浙江省宁波市华东师范大学宁波艺术实验学校“艺实杯”2024-2025学年上学期八年级数学竞赛试题

“艺实杯” 理科思维挑战赛数学卷(八年级上) 一、填空题 (每空 6 分, 共 60 分) 1. 已知一次函数 ,当自变量 的取值范围为 时, 既能取到大于 5 的值,又能取到小于 3 的值,则实数 a 的取值范围是_____。 2. 方程 的所有实数解的和是_____([x]表示不大于 的最大整数) 3. 为斜边的等腰直角三角形 内一点 使得 、 、 ,则 的面积为_____。 4. 从 1-2024 的前 2024 个正整数中随机选数,则至少要挑出_____个数才能保证这些数中存在一个三元数组满足存在以这三个数为边长的不等边三角形。 5．已知 ,令 的最小值为 若 ,记 的最大值为 ,则 _____。 6. 如图,在长方形 中,由 8 个面积均为 1 的小正方形组成 型模板如图放置,则长方形 ABCD 的面积为_____。 第 6 题图 第 9 题图 7. 正实数 满足 ,则代数式 的最小值为_____。 8. 方程 有三个实数根,则 _____. 9. 如图, , 在 的同侧, , , ,点 为 的中点,若 ,则 的最大值是_____。 10. 不等式 对一切实数 都成立,则实数 的取值范围是_____. 二、解答题 (共 3 题, 共 40分) 11. (12 分) 在平面直角坐标系中,对于任意两点 与 的 “切比雪夫距离”,给出如下定义:若 ,则点 与 的 “切比雪夫距离” 为 若 ,则点 与 的 “切比雪夫距离” 为 (1) 已知 , ①若 的坐标为(3,1),则点 与 的“切比雪夫距离”为_____； ②若C为x轴上的动点,那么点A与C“切比雪夫距离”的最小值为_____； (2) 已知 ,设点 与 的“切比雪夫距离”为 ,若 ,求 (用含 的式子表示)。 12. (14 分) 如图,在 中,点 为 的中点, 。 (1) 求证: ; (2) 若 三边长分别为 ,且 均为整数,求证: 中必有一个是 3 的倍数。 13. (14 分) 证明: . 答案解析 1. 一次函数y=(a-2)x -3a -1，当x在3到5之间时，y可以大于5也可以小于3。因为一次函数是线性的，所以在区间端点x=3和x=5时，函数值的变化方向由斜率决定。首先，当斜率a-2>0时，函数递增，此时当x=3时y较小，x=5时y较大。因此，为了满足y可以大于5和小于3，在x=3时y必须小于3，在x=5时y必须大于5；或者反过来，如果斜率a-2<0，则函数递减，此时x=3时y较大，x=5时y较小，所以需要x=3时y>5，x=5时y<3。 因此，分两种情况讨论： 情况一：a-2 >0 → a>2 此时函数递增，所以需要y(3) <3，且y(5) >5。 计算y(3)= (a-2)*3 -3a -1 = 3a -6 -3a -1 = -7 所以y(3)= -7 <3，这个条件总是满足的。 同样，y(5)= (a-2)*5 -3a -1 =5a -10 -3a -1=2a -11 需要2a -11 >5 → 2a >16 → a>8 所以当a>8时，满足这种情况。 情况二：a-2 <0 → a<2 此时函数递减，需要y(3) >5，且y(5) <3。 计算y(3)= -7（同上），需要-7>5，这是不可能的，因此这种情况不存在。 因此，只有当a>8时，满足条件。 2. 方程6x -3[x] +7=0，其中[x]是x的整数部分。我们需要找到所有实数解的和。 设x = n + f，其中n是整数，n ≤ x <n+1，0≤f<1。 代入方程： 6(n + f) -3n +7 =0 → 6n +6f -3n +7=0 →3n +6f +7=0 →3n +7 = -6f 因为左边是3n +7，而右边是-6f，其中f∈[0,1)，所以-6f∈(-6,0] 所以3n +7 ∈ (-6,0] → -6 <3n +7 ≤0 →-13 <3n ≤-7 →-13/3 <n ≤-7/3 因为n是整数，所以可能的n值为-4，-3，因为-13/3≈-4.333，所以n只能取-4和-3。 检查n的可能值： 当n=-4时： 3*(-4) +7 = -12 +7 =-5 = -6f →f=5/6 所以x =n +f =-4 +5/6 =-19/6 当n=-3时： 3*(-3) +7 =-9 +7 =-2 =-6f →f=1/3 所以x =-3 +1/3 =-8/3 所以只有n=-4和n=-3时有解。 对应的x值为-19/6和-8/3，即x1=-19/6，x2=-8/3。 它们的和是：-19/6 + (-8/3) = -19/6 -16/6 = -35/6 3. 等腰直角三角形ABC，斜边AC，点P满足PA=1，PB=2，PC=3，求△APB的面积。 这里可能需要用坐标系来解。假设等腰直角三角形ABC，斜边AC，所以AB和BC是直角边，所以顶点B是直角顶点。 将直角顶点B放在原点，A在(a,0)，C在(0,a)，这样斜边AC的长度是a√2，而AB和BC的长度都是a。 此时，点P(x,y)满足PA=1，PB=2，PC=3： PB=√(x^2 + y^2) =1 →x² + y²=1 PC=√((x-a)^2 + y^2)=2 →(x-a)^2 + y²=4 PA=√(x^2 + (y-a)^2)=3 →x² + (y -a)^2=9 通过消元法来解这个方程组， 4.17个 考虑最坏的情况，即尽可能多地挑选数而不形成这样的三元组。这类似于斐波那契数列的构造方法。从1和2开始，每个数至少是前两个数的和： 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 这个集合有16个数。因此，如果挑选18个数，就必然会有三个数能构成三角形。 5.6M=16 需要找到这三个函数的最小值中的最大值，也就是这三个函数的交点处的值，然后比较哪个交点处的f(x)最大。 首先，找到4x+1和x+2的交点： 4x+1 =x+2 →3x=1 →x=1/3 在x=1/3时，f(x)=4*(1/3)+1=7/3然后，x+2和-2x+4的交点： x+2=-2x+4 →3x=2 →x=2/3 在x=2/3时，f(x)=2/3 +2=8/3最后，4x+1和-2x+4的交点： 4x+1=-2x+4 →6x=3 →x=0.5 需要验证当x变化时，三个函数的最小值情况： 当x<1/3时，哪个函数最小？ 例如，x=0，4x+1=1，x+2=2，-2x+4=4，所以min=1 当1/3 <x<0.5时，比较三个函数： 例如x=0.4，4x+1=2.6，x+2=2.4，-2x+4=3.2，所以min=2.4（x+2） 当0.5 <x<2/3时，例如x=0.6，4x+1=3.4，x+2=2.6，-2x+4=2.8，所以min=2.6（x+2） 当x>2/3时，例如x=1，4x+1=5，x+2=3，-2x+4=2，所以min=2（-2x+4） 所以f(x)的最大值出现在x=0.5时，三个函数中的最小值是3， 当x=0.5时，三个函数的值分别是： 4x+1=4*(0.5)+1=3 x+2=0.5+2=2.5 -2x+4=-1 +4=3 所以min{3,2.5,3}=2.5， 4x+1和-2x+4的交点x=0.5，此时两者都等于3，而x+2在x=0.5时是2.5，所以f(x)=2.5，即此时min是2.5。 同样，在x=2/3时，x+2=8/3≈2.666，-2x+4=4 -4/3=8/3≈2.666，所以两者相等，此时4x+1=4*(2/3)+1=11/3，所以min=8/3 在x=1/3时，4x+1=7/3，x+2=7/3，所以两者相等，此时-2x+4=4 -2/3≈3.333，所以min=7/3 那么函数f(x)的最大值发生在哪里？ 当x在什么区间时，min的值最大？ 可能需要分析每个区间内的min函数： 对于x ≤1/3： min{4x+1, x+2, -2x+4}=4x+1，因为当x很小时，4x+1最小。 在x=1/3时，4x+1和x+2相等，都是7/3。 当1/3 <x <2/3时，min是x+2，因为在这个区间内，x+2 <4x+1（因为x>1/3时，4x+1 >x+2），同时x+2与-2x+4比较，例如当x=0.5，x+2=2.5，-2x+4=3，所以min=x+2=2.5。 在x=2/3时，x+2和-2x+4相等，都是8/3。 当x>2/3时，min是-2x+4，因为-2x+4开始小于x+2，例如x=1时，-2x+4=2 <x+2=3。 因此，函数f(x)的最大值出现在x=2/3时，此时min=8/3，对吗？ 因为在x=2/3时，x+2和-2x+4都等于8/3，而4x+1=4*(2/3)+1=11/3，所以min=8/3，这是最大的最小值。 因此，最大值M=8/3，所以6M=16. 6.96/5 7.17 需要使用柯西不等式或拉格朗日乘数法来寻找最小值。 柯西不等式中的形式是sqrt(x² + k²)的和，可以视为向量范数的和，可能需要找到合适的分配使得各分量满足某种比例。 例如，考虑每个项sqrt(x² + (k)^2)，其中k分别为1,2,3,4,5，对应的变量a,b,c,d,e。 根据柯西不等式，可能有： sqrt(a² +1) ≥ (a +1)/sqrt(2) （当a=1时等号成立） 类似地，sqrt(b² +4) ≥ (b +2)/sqrt(5)，当b=2时成立？ 不过这可能不是最优的方式，因为可能需要同时满足所有变量的约束条件。 另一种方法是使用拉格朗日乘数法，设目标函数为： F(a,b,c,d,e) = sqrt(a²+1) + sqrt(b²+4) + sqrt(c²+9) + sqrt(d²+16) + sqrt(e²+25) 约束条件是a +b +c +d +e =8，且a,b,c,d,e>0。 构造拉格朗日函数： L = F(a,b,c,d,e) -λ(a +b +c +d +e -8) 对每个变量求偏导并令其为零： dL/da = (a)/sqrt(a²+1) -λ =0 →a/sqrt(a²+1)=λ 同理： b/sqrt(b²+4)=λ c/sqrt(c²+9)=λ d/sqrt(d²+16)=λ e/sqrt(e²+25)=λ 设k=λ，那么对于每个变量： a = k*sqrt(a²+1) →平方得a² =k²(a²+1) →a²(1 -k²)=k² →a²= k²/(1 -k²) 同样， b =k*sqrt(b² +4) →b² =k²(b² +4) →b²(1 -k²)=4k² →b²=4k²/(1 -k²) →b=2k/sqrt(1 -k²) 同理， c=3k/sqrt(1 -k²) d=4k/sqrt(1 -k²) e=5k/sqrt(1 -k²) 因此，变量a,b,c,d,e分别为： a= k/sqrt(1 -k²) b=2k/sqrt(1 -k²) c=3k/sqrt(1 -k²) d=4k/sqrt(1 -k²) e=5k/sqrt(1 -k²) 他们的和a +b +c +d +e=8： k/sqrt(1 -k²) +2k/sqrt(1 -k²) +3k/sqrt(1 -k²) +4k/sqrt(1 -k²) +5k/sqrt(1 -k²)=8 合并同类项： (1+2+3+4+5)k/sqrt(1 -k²) =8 →15k/sqrt(1 -k²)=8 设t =k/sqrt(1 -k²), 则15t=8 →t=8/15 但t =k/sqrt(1 -k²)，平方得： t² =k²/(1 -k²) →k²= t²/(1 +t²) →代入t=8/15: k²= (64/225)/(1 +64/225)=64/225 ÷ 289/225=64/289 →k=8/17 因此，k=8/17 然后，变量a,b,c,d,e分别为： a=8/17 / sqrt(1 - (8/17)^2) = (8/17) / (sqrt(289 -64)/17)= (8/17)/(15/17)=8/15 同样， b=2k/sqrt(1 -k²)=2*(8/17)/(15/17)=16/15 c=24/15=8/5 d=32/15 e=40/15=8/3 验证和为： 8/15 +16/15 +24/15 +32/15 +40/15 = (8+16+24+32+40)/15=120/15=8，正确。 因此，此时目标函数F的最小值为： sqrt(a²+1) + sqrt(b²+4) + sqrt(c²+9) + sqrt(d²+16) + sqrt(e²+25) 计算每一项： sqrt((8/15)^2 +1)=sqrt(64/225 +225/225)=sqrt(289/225)=17/15 sqrt((16/15)^2 +4)=sqrt(256/225 +900/225)=sqrt(1156/225)=34/15 sqrt((24/15)^2 +9)=sqrt(576/225 +2025/225)=sqrt(2601/225)=51/15 sqrt((32/15)^2 +16)=sqrt(1024/225 +3600/225)=sqrt(4624/225)=68/15 sqrt((40/15)^2 +25)=sqrt(1600/225 +5625/225)=sqrt(7225/225)=85/15 所以总和为： 17/15 +34/15 +51/15 +68/15 +85/15 = (17+34+51+68+85)/15=255/15=17 因此，代数式的最小值为17。 8.-1/2 需要分析绝对值函数的情况，分区间讨论。 首先，考虑内部绝对值|x+1|： 令t = x +1，那么方程变为|1 - |t|| +k =k(x) =k(t -1) 即 |1 - |t|| +k =k(t -1) 但可能更直接的方式是分情况讨论： 首先，绝对值函数|1 - |x+1||的图像是怎样的？ 先分析内部|x+1|： 当x+1 ≥0 →x ≥-1时，|x+1|=x+1，此时|1 - |x+1||=|1 - (x+1)|=| -x | = |x| 当x+1 <0 →x < -1时，|x+1|= -(x+1)，此时|1 - |x+1||=|1 - (-x -1)|=|x +2| 因此，原方程可以分两种情况： 情况一：x ≥ -1 此时方程变为 |x| +k =kx -k （因为x = t -1，对吗？或者直接代入原方程） 原方程是|1 - |x+1|| +k =k x 在x ≥-1时，|1 - |x+1|| = |x| 所以方程变为 |x| +k =k x 情况二：x < -1 此时|1 - |x+1||= |x +2| 所以方程变为 |x +2| +k =k x 现在需要分这两个大情况，再进一步分析每个情况中的子情况。 首先处理情况一：x ≥ -1，方程变为 |x| +k =k x 对于x ≥0（因为x ≥-1，这里分为x ≥0和-1 ≤x <0） 子情况1a：x ≥0 此时|x|=x，方程变为x +k =k x →x -k x = -k →x(1 -k) = -k →x= -k/(1 -k) ，条件x ≥0 子情况1b：-1 ≤x <0 此时|x|=-x，方程变为 -x +k =k x →-x -k x = -k →x(-1 -k) = -k →x= (-k)/(-1 -k)=k/(1 +k)，条件-1 ≤x <0 现在处理情况二：x < -1，方程变为 |x +2| +k =k x 再分两个子情况： 子情况2a：x +2 ≥0 →x ≥-2，但x < -1，所以-2 ≤x < -1 此时|x +2|=x +2，方程变为x +2 +k =k x →x -k x = -2 -k →x(1 -k)= -2 -k →x= (-2 -k)/(1 -k) 子情况2b：x +2 <0 →x < -2 此时|x +2|=-(x +2)，方程变为 -x -2 +k =k x →-x -k x =2 -k →x(-1 -k)=2 -k →x=(2 -k)/(-1 -k)= (k -2)/(1 +k) 现在，需要找到所有可能的解，并确定当k为何值时总共有三个实数根。 首先，汇总所有可能的解： 来自情况1a：x= -k/(1 -k)，条件x ≥0，且分母1 -k ≠0 →k ≠1 来自情况1b：x= k/(1 +k)，条件-1 ≤x <0 来自情况2a：x= (-2 -k)/(1 -k)，条件-2 ≤x < -1 来自情况2b：x= (k -2)/(1 +k)，条件x < -2 现在，需要分析这些解是否存在，并满足各自的区间条件，同时方程总共有三个解。 我们需要确定k的值，使得上述四个可能的解中有三个满足条件。 首先，考虑情况1a的解x= -k/(1 -k) ≥0。 分母1 -k的符号影响解的正负： 如果1 -k >0 →k <1，那么分子需要负，即 -k ≥0 →k ≤0，此时解x= -k/(1 -k) ≥0。 如果k <0，则分子是正的，分母也是正的，所以x=正数，符合x ≥0。 如果k=0，解x=0，符合条件。 如果0 <k <1，则分子是负的，分母是正的，所以x=负数，不满足x ≥0的条件。 如果k >1，分母1 -k <0，分子 -k <0，所以x=正数，符合条件x ≥0。 因此，情况1a的解存在的条件是： 当k <1时，k ≤0； 当k >1时，任何k >1。 接下来，情况1b的解x= k/(1 +k)，需要满足-1 ≤x <0. 分母1 +k的符号： 当k >-1时，分母正； 当k < -1时，分母负。 分析： 当k >-1时，分母1 +k >0，x= k/(1 +k) 要满足-1 ≤x <0，即： -1 ≤k/(1 +k) <0 解这个不等式： 首先，k/(1 +k) <0 →分子分母异号： 当k >0，分母1 +k >0，分子k >0，符号相同，不符合； 当k <0，分母1 +k >0 →k >-1，此时分子k <0，符号相反，故k/(1 +k) <0。 同时，需要-1 ≤k/(1 +k) 即k/(1 +k) ≥-1 →k/(1 +k) +1 ≥0 →(k +1 +k)/(1 +k) ≥0 →(2k +1)/(1 +k) ≥0 解这个不等式： 当分母1 +k >0 →k >-1， 则分子2k +1 ≥0 →k ≥-0.5 因此，当k >-1时，解k/(1 +k) ≥-1的条件是k ≥-0.5 因此，综合条件，当k ∈(-0.5,0)时，x= k/(1 +k) ∈[-1,0) 当k ∈(-1,-0.5)时，x= k/(1 +k) < -1吗？ 例如，k=-0.6，则x= -0.6/(1 -0.6)= -0.6/0.4= -1.5，这小于-1，不满足情况1b的条件，因为情况1b要求-1 ≤x <0。 因此，情况1b的解存在的条件是k ∈[-0.5,0) 当k=0时，x=0，属于情况1a，因此情况1b此时无解。 当k < -1时，分母1 +k <0，所以x= k/(1 +k) =k/(负数) 如果k < -1，分子k是负数，分母负数，所以x=正数，不符合情况1b的区间-1 ≤x <0。 因此，情况1b的解存在的条件是k ∈[-0.5,0) 接下来，分析情况2a的解x= (-2 -k)/(1 -k)，条件-2 ≤x < -1. 需要满足： -2 ≤ (-2 -k)/(1 -k) < -1 首先，分母1 -k ≠0 →k ≠1 解这个不等式： 分式符号分析： 当1 -k >0 →k <1，那么分子-2 -k的符号： 当k < -2 →分子-2 -k >0（因为k是负数绝对值大于2） 当k >-2 →分子-2 -k <0 因此，当k <1时： 情况1：k < -2 分子-2 -k >0，分母1 -k >0，故x= (-2 -k)/(1 -k) >0，不符合条件-2 ≤x < -1。 情况2：-2 ≤k <1 分子-2 -k ≤0，分母1 -k >0，故x= (-2 -k)/(1 -k) ≤0 需要满足-2 ≤x < -1： 即：-2 ≤ (-2 -k)/(1 -k) < -1 解左边：(-2 -k)/(1 -k) ≥ -2 乘以(1 -k)，注意k <1 →1 -k >0，不改变不等式方向： -2 -k ≥ -2(1 -k) →-2 -k ≥ -2 +2k →-2 +2 ≥2k +k →0 ≥3k →k ≤0 右边：(-2 -k)/(1 -k) < -1 同样乘以(1 -k): -2 -k < -1(1 -k) →-2 -k < -1 +k →-2 +1 <k +k →-1 <2k →k > -0.5 因此，综合条件： -2 ≤k <1，且k ≤0，且k > -0.5， 因此k ∈(-0.5,0] 所以，当k ∈(-0.5,0]时，情况2a的解x= (-2 -k)/(1 -k) ∈[-2,-1) 接下来，情况2b的解x= (k -2)/(1 +k)，条件x < -2 分析这个解： x= (k -2)/(1 +k) < -2 解这个不等式： (k -2)/(1 +k) < -2 乘以(1 +k)，需要考虑分母的符号： 当1 +k >0 →k >-1时： k -2 < -2(1 +k) →k -2 < -2 -2k →3k <0 →k <0 因此，当k >-1且k <0时，解为x= (k -2)/(1 +k) < -2 当1 +k <0 →k < -1时： k -2 > -2(1 +k) →k -2 > -2 -2k →3k >0 →k >0，但k < -1矛盾，无解。 因此，情况2b的解存在的条件是k ∈(-1,0) 此时，x= (k -2)/(1 +k) < -2 例如，k=-0.5： x= (-0.5 -2)/(1 -0.5)= (-2.5)/0.5= -5 < -2，符合条件。 现在，综合所有可能的解： 当k ∈(-0.5,0)时： 情况1a：x= -k/(1 -k) ≥0，因为k <0，1 -k >1，分子- k >0，因此x>0，有效解。 情况1b：x= k/(1 +k) ∈[-1,0)，有效解。 情况2a：x= (-2 -k)/(1 -k) ∈[-2,-1)，有效解。 情况2b：x= (k -2)/(1 +k) < -2，当k ∈(-1,0)时，这个解存在吗？ 当k ∈(-0.5,0)，是否满足x < -2？ 例如，k=-0.4： x= (-0.4 -2)/(1 -0.4)= (-2.4)/0.6= -4 < -2，符合条件，所以情况2b的解存在。 因此，当k ∈(-0.5,0)时，存在四个可能的解： 情况1a：x>0 情况1b：x∈[-1,0) 情况2a：x∈[-2,-1) 情况2b：x<-2 但需要检查这些解是否满足原方程，并且是否有重复解。 不过原方程要求有三个实数根，所以需要确定在某个k值时，上述四个解中有三个有效，或者可能有重叠解。 例如，当k= -0.5： 情况1a：x= -(-0.5)/(1 -(-0.5))=0.5/1.5=1/3，有效。 情况1b：x= (-0.5)/(1 -0.5)= (-0.5)/0.5=-1，此时属于情况2a的区间[-2,-1)，所以可能这个解与情况2a的解重合？ 当k=-0.5时，情况2a的解x= (-2 -(-0.5))/(1 -(-0.5))= (-1.5)/1.5= -1，这也属于情况1b的x=-1，此时可能这个解是重合的，导致实际解的数目减少。 因此，当k=-0.5时，可能有两个解：x=1/3，x=-1，和情况2b的解x= (k -2)/(1 +k)= (-0.5 -2)/(1 -0.5)= (-2.5)/0.5= -5，所以三个解。 但是根据之前的条件，当k=-0.5时，情况1b的x= k/(1 +k)= (-0.5)/0.5= -1，属于情况1b的区间-1 ≤x <0，同时情况2a的解也是x=-1，此时这个解可能同时属于情况1b和情况2a，导致重复，因此实际解数目为三个：x=1/3, x=-1, x=-5。 不过需要验证当k=-0.5时，是否方程有三个解。 原方程当k=-0.5时： 情况1：x ≥-1时，方程变为|x| + (-0.5) = -0.5x →|x| -0.5 = -0.5x 对于x ≥0，|x|=x，方程变为x -0.5 = -0.5x →1.5x=0.5 →x=1/3，符合条件。 对于-1 ≤x <0，|x|=-x，方程变为 -x -0.5 = -0.5x →-0.5x=0.5 →x=-1，符合条件。 情况2：x < -1时，方程变为|x+2| + (-0.5) = -0.5x →|x+2| -0.5 = -0.5x 对于-2 ≤x < -1，|x+2|=x+2，方程变为x+2 -0.5 = -0.5x →x+1.5 = -0.5x →1.5x= -1.5 →x=-1，不符合-2 ≤x < -1的区间，因此无解。 对于x < -2，|x+2|= -(x+2)，方程变为 -x-2 -0.5 = -0.5x →-x -2.5 = -0.5x →-0.5x=2.5 →x=-5，符合条件。 因此，当k=-0.5时，方程有三个解：x=1/3, x=-1, x=-5。 因此，k=-0.5是一个可能的解。 另外，当k=0时，情况如何？ 当k=0时，原方程变为|1 - |x+1|| +0 =0 →|1 - |x+1||=0 →1 - |x+1|=0 →|x+1|=1 →x+1=±1 →x=0或x=-2，有两个解，不符合三个解的要求。 当k接近0时，可能得到三个解。 例如，k=-0.25： 情况1a：x= -(-0.25)/(1 -(-0.25))=0.25/1.25=0.2，有效。 情况1b：x= (-0.25)/(1 -0.25)= (-0.25)/0.75≈-0.333，有效。 情况2a：x= (-2 -(-0.25))/(1 -(-0.25))= (-1.75)/1.25= -1.4，有效。 情况2b：x= (-0.25 -2)/(1 -0.25)= (-2.25)/0.75= -3，有效。 因此，四个解，这可能导致方程有四个解，但题目要求三个解，因此可能当k=-0.5时，情况2a和情况1b的解重合，导致总解数为三个。 因此，答案可能是k=-0.5，即k=-1/2。 验证k=-0.5时，确实有三个解，如之前所述。 因此，第八题的答案是k=-1/2，即k=-0.5，写成-1/2。 9.14 10. 1/3<a<1 考虑 ∣2x−a∣+2∣x∣>∣2a−1∣。设 f(x)=∣2x−a∣+2∣x∣。 当 x≥2a​ 时，f(x)=4x−a。 当 0≤x<2a​ 时，f(x)=a。 当 x<0 时，f(x)=a−4x。 最小值为 a。因此，需要 a>∣2a−1∣。 解不等式：当 2a−1≥0 时，a>2a−1，解得 a<1。 当 2a−1<0 时，a>−(2a−1)，解得 a>1/3​。 因此，1/3<a<1。 11.(1) 3,2 (2) 计算 x 坐标的差值： ∣xM​−xN​∣=∣(2−a)−1∣=∣1−a∣ 计算 y 坐标的差值： ∣yM​−yN​∣=​3a​−(−1)​=​3a​+1​ 所以，切比雪夫距离 d 就是这两个差值中的最大值： d=max(∣1−a∣,​3a​+1​) 考虑到 a≥0，我们可以分别分析 ∣1−a∣ 和 ​3a​+1​ 的情况。 首先，∣1−a∣ 可以写成： 现在，我需要比较 1−a 和 3a​+1 在 a≤1 时的大小，以及比较 a−1 和 3a​+1 在 a>1 时的大小 切比雪夫距离 d 可以表示为： 12.(1) 证明 AB⊥BC 已知 D 是 AC 的中点，所以 AD=DC。另外，∠A=3∠C，且 ∠ADB=45∘。 设 ∠C=x，则 ∠A=3x。因为三角形内角和为 180∘，所以： ∠A+∠B+∠C=180∘3x+∠B+x=180∘∠B=180∘−4x 在 △ABD 中，∠ADB=45∘，所以： ∠ABD=180∘−∠ADB−∠BAD=180∘−45∘−3x=135∘−3x 在 △CBD 中，∠CDB=180∘−∠CBD−∠BCD=180∘−∠CBD−x。 因为 D 是中点，所以 BD 是中线。假设 AB⊥BC，则 ∠ABC=90∘。已知 ∠B=180∘−4x，所以： 180∘−4x=90∘4x=90∘x=22.5∘ 所以，∠C=22.5∘，∠A=67.5∘。 在 △ABD 中，∠A=67.5∘，∠ADB=45∘，所以： ∠ABD=180∘−67.5∘−45∘=67.5∘ 所以，∠ABD=∠A，这表明 BD=AD。 因为 AD=DC，所以 BD=DC。这表明 BD 是 AC 的垂直平分线，这意味着 AB=CB，且 AB⊥BC。 (2) 根据勾股定理： a2+b2=c2 假设 a,b,c 都不是3的倍数。那么，它们模3的余数只能是1或2。 考虑平方模3的情况： · 12≡1mod3 · 22≡4≡1mod3 所以，a2≡1mod3，b2≡1mod3，c2≡1mod3。 那么，a2+b2≡1+1≡2mod3，但 c2≡1mod3。 这导致 2≡1mod3，这是矛盾的。 因此，假设 a,b,c 都不是3的倍数是错误的。所以，a,b,c 中至少有一个是3的倍数。 13.证明略 思路：为了简化问题，我考虑对每一项取对数，因为对数可以将乘积转换为和。具体来说，ln(1+2/n3​) 可以近似为 2/n3，当 n 很大时，因为 ln(1+x)≈x 对于小的 x。 学科网（北京）股份有限公司 $$