第七章 随机变量及其分布 章末检测-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019)

第七章 章末检测 (时间：120分钟 总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 P(X=1)= ( 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 N. 32 C. D. 符合题目要求的 81 1.(2024·山东菏泽高二期末)若X服从两点分 6.(2024·河北石家庄高二月考)研究人员对 布，P(X=1)-P(X=0)=0.32,则P(X=0)为 甲、乙两种药物的临床抗药性进行研究，通过 实验数据发现：“对药物甲产生抗药性”的概 ( A.0.32 B.0.34 C.0.66 D.0.68 率为。对药物乙产生抗药性”的概率为 2.(2024·云南保山高二月考)若随机变量￡的 “对甲、乙两种药物均不产生抗药性”的概率 分布列如下表所示，且2m+n=1.2,则m-n= 为，则在对药物甲产生抗药性的条件下，对 药物乙也产生抗药性的概率为 ( ) g B.5 C D D.2 A.-0.2 B.0.4 C.0.2 D.0 7.(2024·浙江舟山高二月考)英国数学家贝叶 斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统 3.(2024·福建龙岩高二期中)一箱零件中共有 计理论，随机事件A,B存在如下关系： 12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这 箱零件中任意选取4个，则恰有2个的尺寸不 P(AB)=P(AP(RIA)若某地区一种疾病的 P(B) 达标的概率为 ( 患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者 号 4 0. 是否患病已知该试剂的准确率为95%，即在 被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95% 4.(2024·辽宁朝阳高二期末)统计学中通常认 的可能呈现阳性：该试剂的误报率为0.5%，即 为服从于正态分布N(,σ)的随机变量X只 在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 取[u-3w,L+3σ]中的值，简称为30原则.假 0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的 设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下 一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此 食盐质量服从正态分布N(500,σ2)（单 人患病的概率为 ( ) 位：g),某天生产线上的质检员随机抽取了一 495 995 A. 1000 B. 000 11 包食盐，称得其质量小于488g,他立即判断生 8.(2024·广东肇庆高二期末)在概率论中，马 产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得 尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于 到σ的最大值为 ( 某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德 A.2 B.4 C.6 D.8 雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若 5.(2024·山西运城高二期中)已知随机变量 专是只取非负值的随机变量，则对Va>0,都有 XB(n,p),若E(X)=等，D(X)=9则 8 P(≥a)≤B)某市去年的人均年收人为 a 选择性必修第三册：RJ黑白题48 10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰 B.依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉 有1名市民去年的年收入超过100万元”为事 件A,其概率为P(A).则P(A)的最大值为 馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是 ( C.先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱， B湖 C.4 再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取 ”27 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 出的饺子是肉馅的概率是号 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 D.先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱， 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱 有选错的得0分 取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三 9.(2024·陕西西安高二月考)设离散型随机变 量X,非零常数a,b,下列说法正确的有( 年缩饮子的概率是号 Ao+6=a(2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分 12.(2024·山西晋城高二期末)已知X~N(3, B.D(ax+b)=aD(x+4) ),且P(X>2)=号则P(X≥4)= 2 C.D(X)=E(X2)-E(X) D.D(X)=E(X2)-(E(X))2 10.(2024·四川绵阳高二期末)已知A,B分别 13.3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行以 为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0, “弘扬雷锋精神，做全面发展一代新人”为主 题的知识竞赛，某班现从6名女生和3名男 P(B)>0,则下列结论一定成立的是( 生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个 A.P(BIA)=P(BIA) 问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女 B.P(BIA)+P(BIA)=P(A) 生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其 C.若P(BIA)=P(B),则P(AIB)=P(A) 余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率 D.P(AB)≤P(BIA) 11.(2024·浙江台州高二期中)饺子是我国的 均为)，现选择2名女生和3名男生，每人答 传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有 一题，则该班所选队员得分之和为6分的概 甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻 率为 饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜14.(2024·广东广州高二期中)设专为随机变 馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉 量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两 馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子， 条，当两条棱相交时，专=0：当两条棱平行时， 则下列正确的是 ( 专的值为两条棱之间的距离：当两条棱异面 A.从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率 时，为两条棱上两点（不在同一条棱上）间 距离的最小值，则随机变量的所有可能取 是 值有 ,专的数学期望为 第七章黑白题49 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出17.(15分)(2024·天津西青区高二期末)历史 文字说明、证明过程或演算步骤 悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年 15.(13分)(2024·河南新乡高三月考)某闯关 画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统 游戏共设有4道题，参加比赛的选手从第 木版年画.它起源于明代崇祯年间，距今已有 1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继 近400年的历史，是首批国家级非物质文化 续，直到答完所有题日.设选手甲答对第1题 遗产杨柳青年画制作的特别之处是它采用 的概率为子，甲答对题序为的题目的概率 “印画结合”的独特工艺，制作程序大致是： 创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序 Pi= ie1,2,3,4,各题回答正确与否相 与其他木版年画大致相同，而杨柳青年画的 后期制作艺术风格迥然不同.一个优秀的作 互之间没有影响， 品除了需要有很好的素材外，更要有制作上 (1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题 的概率； 的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、 (2)求甲停止答题时答对题目数量X的分布 彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为 列与数学期望 4·了了，只有当每个环节制作都成功才认 342 为是一次优秀制作 (1)设事件A=“制作一件优秀作品”，求事 件A的概率： 16.(15分)(2024·山西长治高二期中)某种香 (2)若该工艺画师进行3次制作，事件B= 梨的质量m(单位：kg)服从正态分布N(0.4, 0.012),将该种香梨按照其质量及对应的售 “恰有一件优秀作品”，求事件B的概率： 价进行分拣，分为4类依次记为m1,m2, (3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品 m3,m4.已知m1∈[0.39,0.41)，售价最高，为 数为X,求X的分布列和数学期望 10元/千克：m2∈[0.38,0.39)U[0.41, 0.42).售价为8元/千克：m1∈[0.37,0.38) U[0.42,0.43),售价为6元/千克：其余的 为m4,售价为5元/千克 (1)任选1个香梨，求其质量大于0.41kg的 概率； (2)以X表示香梨的售价（单位：元），写出X 的分布列，并估计该种香梨售价的平均值 附：若X-N(u,2),则P(u-o≤X≤u+ σ）≈0.6827，P(4-2≤X≤u+2σ） 0.9545,P(u-30≤X≤4+3σ）≈0.9973. 选择性必修第三册：RJ黑白题50 18.(17分)(2024·广东广州高二期末)人工智19.(17分)(2024·浙江宁波高三月考)某商场 能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模 推出购物抽奖促销活动，活动规则如下： 型，它能够通过学习和理解人类的语言来进 ①顾客在商场内消费每满100元，可获得 行对话在测试聊天机器人模型时，如果输入 1张抽奖券； 的问题没有语法错误，那么聊天机器人模型 ②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽 的回答被采纳的概率为85%：如果输人的问 奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子 题出现语法错误，那么聊天机器人模型的回 中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性 答被采纳的概率为50%. 相同)，若摸到白球，则没有中奖，若摸到红 (1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机 球，则可获得1份礼品，并得到一次额外抽奖 器人模型的回答有5个被采纳.现从这 机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规 8个问题中抽取3个.以专表示抽取的问 则不变)： 题中回答被采纳的问题个数，求专的分 ③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获 布列和数学期望。 得的礼品数满3份，则不可继续抽奖 (2)已知输入的问题出现语法错误的概率 (1)顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽 为10% 奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品 (1)求聊天机器人模型的回答被采纳的 的概率。 概率； (2)顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获 (ⅱ)若已知聊天机器人模型的回答被采 得的礼品数满3份.则他在消耗第2张抽 纳，求该输入的问题没有语法错误的 奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是 概率 多少？ (3)设顾客在消耗X张抽奖券抽奖后，获得 的礼品数满3份，要获得X张抽奖券，至 少要在商场中消费满Y元，求E(X), D(Y)的值.（重复进行某个伯努利试验， 且每次试验的成功概率均为P.随机变量 专表示当恰好出现r次失败时已经成功 的试验次数则E服从参数为r和p的负 二项分布.记作~NB(r,p).它的均值 =片方差D)) 第七章黑白题51P(4):号=子，若甲乙均被安排在天和核心舱，有A号=2（种）安排 民，年收人超过100万元的人数为X 设从该市任选1名市民，年收人超过100万元的概率为P,则根据马 21 方法，则P(4B)=68,故甲鼓安排在天和钱心舱的条件下，乙也 尔可夫不等式可得p=P(X≥100)≤ED.10-1】 100100100≤p≤10 1 ,Y-B(3,p),P(A)=P(Y=1)=C(1-p)2=3p(1-p)2=3p3 被安排在天和核心舱的概率P(B1A)=P(AB)。18 故答紫 6p2+3p. P(A)16 令fp)=3p3-6p2+3p,则f'(p)=9p2-12p+3=3(3p-1)(p-1), 3 为 0sp≤0p-1<0p10,即/rp)>0p)在，0]上 89解析：由题查若AB恰有1个元素.则分以下四种情形进行 讨论： PA-得故选B 情形一：若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足AU B=U的情况有C4·C=4×2=8(种)，而满足A∩B恰有1个元素的 .ABD解折：对FA,B(a6)=aE()+,aE(÷）(g0 情况有C4=4(种)； 情形二：若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足AU a ）=E(0+6,所以Ba46)=aE(÷）故A正确： B=U的情况有C·(1+C+1)■6×4=24（种），而满足A∩B恰有 1个元素的情况有C2·C=12(种)： 对于B,(a+)=GD(0.cD(x台）=p(0.所以D(o+ 情形三：若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足AU B=U的情况有C·(1+C+C好+1)=4×8=32（种），而满足A∩B恰 有1个元素的情况有C}·C=4×3=12(种)： 0(x合)，故B正稳。 情形四：若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，且注意到集 对于CD,根据均值与方差的关系可得D(X)=E(X2)-(E(X))2,故 C错误，D正确.故选ABD. 合A,B不同，此时满足AUB=U的情况有C4·(C4+C好+C)=1× 14=14(种)，面满足A∩B恰有1个元素的情况有C4·C=4(种). 故由条件概率公式可得A门B恰有1个元素的概率为P= 10.CD解桥：对于A,因为P(B1A)=P,P(B1A)=PAB,若】 P(A) 语拾核答案为9 P代B=1,则P=0,所以P)=0,则PB1a-P)-0,但 P(A) 第七章章末检测 是P氏AB)不一定为0，即P(B1A)=AB不一定为0，所以A P(A) 1.B解析：依题意可得P(X=1)+P(X=0)=1,P(X=1)-P(X=0)= 错误； 0,32,所以P(x=0)=1032=0,34故选B. 2 对于B,P(B1A)+P(B1A)=PA),P(A团_P(AB)+P(A 2.D解析：由分布列的性质可得，0.1+m+n+0.1=1,即m+n=0.8, P(A)P(A) P(A) 又2m+n=1.2,∴.m=n=0.4,∴.m-n=0.故选D. P(A) 1,放B错误：对于C,因为P(B1A)=PA)-P(B),所以 3.A解析：因为一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标 P(A) P(A) 的，从中任意选取4个，由超几何分布概率计算公式，可得恰有2个 DP国，所租PB--D-PW.放 的尺寸不达标的；率为PCC_2故选入 C正：对于D,图为PB4:PA),所 1 C255 4.B解析：按照3o原则可知，488≤500-30，解得σ≤4，所以σ的最 P01, 大值为4放选B. 所以PA?≥P(AB),即PAB)≤P(B1A),故D正确故选CD, P(A) 4 5.B解析：随机变量X-B(a,P),则有E(X)=刚=3，D(X)=p(1 11,ACD解析：对于A,从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是 1 p=21pg+子解得p=，所以 0=84.2 E(X) BC品。5，故Λ正确：对于B,依次从甲箱中取出两盒饺子，第一 a4所Pxa-C(传厂-器放选 35 金是肉馅的条件下第二盒是青率馅的概率为B0〉=)故 3 6.D解析：设“对药物甲产生抗药性”为事件A,“对药物乙产生抗药 10 性”为事件B,“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”为事件C,则 B错误：对于C,先从甲箱中随机收出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱 P=P()=P(G)=子，且P(G)=P()=子所以 2 4 4 随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概奉是P=马 P氏+8)=1-P(西)=子又PA+B)=P氏)+P(8)-P().所以 立0*0故C正确：对于D,先从甲箱中随机取出一盒饺 4733 3.216 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=919了95，所以P(B1A)= 子放人乙箱，再从乙箱中随机取出一盒皎子，若从乙箱取出的饺子 23 6 得空子n 是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜馅饺子的概率为巴：10】”己 11 19 分 故D正确.故选ACD. 7.C解析：设“检验结果呈现阳性”为事件A,“此人患病”为事件B, P(AB)=P(B)P(A|B)=0.05×95%=4.75%,P(A)=P(AB)+ 12. 解折：P(X≥4)=PX≤2)=1-P(X2)=1号=号放答案 1 P(AB)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)=4.75%+(1-0.05)×0.5%= 5%则P80=得器瓷品教选C 43 8.B解析：记该市去年人均收入为X万元，从该市任意选取3名市 13.20 解析：依题意设该班所选队员得分之和为6分为事件A,则可 选择性必修第三册·RJ黑白题24 分为下列三类：女生得0分，男生得6分，设为事件A1:女生得2分， 男生得4分，设为事件A2:女生得4分，男生得2分，设为事件A3, P=c*(号x(号)广 (3)随机变量x的取值为0,1,23，由题意可知：X~B(3,号) px==c×(号）广x(3)6=012.3). P氏A)=P(A)+P(A)+P(A)-120 43 所以P(x=o)=G×(仔)广°×（号）广=品P(x=) 14.0、1、2 6+W2 11 解析：如图，在棱长为1 cx(号x()广蕊P=2)=cx(号)八x(号)广' 的正方体ABCD-A,B,C,D1中，当两条棱相 交时，=0，与每条棱相交的棱有4条，即 12×4 2 所以随机变量X的分布列为： 。4 P(E=0)= c%1 x0123 当两条棱平行时，这两条棱之间的距离为1或万， 2754368 其中，与棱A4,平行且距离为1的棱为BB1,DD1,与棱A41平行且 P 125125125125 距离为2的棱为GC1: 36 当两条棱异面时，专=1，与棱AM1异面的棱为BC,CD,B,C1,C,D1 所以E(X)=0 1号 27 12×2+12×4 18.解：(1)由题意知E的所有可能取值为0,1,2,3， 2 所以P(=1)= P=2)= 6 品7，因此B()= 2 1 CC3 1 所以P(E=0)= Cg56P(=1)= c写6，P(5=2)=C3C gc号_15 C 宁宁平01版 1111 3015 15.解：)因为选手甲答对第1愿的概率为号所以=子，即，一 5628,P(5=3)= CC9 10 5 2 Cg5628 所以￡的分布列为： 所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为行 50123 2 115155 (2)由题意得m=子寸弓A石随机变量X可取0， 2 P 56562828 224 2 15. 15 515 12,34,则P(X=0)=3PX=)=子×行9PX=2)=亏× 则B队)=0x1号2x分43器-号 }号台P号x兮号名碧Px0号 1714 (2)(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,记“输入的问题 有语法错误”为事件B,记“聊天机器人模型的回答被采纳”为事件 号品 12 C,则P(A)=0.9,P(B)=0.1,P(C1B)=0.5,P(G1A)=0.85,P(C)= P(CB)+P(CA)=P(B)P(CIB)+P(A)P(GIA)=0.1×0.5+0.9× 所以随机变量X的分布列如下： 0.85=0.815. x01234 (ⅱ)若聊天机器人模型的回答被采纳，则该问题的输人没有语 1414102 P 法错误的概率为P(A1C)=PCAC).PA)P(CIA).09xQ.85153 3981243243 P(C)P(C) 0.815163 所以E(X)=0x 1 9*2414 304品器 2230 19,解：()由题意可知一次被奖摸到红球的概率为行，摸到白球的概 16.解：(1)因为m~N(0.4,0.012),所以a=0.4,g=0.01,所以P(m> 率为名放甲系少货得1份礼品的属率P1名名式 1 0.41)=0.5- 2P-0≤m≤4+o)-0.52x0.6827=015865,即 (2)设A=“顺客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满 3份”，B=“顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品” 任选1个香梨，其质量大于0.41kg的概率约为0.15865 (2)由题意可知，X的所有可能取值为10.8,6,5， P(A)=C匠× ()x(G)广=6x()x(后广器 则P(X=10)=P(0.39≤m<0.41)=P(4-≤m<u+o)=0.6827. P(X=8)=P(0.38≤m<0.39)+P(0.41≤m<0.42)=P(4-2w≤m< PB)=P)-P(a=(C-C)x(g)广x(合）广'=3x 4+2c）-P(4-u≤m<4+0）=0.9545-0.6827=0.2718, P(X=6)=P(0.37≤m<0.38)+P(0.42≤m<0.43)=P(μ-30≤m< 75 4+30)-P(4-2r≤m<4+20)=0.9973-0.9545=0.0428, P(AB)63 1 P(X=5)=1-P(-30<m<+3u）=1-0.9973=0.0027, P(A)25 2 所以X的分布列为： 6 10 6 5 (3)由题意可知r=3,P= 5 6=X-1,则E(X0=6(K-1)+1=B(6)+ P0.68270.27180.04280.0027 5 所以E(X)=10×0.6827+8×0.2718+6×0.0428+5×0.0027= 1=m+1= 2 +1=16,D(Y)=D(100x)=D(I00E+100)= 9.2717,即估计该种香梨售价的平均值为9.2717元/千克. 1-P 1 1n据()油题盘得代0=子子×号号 2 6 (2)“该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品”为事件B, (1-p)2=90000 10000D()=10000.,Pm 参考答案黑白题25