6.3 二项式定理 阶段综合-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019)

6.3 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：30min 1.(2024·河北石家庄高二期末)(x-yE) 12 8.(2024·天津河东区高二期中) /x 3 )的 的展开式中xy的系数为 ( 3 A.-4 B.4 C.-6 D.6 展开式的中间一项为 2.设A=37+C×35+C×33+C×3,B=C×36+C× 9.二项式(G+)广的展开式中x的系数等于其 34+C×32+1,则A-B的值为 ( A.128 B.129 二项式系数的最大值，则a的值为 C.47 D.0 3.(2024·安徽六安高二期中)设(1+3x)”=a+ 10.(24.山西大同高二月考)已知(+号)广 a1xta2x2+…tanx°，若a5=a6,n= 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， A.6 B.7 C.8 D.9 则该展开式中系数最大的项为 4.设m为正整数，(x+y)2m的展开式的二项式系 11.(2024·江苏南通高二期中)在以下两个条 数的最大值为a,(x+y)21的展开式的二项式 件中任选一个条件，补充在下面问题中的横 系数的最大值为b,若13a=7b,则m=( 线上，并完成解答 A.5 B.6 C.7 D.8 ①所有项的系数之和与二项式系数之和的比 5.(多选)(2024·重庆九龙坡区高二期中)若 为729：64： (x+1)3+(x-2)3=ao+a,(x-1)+a2(x-1)2+ ②前三项的二项式系数之和为22. a3(x-1)3+…+ag(x-1)8,则以下结论正确的是 问题：在(2左+)”(n≥2，n∈N)的展开 A.a0=9 式中， B.a3=55 (1)证明展开式中没有常数项： C.ao+a+az+a3+...+ag=27 (2)求展开式中所有的有理项 D.含x6项的系数是112 6.(2024·江西赣州高二期中)在(3x+y-2z)8的 展开式中，形如xyz(m,n∈N)的所有项的 系数之和是 ( A.256 B.-256 C.1512 D.-1512 7.(2024·湖南益阳高二期末)已知(1+2x)· (2-x)5=a+a1x+a2x2+…+ax,那么 ao+a,t+a4_的值为 a+az+as+az 121 A. 170 B.- 170 C. 121 183 183 122 D.- 122 选择性必修第三册·RJ黑白题16 专题探究1“杨辉三角”的应用 黑题 专题强化 限时：30min 题组1 “杨辉三角”的简单应用 题组3 “杨辉三角”中的数列求和问题 1.(2023·湖南怀化高二期中)(a+b)"(ne 4.（2024·安微芜湖高二期中)杨辉三角（如图 N),当n=1,2,3,4,5,6时展开式的二项式 所示)是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角 系数表示形式： 中从第2行到第2024行，每行的第3个数字 a+b}.-----12 之和为 ( (a+b133 (a+by--14λ41 第0行 (a+b15μ1051 第1行 a+b°-1615201561 第2行 借助上面的表示形式，判断入与μ的值分别是 第3行 33 1 第4行 14641 ( 第5行 15101051 A.5,9 B.5,10 C.6,10 D.6,9 A.C B.Cozs 题组2“杨辉三角”中的比值问题 C.C2o24-1 D.C2o2s-1 2.(2024·河北张家口高二月考)在我国南宋数5.(2024·陕西西安高二月考)我国 学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一 南宋数学家杨辉1261年所著的 书中展示了二项式系数表，即杨辉三角.数学 《详解九章算法》一书里出现了如图所示的 爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，第12行 表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成 中从左到右第2个数与第3个数之比 就.在杨辉三角中，若去除所有为1的项，依次 为 ,第2024行的第 个数 最大 构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，记作 第0行 数列{an},若数列{an}的前n项和为Sn, 第1行 第2行 则S6= 第3行 第4行 第5行 510 10 3.(2024·山东菏泽高二期中)如图 121 1331 在由二项式系数所构成的杨辉三 14641 15100051 15+-0/1051 角中，第 行中从左至右第11与第12 个数的比为1：2 (第5题) (第6题) 第0行 6.（2024·湖北武汉高二月考)如图所示，在杨辉 第1行 第2行 三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个 第3行 第4行 锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…记这个数列 第5行 前n项和为S(n),则S(31)= 第六章黑白题17，1 由②-①可得241+274+ 1 27% 2“2京-1，等号两边同时 的含y项的系数， (5)的展开式的通项为T1=C4()“(-5)',令 乘2得a1+2+叶 111 故答案为 255 128 =2得=2，展开式中y的系数为C=6,故选D. r=2, 1 2.A解析：A-B=37-C×3+C号×35-C2×34+C×33-C×32+C×3-1= 12.1解析：设x)=(a+)(2x-1),则各项系数和为1)=(a+ (3-1)7=27=128.故选A 1)(2-1)3■a+1,则a+1=2,即a=1,故答案为1 3.B解析：二项式展开式通项公式为T1=C%(3x)”=3C,所以 13.解：1)由题意得，二项式(2x+1） 的展开式的通项为T+1= 二项式展开式的第6项和第7项分别为3C3x和35Cx,所以由题 意可知a=3C3,a6=36C, C(2)”(）广-C2,=0,12a,第三项的系数 所以由a=a,得3Cg=3C→31(m-561(a-61-52 n! 3xn！11 是C2·2-2=n(n-1)…23,第二项的系数是C!·21=n·2- 所以n-5=2,即n=7.故选B. 又由第三项的系数是第二项的系数的号倍，有(n-)·23。 4.B解析：由题意可知C=a,C以1=6,13a=76,.13C%=7C受1， 甲15品-7化赏得13=2据得n6放 m!·m! 2(n·2),解得m=7 选B. (2)对于二项式(2）厂'，令=1，即得展开式中各项系数之和 5.ACD解析：对于A,令x=1可得2+(-1)■4o,所以ao=9,故A正 确：对于B.(x+1)3+(x-2)3=[(x-1)+2]3+[(x-1)-1],则a3= 为2+17=3，可得M=,展开式(2x+）】 C92°+C(-1)=1-56=-55,故B错误：对于C,令x=2可得 的二项式系数之和 33=27=aota1+a2ta++as,故C正确：对于D,x项的系数只能来 87M=128 8732=128-27=101. 自(x-2)"的展开式，含x项的系数是C员(-2)2=28×4=112，故 为22=128，可得N=128,可得N D正确，故选ACD. (3)(2）'展开式的通项为=(2a)一（） 6.D解析：形如xy(m,n∈N)的所有项，即C(3x)(y-2)展 =2-r 开式中所有项，令x=y=z=1,得xy"(m,n∈N)的所有项的系数之 2C≥2C5整理得 和是C号×33×(-1)5=-1512，故选D C5x-,reN,则 27C5≥2-C5 7.B解析：因为(1+2x)(2-x)6=a6+a1x*2x2++a2x7, 7 7 令x=1可得anta1ta2 tug+as+as+a6ta,=3, r1(7-r)1 5 8 令x=-1可得ao-41+a2-4+a4-0ta6-a,=-3=-729, 7! 2(+1)！(6-r)月'n2r+2≥1-、àN 71 (8-r22r 会r3 3-729 所以aota2ta4+a6= a-363,ataytasta,=3(-729 =366 17-2-18- 2 2 而reN,.r=2,所以系数最大的项为672x 又(1+2x)(2-x)5=(2-x)6+2x(2-x)5,其中(2-x)6展开式的通项 14.解：(1)令x=0,可得a6=2204,令x=1,得32m4=a0+a1+2+…+ 为T1=2C%(-x)=2+×(-1)C%x(0≤r≤6且reN),所以 a2m4①，令x=-1得1=a0a,+a2a3++2m4②， a6=2Cg+2×2'C%×(-1)5=-23,所以a+a2+a4■-363-a6 ①+②得2(ata2t…ta2)=32+l,所以a2ta4ta6+ta2m4= -363+23=-340,所以6a,0,=-340.170】 3204+120m +o,*a,366183放选B 12 12- 2 (2)对(x+2)204=a6+a1x+a22+…+2a4x2@4两边同时求导得 ( 2024(x+2)2m=1+2a2x+3ax2+…+2024a20max200 令x=-1可得a1-2a2+3a1-4au+-20242m4=2024. (2)令-6得-6（）八(2广=4即 15.(1)解：杨辉三角中第8行的各数之和为1+C!+C+…+C?+1=C+ 展开式的中间一项为924故答案为924. Cg+C++C%+C8=28=256. (-1)! 、(n-1)1(n-1)1 92解析：因为在+：的展开式的通项为T1=Cg()”, (2)证明：c吗+C-1(1(a-1-1(n-门 n! n! [(a-r)()C(CC (任广=G号，5”1，即1时的系数为和，周二项式 (3)解：(1+x)2+(1+)++(1+x)*1的展开式中，含x2项的系数 系数的最大值为C=10,所以5a=10,即a=2 为C吗+C+C+…+C21=C+C+C+…+C21=C+C+C+…+ 10.15360:兰解析：由题意可知？+1=6，解得m=10,故展开式的 C21=Cg+C+C2=C1+C21=C2 压轴挑战 通项为1Co2学.设第(r+1)项的系数最大，则 「21 A解析：77…7 =7×83+7x84+7x83+7×82+7×81+7×8°=7×(83+ Ci。·2r≥C0·21 即 (Ciw·2'≥C6·2 12 解翔9 22 8+83+82481+8)=7×上-8 =85-1=(10-2)5-1=C%×10+Cg×103× 10-rr+1 1-8 (-2)1+…+Cg×103×(-2)5+Cg×10°×(-2)6-1=10×[C8×105+Cg× ”reN,=7,展开式中的系数最大的项为T,=C2x9”。 10×(-2)'++C%×10°×(-2)5]+C8×10°×(-2)6-1， 15360x兰.故答案为15360x兰 因为10x[Cg×10+Cg×10×(-2)'++C2×10°×(-2)3]是10的倍数， 11.(1)证明：若选①，令x=1,则所有项的系数和为3”，二项式系数之 所以换算后这个数的末位数字即为C×10°×(-2)-1的末位数字，由 和为2“，因为展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比 C%×10°×(-2)6-1=64-1=63，得末位数字为3，故选A. 为729：64，所以3” 解得m=6,故T1= 6.3阶段综合 C2·2(0≤≤6，rZ)若T1是常数项，则27=0，得r 黑亚 阶段强化 1.D解析：(xy)‘=x2y2(丘5)，只需求(G-5)展开式中 立：N,故：开式没有常数项；若选②，因为前三项的二项式系数之 选择性必修第三册·RU黑白题08 和为2，所以Cg+C以+C2=1+na(?,D=2,整理得2+a-42=(n 2 (2）(-2rG,令，3，得4-209 6)(n+7)=0,解得n=6故T1=C%2-x2了(0≤r≤6，r∈Z).若 -160x3,即第四项为-160x23.故选D 3 4.C解析：从一排的6个位置选2个摆放残奥会言样物即可（剩下的 刀1是常数项，则2-子=0，得=2N,故展开式中没有常数项 4个位置放奥运会吉拜物)，C2=15.故选C. (2)解：由(1)得，T1=C2x2宁(0≤r≤6，reZ).当且仅当2- 5.B解析：因为A在B的前面出场，且A,B都不在3号位置，则情况如 下：①A在1号位置，B有2,4,5三种位置选择，有3A日=18（种）次 3为整数时，T1是有理项又因为0≤r≤6，r∈Z,所以r=0,3,6 序：②4在2号位置，B有4,5号两种选择，有2A=12(种)次序：③A 故展开式中有3个有理项，分别为T,=C8×2x2=64x2,T,=C× 在4号位置，B有5号一种选择，有A号=6（种）次序.故共有18+12 22x2=160x2,T2=C8×2”x6=x6 6=36(种)次序故选B. 6.A解析：因为32m=92=(10-1)102=C9n×10102-C0× 专题探究1“杨辉三角”的应用 10o11+…+C88×102-C8×10+C8船×10°，而C92×10'0m2 黑题 专题强化 C×1001++C吲8盟×102-C8船×10是10的倍数，所以320的 1.C解析：结合题意可得A=3+3=6,4=4+6=10,故选C 个位数是C8船×10°=1.故选A 7.C解析：先对正方形ABCD涂色，共有5种颜色可供选择，然后涂 四方法总结 △ABE区域，有4种颜色可供选择，接下来涂△BCF区域，有3种颜 杨辉三角中的数的特点： 色可供选择，若△CDG区域与△ABE区域同色，则△ADH区域有3种 (1)每一行有(n+1)个数字，每一行两指的数字均为1： 颜色可供选择：若△CDG区域与△ABE区域不同色，则△CDG区域 (2)从第二行起，每一行中问的数字等于它上一行对应（即两肩上） 有2种颓色可供选择，△ADH区城有2种颜色可供选择由计数原现 的两个数字的和。 可知，不同的涂色方法种数为5×4×3×(1×3+2×2)■420.故选C. 8.C解析：最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形 2品 1013解析：第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 有A=24(种)，故A正确：最后一只次品正好在第五次测试时被发 现的不同情形有C×C1×A:=576(种)，故B正确：所有次品正好是 Ch122 第六次测试时被全部查出的不同情形有C经×C×A+A。= C126611 7920(种)，故C错误：因为共有10只不同的实验产品，所以4只次 第204行有2025个数，中间的一个数最大，是第2241=1013故 品全测出至多需要九次测试，故D正确.故选C 9.BD解析：展开式共有7项，故A错误：展开式的各二项式系数的和 答案为品1013 为2°=64，故B正确：展开式的第6项是C?×51(-x)3=-30x,其系 3.32解析：第n行从左到右第11个数为C0,第12个数为C1,依题 数为-30，故C错误：展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大， 故D正确.故选BD n! 10.BCD解析：对于A,参观券相同，只需从5人中选出3人，方法有 、0C.1n101·（n-10）1=111·(n-11)」。11.1 n! 101·(n-10)in-102,解得 C=10(种)，故A错误；对于B,将5封信投人3个邮筒，每封信都 111·(n-11)日 有3种选择，故不同的投法有3°种，故B正确：对于C,从6名男生 n=32.故答案为32. 和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生 4.B解析：由题意可知，从第2行开始，第n行的第3个数字为C2,故 包含的类别有1男3女，2男2女，3男1女，即C6×C}+C×C+C%× 从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为C号+C+C好+…+ C=194(种)，故C正确：对于D,现将5封信分成4组有C种，再 C吃a4=C}+C+C++C4=C}+C++C经a4=…=Ca4+C3m4= 将分好的4组全排列，对应4个信箱，有A种，则不同的投法共有 Cs.故选B. C×A种，故D正确.故选BCD. 5.4084解析：根据题意，2为杨辉三角的第三行中去除1后的数，共 11.BD解析：由于x=[-t+(x+t)],所以a1=C1(-4)7=-87=8,所 1个，3,3为杨辉三角的第四行去除1后的数，共2个，4,6,4为杨辉 以=-1,42=C%(-t)6=28=28,故A错误，B正确， 三角第五行去除1后的数，共3个…故可设去除1后，杨辉三角从 x8=o+a1(x-1)+a2(x-1)2+3(x-1)3+…+ag(x-1)8,令x=1,可 第n(n≥3，neN)行开始，共有(m-2)个数在数列1a.}中，则前m行 得ao=1:令x=2,可得2=+a1+a2+a3+…+as:令x=0,可得0 共有1+2+3+…+(a-2)=n-2m-(个)数，又当n=12时， 2 2 a1t0a,+…+a:由此可得4ta4ta6+a=2a=128-1= 2-212-2.55<56.=13时，3-213-1业=66>56，放5%中 127,故C错误，D正确，故选BD. 12.40解析：由题意小李借的书可分为3类，由分类加法原理得15+ 包括了杨辉三角从第3行开始至第12行去除1后所有的数，以及第 16+9=40,故答案为40. 13行去除1后的第一个数，故S6=C2+(C+C)+(C4+C+C:)+ 13.2解析：x(a-x)6的展开式中含x2的项的系数为C6·a3· (Cg+C号+C号+C)+…+(Ch+C品，+…+C8)+C品2=(22-2)+(22-2)+ (-1)=-192,解得a=2.故答案为2. (2-2)+(23-2)+…+(211-2)+12=(22+23+++211)-2×10+12= 14.113003解析：依据给定条件我们发现第8条线为1.6,10,4，第 4x(1-20)-8=22-12=4084.故答案为4084. 9条线为1,7,15,10,1，第10条线为1.8,21,20,5，第11条线为1. 1-2 9,28,35,15,1,第12条线为1,10,36,56,35,6，第13条线为1,11， 6.951解析：由杨辉三角性质，得S(31)=C+C号+C+C+…+C16+ 45.84,70.21,1.第14条线为1.12.55.120,126,56,7，第15条线为 C6+C品，=(C+C+…+Ci6)+(C+C号++C品)=(C号+C+C+…+ 1.13.66,165,210,126,28.1.第16条线为1.14.78.220.330,252. C16)+(C+C好+…+C2,)-1=C,+C38-1=951.故答案为951 84.8,第17条线为1,15,91,286,495,462,210.36,1，第1条线和 第六章章末检测 第2条线有1个数，第3条线和第4条线有2个数.第5条线和第 6条线有3个数，第7条线和第8条线有4个数，所以线的条数每增 1.B解析：因为C经.=A号，所以×2nx(2n-1)=5x4×3x2x1,即(2n+ 加2，其含有数字的个数增加1.所以第21条线上的数共有11个数： 我们发现第1条线只有数字1，所以它的最大数为1，第5条线有1， 15)(n-8)=0,又neN°，2n32.所以n=8.故选B. 3,1,所以最大数为3，第9条线有1,7,15,10,1，所以最大数为15 2.D解析：因为每名同学都有4种选择，所以由分步乘法计数原理可 第13条线有1,11,45,84,70,21,1，所以最大数为84，第17条线有 知不同选法的种数为4×4×4×4×4=43.故选D 1,15,91,286,495,462,210,36,1.所以最大数为495，若设线的条数 16 3.D解析：由题意知， (e- 展开式的通项为T1=C%(x)· 为4n+1,则第21条线中的最大数也澜足第1,5,9,13,17条线上的 最大数的规律，而我们继续写杨辉三角，我们可以得到剩下的行，第 参考答案黑白题09