊥OC，AH⊥OC， ∴∠AFE＝∠DFH＝∠OGD＝∠AHG＝90°， ∴四边形DFHG是矩形， ∴∠FDG＝90°，DF＝HG，FH＝DG ∴∠ODF+∠ODG＝90°， ∵△AOD是以OA为斜边的等腰直角三角形， ∴AD＝OD，∠ADO＝90°， ∴∠ADF+∠ODF＝90°， ∴∠ADF＝∠ODG， ∴△ADF≌△ODG（AAS）， ∴DF＝DG，AF＝OG， ∴DF＝DG＝FH＝GH， 设DG＝x，则AF＝OG＝a+x， ∴AH＝a+2x， ∴a+2x＝3a， ∴x＝a， ∴DG＝a，OG＝2a， ∵DE∥x轴，ET⊥OC，DG⊥OC，DE＝2， ∴四边形DETG是矩形， ∴GT＝DE＝2，ET＝DG＝a， ∴OT＝2a+2， ∴E（2a+2，a）， ∴m＝3a2＝（2a+2）a， 解得：a＝2， ∴m＝3×22＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了反比例函数图象上的点与系数的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，正方形、矩形的判定和性质，平行四边形性质等知识点，综合性较强，有一定难度，熟练掌握和灵活运用相关性质定理、判定定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 15．以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为　　． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【专题】压轴题；数形结合；方程思想． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先证明点E是线段AB的中点，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．在Rt△BEC′中，根据BC′2＝BE2+EC′2，构建方程求出m即可求得点E的坐标；延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，由勾股定理求得点F的坐标；最后结合锐角三角函数的定义求得答案． 【解答】解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2． ∵CD＝BD， ∴S△CDOS矩形ABCD， ∵S△AOES△CDOS矩形ABCD， ∴AE＝EB， ∵C′（2，4）， ∴AE＝EB＝4， 在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2， ∴m2＝42+（m﹣2）2， ∴m＝5， ∴E（5，4）， ∴B（5，8），则BC＝5， 延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴， ∴C′G＝2，CG＝4， ∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即（4﹣FG）2＝22+FG2， ∴FG， ∴CF＝4， ∴tan∠CBF． 解法二：tan∠CBF＝tan∠C′BF． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题． 16．已知函数y（x＞0）与y（x＜0）的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A、B两点，连接OA、OB．下列结论； ①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2； ②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形； ③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP； ④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，）． 其中正确的结论为　②③④　． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】①错误．因为x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，所以y1＞y2； ②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题； ③正确．设P（0，m），则B（，m），A（，m），可得PB，PA，推出PA＝4PB，SAOB＝S△OPB+S△OPA7.5； ④正确．设P（0，m），则B（，m），A（，m），推出PB，PA，OP＝﹣m，由△OPB∽△APO，可得OP2＝PB•PA，列出方程即可解决问题； 【解答】解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小， ∴y1＞y2，故①错误． ②正确．∵P（0，﹣3）， ∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3）， ∴AB＝5，OA5， ∴AB＝AO， ∴△AOB是等腰三角形，故②正确． ③正确．设P（0，m），则B（，m），A（，m）， ∴PB，PA， ∴PA＝4PB， ∵SAOB＝S△OPB+S△OPA7.5，故③正确． ④正确．设P（0，m），则B（，m），A（，m）， ∴PB，PA，OP＝﹣m， ∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°， ∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°， ∴∠BOP＝∠OAP， ∴△OPB∽△APO， ∴， ∴OP2＝PB•PA， ∴m2•（）， ∴m4＝36， ∵m＜0， ∴m， ∴A（2，），故④正确． ∴②③④正确， 故答案为②③④． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 17．如图，经过原点O的直线与反比例函数y（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为　24　，的值为　　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得ab＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K． 由题意A，D关于原点对称， ∴A，D的纵坐标的绝对值相等， ∵AE∥CD， ∴E，C的纵坐标的绝对值相等， ∵E，C在反比例函数y的图象上， ∴E，C关于原点对称， ∴E，O，C共线， ∵OE＝OC，OA＝OD， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24， ∴S△AOE＝S△DEO＝12， ∴ab＝12， ∴a﹣b＝24， ∵S△AOC＝S△AOB＝12， ∴BC∥AD， ∴， ∵S△ACB＝32﹣24＝8， ∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1， ∴BC：AD＝1：3， ∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m， ∴AK：BK＝3：1， ∴3， ∴3，即， 解法二：设A（m，），B（m，），则E（，），D（﹣m，），C（，）， 由题意，a﹣b＝24，2a﹣（m）（）32， 化简可得，． 故答案为24，． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 18．如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，在反比例函数y的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上，则点A2的坐标是 　　． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【专题】规律型． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点P1作P1M⊥x轴，由于△OAP1是等腰直角三角形，因而PA＝OA，因而可以设P1点的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式即可求出a＝2，因而求出P的坐标是（2，2），进一步得到OA1＝4，再根据△P2A1A2是等腰直角三角形，设P2的纵坐标是b，因而横坐标是b+4，把P2的坐标代入解析式y，即可求出b，然后即可求出点B的坐标． 【解答】解：如图，过点P1作P1M⊥x轴于M， ∵△OAP1是等腰直角三角形， ∴P1M＝OM， ∴设P1点的坐标是（a，a）， 把（a，a）代入解析式得到a＝2， ∴P1的坐标是（2，2）， 则OA1＝4， ∵△P2A1A2是等腰直角三角形，过点P2作P2N⊥x轴于N， 设P2的纵坐标是b， ∴横坐标是b+4， 把P2的坐标代入解析式y， ∴b+4， ∴b＝22， ∴点P2的横坐标为22， ∴P2点的坐标是（22，22）， ∴点A2的坐标是（4，0）． 故答案为：（4，0）． 【点评】本题考查了反比例函数的图象画法和它的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法． 19．已知直线y＝kx+2与y轴交于点A，与双曲线y相交于B，C两点，若AB＝3AC，则k的值为　1或　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题：①当k＜0时，如图1中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，），利用平行线分线段成比例定理构建方程求出m即可解决问题． ②当k＞0时，如图2中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，），方法类似①． 【解答】解：①当k＜0时，如图1中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，）， ∵CH∥BF， ∴， ∵CH＝m， ∴BF＝3m，AF＝3AH， ∴B（3m，）， ∴23（2）， 解得m＝2， ∴C（2，）， 把点C（2，）代入y＝kx+2，得到k． ②当k＞0时，如图2中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，）， ∵CH∥BF， ∴， ∵CH＝m， ∴BF＝3m，AF＝3AH， ∴B（﹣3m，）， ∴23（2）， 解得m＝1， ∴C（1，3）， 把点C（1，3）代入y＝kx+2，得到k＝1， 综上所述，满足条件的k的值为1或． 故答案为1或． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 20．如图，动点P在函数的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值等于 　1　． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【专题】压轴题；动点型． 【答案】见试题解答内容 【分析】要求AF•BE的值，须把AF、BE联系起来，因此过点E、F分别作EC∥OA、FD∥OB，易得AF：AB＝DF：OB，BE：AB＝CE：OA，又OA＝OB＝1，AB，CE•DF，可得AF•BE＝21． 【解答】解：如图，过点E、F分别作EC∥OA、FD∥OB， ∴AF：AB＝DF：OB，BE：AB＝CE：OA， 两式相乘，得， ∵直线AB y＝﹣x+1交坐标轴与A（1，0）B（0，1）两点， ∴OA＝OB＝1，AB， ∵P在的图象上， ∴PM•PN＝CE•DF，代入中， 得， 解得AF•BE＝21． 故答案为：1． 【点评】此题难度较大，考查反比例函数性质、一次函数性质及相似三角形性质判定． 21．如图，函数y（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论： ①△ODM与△OCA的面积相等； ②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°； ③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2； ④若MFMB，则MD＝2MA． 其中正确的结论的序号是　①③④　．（只填序号） 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断． ②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立． ③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断． ④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：①设点A（m，），M（n，）， 则直线AC的解析式为yx， ∴C（m+n，0），D（0，）， ∴S△ODMn，S△OCA（m+n）， ∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确； ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴O是AB的中点， ∵BM⊥AM， ∴OM＝OA， ∴k＝mn， ∴A（m，n），M（n，m）， ∴AM（m﹣n），OM， ∴AM不一定等于OM， ∴∠BAM不一定是60°， ∴∠MBA不一定是30°．故②错误， ∵M点的横坐标为1， ∴可以假设M（1，k）， ∵△OAM为等边三角形， ∴OA＝OM＝AM， 1+k2＝m2， ∵m＞0，k＞0， ∴m＝k， ∵OM＝AM， ∴（1﹣m）21+k2， ∴k2﹣4k+1＝0， ∴k＝2， ∵m＞1， ∴k＝2，故③正确， 如图，作MK∥OD交OA于K． ∵OF∥MK， ∴， ∴， ∵OA＝OB， ∴， ∴， ∵KM∥OD， ∴2， ∴DM＝2AM，故④正确． 故答案为①③④． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 22．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝　8　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】计算题；函数思想；图形的相似；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】证明△ODA∽△CDO，则OD2＝CD•DA，而则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，CD（m+n﹣4），DAn，即可求解． 【解答】解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD， ∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO， ∴OD2＝CD•DA， 设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m）， 则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16， CD（m+n﹣4），DAn， 即2n2﹣8n+16（m+n﹣4）n， 解得：mn＝8＝k， 故答案为8． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到三角形相似、一次函数等知识点，关键是通过设定点E的坐标，确定相关线段的长度，进而求解． 23．如图，直线yx+6与反比例函数y（k＞0）的图象交于点M、N，与x轴、y轴分别交于点B、A，作ME⊥x轴于点E，NF⊥x轴于点F，过点E、F分别作EG∥AB，FH∥AB，分别交y轴于点G、H，ME交HF于点K，若四边形MKFN和四边形HGEK的面积和为12，则k的值为　9　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】综合题；面积法；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】容易知道ANFH、AMEG、AMKH为平行四边形，根据M、N在反比例函数的图象上，利用平行四边形的面积公式就可以求出它们的面积，从而确定两者的数量关系； 【解答】解：∵HF∥AN，NF∥ME，EG∥AM ∴四边形ANFH、AMEG、AMKH为平行四边形， ∴SAMEG＝ME•OE＝k， SANFH＝NF•OF＝k， 则SAMEG+SANFH＝2k， 四边形MKFN和四边形HGEK的面积和为12， 即2SAMKH+12＝2k， 则SAMKH＝k﹣6， 设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 将yx+6与反比例函数y联立并整理得： 3x2﹣24x+4k＝0， 即：x1+x2＝8，x1x2， 则SAMKH＝k﹣6＝MK•x1＝NF•x1＝x1y2＝x1（x2+6）x1x2+6x1＝﹣k+6x1， 即：6x1＝2k﹣6，即x1k﹣1，则x2＝8﹣x1＝9k， x1x2（k﹣1）（9k），解得：k＝9， 故答案为9． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 24．已知双曲线y与直线yx交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则的值是　1　． 【考点】反比例函数综合题；勾股定理；相似三角形的判定与性质；反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】方法1：由所求的式子联想到勾股定理，故过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设FH＝a，则有OF＝4+a，BF2＝a2+1．易证△AEG∽△BFH，从而有4，就可用a的代数式表示AE2、EF2，然后代入所求的式子就可解决问题； 方法2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，易证△AOG≌△BOF，则有AG＝BF，OG＝OF．根据线段的垂直平分线的性质可得EG＝EF，在Rt△GAE中运用勾股定理可得AG2+AE2＝GE2，然后通过等量代换就可解决问题． 【解答】解1：过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设直线AC与x轴交于点K，如图， 联立， 解得：，． ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣4，﹣1），B（4，1）． ∴AG＝4，OG＝1，OH＝4，BH＝1． 设FH＝a，则有OF＝OH+FH＝4+a，BF2＝FH2+BH2＝a2+1． ∵AC⊥CF，OE⊥OK， ∴∠CFK＝90°﹣∠CKF＝∠OEK． ∵AG⊥y轴，BH⊥x轴， ∴∠AGE＝∠BHF＝90°． ∴△AEG∽△BFH． ∴4． ∴AE2＝16BF2＝16（a2+1），EG＝4FH＝4a． ∴OE|4a﹣1|． ∴EF2＝（4a﹣1）2+（4+a）2＝17（a2+1）． ∴1． 故答案为：1． 解2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，如图． 则有∠GAC＝∠FCA＝90°，∠AGO＝∠BFO． ∵双曲线y与直线yx都关于点O成中心对称， ∴它们的交点也关于点O成中心对称，即OA＝OB． 在△AOG和△BOF中， ， ∴△AOG≌△BOF， ∴AG＝BF，OG＝OF． ∵OE⊥GF， ∴EG＝EF． ∵∠GAC＝90°， ∴AG2+AE2＝GE2， ∴BF2+AE2＝EF2， ∴1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质等知识，而由线段的平方联想到勾股定理是解决本题的关键． 25．如图，直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴的正半轴于点A，B，交反比例函数y的图象于点C，D（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若，则CD的长为　5　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意B（0，b），A（b，0），推出OA＝OB＝b，因为直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y关于y＝x对称，推出BC＝AD，设BC＝AD＝a，则C（a，ba），D（ba，a），想办法构建方程求出a、b的关系，求出点D的坐标（用b表示），再利用待定系数法即可解决问题； 【解答】解：由题意B（0，b），A（b，0）， ∴OA＝OB＝b， ∵直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y关于y＝x对称， ∴BC＝AD，设BC＝AD＝a，则C（a，ba），D（ba，a）， ∵， ∴， 整理得：12a2+17ab﹣14b2＝0， 解得ab或ab（舍弃）， ∴D（b，b）， ∵D在y的图象上， ∴b×（b）＝﹣4， 解得b＝3或﹣3（舍弃）， ∴D（4，﹣1），C（﹣1，4）， ∴CD5， 故答案为5． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 考点卡片 1．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 2．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 3．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 4．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 5．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 6．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 7．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1． 8．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 9．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 10．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 11．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 12．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 13．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$