7.1 两个基本计数原理-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

第7章 计数原理 7.1两个基本计数原理 第1关练速度5mh为准，你的时间： 村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级选择，每 1.(多选)下列说法正确的是 ( ) 个年级必须且只能选择一条路线，则不同的 A.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成 选择方法有 () 这个步骤的方法是各不相同的 A.4种 B.24种 B.在分类加法计数原理中，两类不同方案中 C.64种 D.81种 的方法可以相同 5.(2023·吉林通化高二月考)据史书的记载， C.在分类加法计数原理中，事情是分类完成 最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十 的，其中任何类方法都不能完成这件事，只 进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的 有每个方法都完成后，这件事情才算完成 D.如果完成一件事情有n个不同的步骤，在每 计算工具.算筹记数的表示方法为个位用纵 一步中都有若干种不同的方法m,(i=1,2,3, 式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横 …,n),那么完成这件事共有m1·m2·m· 式，以此类推，遇零则置空如图所示： …·m,种不同的方法 纵式↓TTTm 2.(2024·山东烟台高二月考)现有语文读物 5本，历史读物4本，地理读物3本，每本读物 横式一=三三目上上当当 各不相同，从中任取1本，不同的取法共有 123456789 ( 如：10记为一，26记为=T,71记为士1.现有 A.3种 B.12种 4根算筹，可表示出两位数的个数为() C.30种 D.60种 A.8 B.9 3.(2024·陕西西安高二月考)“谁知盘中餐，粒 C.10 D.12 粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德已 6.(2024·江苏连云港高二月考)如图所示，用 知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种 荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜 6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个 1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选 格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色 取方法有 不同，则不同的涂色方法共有 () A.13种 B.30种 C.60种 D.120种 4.(2024·福建宁德高二期末)学校组织研学活 A.480种 B.600种 动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头 C.360种 D.750种 选择性必修第二册·SJ学霸038 7.(多选)(2024·江苏苏州高二月考)高二年级 部填入单元格，每个单元格填一个数字，要 安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个 求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字， 社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能 则不同的填法有 种.（用数字作答） 选择一个社区进行活动，且多个同学可以选 第一列第二列第三列 择同一个社区进行活动，下列说法正确的有 第一行 第二行 A.所有可能的方法有3种 第三行 B.如果社区A必须有同学选择，则不同的安 排方法有61种 第2关练准确率 8题为准，你做对 题 C.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安 排方法有25种 12.若三角形三条边均为正整数，其中一边长为 D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则 4,另外两边长分别为b,c,且满足b≤4≤c, 不同的安排方法共有20种 则这样的三角形有 8.(2024·浙江金华高二月考)一个口袋里有 A.10个 B.14个 5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容 C.15个 D.21个 均不相同把这两个口袋里的9封信，分别投 13.如图所示，某景观湖内有四个人工小岛，为 入4个邮筒，则有 种不同的投法。 方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景 9.（2024·江苏苏州高二月考)如图，现在用 观桥连通四个小岛，每座桥只能连通两个小 4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行 岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计 着色，要求有公共边的两个地区不能用同一 方案的种数最多是 () 种颜色，则不同的着色方法有 种。 A.8 B.12 10.(2024·江苏扬州高二月考)如图所示，在A, C.16 D.24 B间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导 14.(多选)(2024·重庆万州区高二月考)设从 致线路不通，现发现A,B之间线路不通，则焊 东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3， 接点脱落的不同情况有 种 3,4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任 X个3D1B 意一面下山，则下列结论正确的是() 11.(2024·山东菏泽高二月考)数独是源自 A.从东面上山有20种走法 18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的 B.从西面上山有27种走法 一个简化版，由3行3列9个单元格构成， C.从南面上山有30种走法 玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各3个）全 D.从北面上山有32种走法 第7章学霸039 15.(2024·吉林延边高二月考)中国有十二生19.(2024·河南郑州高二月考)某校在艺术节 肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对 期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从 3名教师、4名男同学和5名女同学当中选 应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、 出若干人来主持这场晚会（任意一人都可主 羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种现有十二生肖 持) 的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为 (1)如果只需一人主持，共有多少种不同的 礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗 选法？ 和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位 (2)如果需要教师、男同学和女同学各一人 同学对选取的礼物都满意，则选法有( 共同主持，共有多少种不同的选法？ A.50种 B.60种 C.90种 D.180种 16.(多选)(2023·江苏常州前黄高级中学高 二月考)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重 复数字的自然数，如果十位上的数字比百位 上的数字和个位上的数字都小，则称这个数 为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，则下 列结论中正确的是 ( A.组成的三位数的个数为60 B.在组成的三位数中，偶数的个数为30 C.在组成的三位数中，“凹数”的个数为20 D.在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 17.(2024·河北石家庄高二月考)实数1080 所有正因数有 个 18.(2023·广东江门高二月考)跳格游戏如图 所示，人从格外只能进入第1格：在格中每 次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到 第6格可以有 种跳法 23 4/5 16 选择性必修第二册·SJ学霸040 20.(2024·山东聊城高二月考)从0~6这7个22.(2024·浙江宁波高二期中）对于Ha, 数字中取出4个数字，试问： b∈N',定义a⊙a=a+1,a⊙b=maxa+1, (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ b+1},其中maxx1…,x,}为x1,x2,…,x (2)能组成多少个没有重复数字的四位 中最大的数，例如：max{1,1}=1,max{1, 偶数？ 2}=2,max{1,2,5}=5.给定正整数n≥3， (3)能组成多少个没有重复数字且个位不是 根据以上内容，对于Ha,b,c∈N”,请回答 5的四位数？ 下列问题： (1)((.((a⊙a)⊙a)⊙..)⊙a)⊙a n个a (用a和n表示)； (2)满足(a⊙b)⊙c=4的有序数对(a,b,c) 有多少个？ (3)满足(a⊙b)⊙c=n的有序数对(a,b,c) 有多少个？ (4)满足(a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)=n的有序 数对(a,b,c)有多少个？ 第3关练思维宽度 ）难度级别：女女☆☆☆ 21.(2024·山东泰安高二期中)现有四种不同 颜色的彩灯装饰五面体AB-CDEF的六个顶 点，要求A,B用同一种颜色的彩灯，其他各 棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的 装饰方案共有 种（用数字作答） 第7章学霸041为②7 7 (3)解：设Q(00),成=A屁则成=(0-5n),屁= -3=-3A. (-3,1.0),所以0=A, 所以0(3-3A,A.0).又因 则A(2,-1,0),B(2,1,0),D(0,-1.0),P(0,0,3),设(0， g=0. 0,h)(0<h<5).那么A7=(-2,1.h),Bd=(-2.-2.0).D (0,1,h).因为.=2-2=0.所以A1.即AM⊥BD. 为F为B,C中点.所以F 停所以（停 2·2 (2)解：设平面DW的法向量为n=(,.则1 1）,A=(3-3,A,-1).因为过4作与AF垂直的平面a (n⊥DM x3.）·(-2-2.0)=0,-{2x-2=0令：=1，可得n= 交直线BC于点Q,所以A,QCa,则41Q⊥AF,所以A,.A (xx,)·(0,1,h)=0 (y+hz=0. (2h,-h,1).设直线AM与平面BDM所成的角为a,则sna= 之1-A之-1=0，解得A=子所以0(5.0小则 1s(ddn1=,n1。 2h 1Ai·1m1√3+h·√3幼+1√3级+10M2+3 3 动=（停0）所以威=()（号）=1.即 ≤？（当且仅当4=1时取等号）.所以当AW=2时， 1√33104 BQ=1. 直线W与平面8DN所成的角最大为号 (3)解：在(2)的情况下，币=(0,0.3-1)，平面BDM的法向量 =(5,-L,1),所以点P到平面DM的距离为n·励 1 01 Inl 3-1 2 19.(1)证明：因为p·a=a1(-a3b2)+a(a3b-ab)+(a1b- 18.(1)证明：因为△AM,C是等腰直角三角形，且AC为斜边，所 b1)=a1a2b-a143+23b,-201b+a3m1b2-ab,=0,所以 以4，=C4.0为4C中点，所以4014C:又由∠4,0B=号可 pla,即p10,因为p·b=b,(ab-ab2)+b(ab,-ab)+ 知A,0⊥OB,因为ACn0B=O,AC.0BC平面ABC,故A,0⊥平 b3tajb:-azb)=bia3bs-bjasb2+b2ajb1-b2a b3+bsab:-bsa:b= 面ABC (2)解：因为△ABC为正三角形，O为AC中点，所以B⊥0C,由 0,所以p1b,即p10成.又因为01An0B=0,0A,0Bc平面04B. (1)知，A,O⊥平而ABC.OB.0CC平面ABC.所以A0⊥OC, 所以向量p为平面OAB的法向量. A,010B,如图，以0为原点，0B,0C,0A1分别为x,y:轴建立如 图所示空间直角坐标系，则A(0,-1,0),B(5,0,0),C(0,1, (2样∠40B=i高是行则如∠08：2故 0),A1(0,0,1),B,(3,1,1),C,(0,2,1),由(1)知，A101平 面ABC,所以平面ABC的一个法向量为0A=(0,0,1),设平面 BCG,B,的-个法向量n=(1为)且BB=(0,1,1),B元= Snw-25am-1a1b1上408=3x3x29-62,由a (-3,1,0,所以0·=-5+=0 (1,-1,7).b=(0,-3,0),得a×b=(37.0.-3),所以1a×b1= 不妨设x1=1,则1= m·BB=y+5=0, √63+0+9=62，所以S网也®0m=a×b1. 31=-3,所以n=(1.3,-3).设平面ABC与平面BCC,B, (3)解：设C点到平面0AB的距离为h,O元与平面O4B所成的角 所成二面角的夹角为月.又(0n:·”。二月 为a,则V=Sg边形on·h=ax动1 lelsin a,由(I)得向量p为平面 101·ml1×7 AB的法向量，则I%(a×b,e〉|=sina.又I(a×b)·e1= 工，即日=V工由图可知，即二面角A-C-B,的余弦值 7 7 |axh1·leleos(a×b,e〉，所以V=I(axb)·cl, 第7章 计数原理 7.1两个基本计数原理 4.C解析：3个年级均有4种选择，故不同的选择方法有4 64(种).故选C 第1关（练速度）】 方法总结 1.AD 2.B解析：由分类加法计数原理，得不同的取法共有3+4+5= 分类计数原理的解题恩幕： 12(种).故选B (1)根据周目特点选择给当的分类标准 (2)分类时应注意完成这件率情的任何一种方法必领属于某一类。 3.C解析：由分步乘法计数原理，得不同的选取方法有2×6×5= 并且分别属于不同种类纳两种方法是不司的方法，不能重复， 60(种).故选C 参考答案学霸31 5.C解析：由题意知.共有4根算筹 D.C-A-D-B,D-A-B-C.D-A-C-B.8-A-C-D.B-A-D-C. 当十位1根.个位3根时，共有2个两位数： 6种方案.故设计方案最多有6+6=12（种）： 当十位2根.个位2根时，共有4个两位数： 14.ABD解析：若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有 当十位3根.个位1根时，共有2个两位数： 10种，由分步计数原理可得共有20种走法；若从西面上山，则上 当十位4根，个位0根时，共有2个两位数 山走法有3种，下山走法有9种，由分步什数原理可得共有27种 所以一共有2+4+2+2=10（个）两位数.故选C. 走法：若从南面上山.则上山走法有3种，下山走法有9种，由分 6,D解析：首先给最左边的-一个格子涂色，有6种选择，左边第二个 步计数原理可得共有27种走法：若从北面上山，则上山走法有 格子有5种选择，左边第三个格子有5种选择，左边第四个格子也 4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法故 有5种选择，根据分步计数原理，得共有6×5×5×5=750（种）涂色 选ABD. 方法.故选D 15.A解析：①若甲同学选择牛，则乙同学有2种选择，丙同学有 方法总结 10种选择，选法种数为2×10=20，②若甲同学选择马，则乙同学 1.利用分步计数原理解决问愿要按事作发生的过程合理分岁，即分 有3种选择，丙同学有10种选择，选法种数为3×10=30综上，总 步是有先后质序的，并且分步必须满足：完减一件事的各个步豫是 共有20+30=50（种）选法，故选 相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件率 16.BC解析：对于A,因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三 2.分涉必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰：二是步与 位数的个数为4×4×3=48.故A不正确： 步确保连续，逐步完成 对于B,将所有三位数的码数分为两类」 7.BC解析：对于选项A,安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E ①个位数为0，则有4×3=12（个）， 五个社区进行暑期社会实我活动.每位同学只能选择一个社以进 2个位数为2或4.则有2×3×3=18（个）】 行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动.故有5×5×5 所以在组成的三位数中，偶数的个数为12+18=30，故B正确： 5'(种)选择方案，错误：对于选项B,如果社区A必须有同学选择 对于C,D,将这些“凹数”分为三类，Q①十位为0，则有4×3= 则不同的安排方法有5-43=61（种），正确：对于选项C:如果同学 12(个)， 甲必须选择社区A,则不同的安排方法有52=25（种），正确；对于 2十位为1，则有3×2=6（个）， 选项D:如果甲，乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲，乙 3十位为2，则有2×1=2（个）. 两名同学在一起和不在一起两种情况.则不同的安排方法共有5+ 所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12+6+2=20.故C正 5×4=25(种)，错误.故选BC 确，D不正确 重难点拨 放选BC 两种计数原理的选择思路： 17,32解析：1080=2×3×5.设正因数为2×3×5，则x,y∈0,1， (1)分清婴先成的事情是什么， 2.3:e0.1},由分步乘法计数原理可知，共有4×4×2= (2)分清究成该事情是分类完成还是分步完成，“类”问互相独立， 32(个).故答案为32. “步”问互相联系， 18.8解析：每次向前跳1格，共跳6次，有1种跳法：仅有一次跳 (3)有无特殊条件的限刺， 2格，其余每次向前跳1格，共跳5次，有4种跳法：有两次跳 (4)检验是否有重复或遣漏 2格，其余每次向前跳1格，共跳4次，有3种跳法.则共有1+4+ 8.4”解析：第一一封信投人邮简有4种投法：第二封信投人邮简有 3=8(种).故答案为8. 4种投法第九封信投人邮筒有4种投法.由分步乘法计数原理 19.解：《1)从3名教师，4名男同学和5名女同学当中选出一人主持 可知，共有4种不同的投法.故答案为4 这场晚会，结果可分为3类：第一类，选一名教师主持，有3种选 9.48解析：先给①涂色有4种，再给②涂色有3种.给③涂色有 法：第二类，选一名男同学主持.有4种选法：第三类.选一名女同 2种.给④涂色有2种，所以由分步计数原理得4×3×2×2= 学主持.有5种选法.根据分类加法计数原理，共有3+4+5一 48(种).故容案为48 12(种)不同的选法。 10,13解析：由题意知四个焊接点脱落或不脱落的不同情况共有 (2)从3名教师，4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同 2=16(种)，其中A.B之间线路通的情况只有：1.2.4不脱落3脱 主持晚会，可分3步：第一步，选出一名教师，有3种选法：第二 落，1,3,4不脱落2脱落，1,2,3.4都不脱落，共3种情况，故A,B 步，选出一名男同学，有4种选法：第三步，选出一名女同学，有 之间线路不通.则焊接点脱落的不同情况有16-3=13（种）.故答 5种选法，以上3个步骤依次完成后，事情才算完成根据分步乘 案为13. 法计数原理，共有3×4×5=60（种）不同的选法， 11,12解析：根据愿意.可分3步进行分析：①将1.2,3三个数字填 20.解：(1)第一步：千位不能为0，有6种选择：第二步：百位可以从 人第一行.有3×2×1=6（种）情况：2第二行第一列的数字与第 剩余数字中迷，有6种选择：第三步：十位可以从利余数字中选」 行第一列的数字不同，有2种情况，第二列，第三列只有1种情 有5种选择：第四步：个位可以从利余数字中选，有4种选择根据 况，则第二行只有2种情况：3由于前两行的数字确定，第三行只 分步计数原理，能组成6×6×5×4=720（个）没有重复数字的四 有1种情况.由分步计数原理，共有6×2×1=12（种）不同的填法， 位数 故答案为12. (2)第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有6×5× 第2关（练准确率）】 4=120(个)：第二类：当个位数字是2时，千位不能为0.没有重复 12.A解析：当b=1时.c=4:当b=2时.c=4,5:当b=3时，c=4.5 数字的四位数有5×5×4=100（个）：第三类：当个位数字是4时. 6:当b=4时.e=4,5,6,7.做共有10个这样的三角形.故选L 千位不能为0，没有重复数字的四位数有5×5×4=100（个）：第四 易错提醒 类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有 使用分类加法计数原理道循的原则：有时分类的划分标准有多个， 5×5×4=100(个).根据分类加法计数原理，能组成120+100+100+ 但不论是以哪一个为标准，都应遵衢“标准要明碗，不重不漏”的 100=420(个)没有重复数字的四位阀数. 原则. (3)当个位是0时.有6×5×4=120（种）排法：当个位不是0时，有 13.B解析：设四个人工小岛分别记为A,B,C,D,对A分为有一座 5×5×5×4=500(种)排法，由分类加法计数原理，可得符合条件的 桥相连和两座桥相连两种情况，用“-”表示桥①当A只有一座桥 共120+500=620（种）排法 相连时，有A-B-C-D,A-B-D-C,A-C-B-D,A-C-D-B,A-D-B- 第3关（练思维宽度》 C,A-D-C-B,共6种方案：2当A有两座桥相连时.有C-A-B-:21.72解析：首先给A.B两个顶点挂彩灯，有4种方法，再给C顶点 选择性必修第二册，SJ学霸32 挂彩灯.有3种方法，①若D,F挂同一种颜色的彩灯.则有2种方 D正确.故选CD. 法，最后挂E点有2种方法，故有4×3×2×2=48（种）：②若D,F 6.B解析：根据题意，分2种情况1讨论：①若甲在4跑道上，利下3人 挂不同种颜色的彩灯，此时挂D点有2种方法，挂F点有1种方 任意安排在其他3个跑道上，有A=6(种)排法，②若甲不在4跑 法，最后挂E点有1种方法.故有4×3×2×1×1=24（种）.综上可 道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任 得.一共有48+24=72（种）不问的方法.故答案为72 意安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，此时有2×2×2 22.解：(1)u+a-1解析：我们定义数列1x.满足1=，1= 8(种)安排方法，故共有6+8=14（种）不同的安排方法，故选B xn⊙a,则((a⊙a)⊙n)⊙)⊙a)⊙a=x由于1= 方法总结 “在”与“不在”的有限制条件的问题。一敏都是对某个成某些元素 ⊙a=mxx,+1,+1|≥x,+1>x。,放无n是递增数列，从而 。1=a.所以其+1=无，⊙a=mx,+1,0+1=xw+1,这得到 加以限制，被服制的元素通富称为特殊元素，被限制的位置称为特 x,是公差为1的等差数列，再由x1=a,得。=+n-1.所以 陈位里这一类问是通常有三种考虑途径： (1)以元素为主考虑，一般先解决特殊元素的排法间题，即先满足转 (..((a⊙a）⊙a)⊙..)⊙a)⊙a=a+n-1. 殊元素，再安掉其他元素， (2)我们有(a⊙b)⊙e=max(a⊙b)+I,c+1月=muw|ux}a+1,b+ (2)以位置为主考虚，一般先解决特殊位置的排法间题，脚先满足转 1+1.c+1=ax max a+2,b+2l,c+1=mra+2,b+2,c+1|, 荣位置，再考虑其他位置。 对集合T,记其元素个数为|T1.设正整数m≥2，定义集合A.三 (3)用闻接法解题，先不考虏服刳条件，计算出排列总数，再减去不 (a,b,c)la,b,c∈N,(a⊙b)⊙e≤m,则(a,b,c)∈A.,当且仅 符合要求的排列数 n≤m-2, 7.D解析：先将生行，旦行，式行、流行这4个表演者全排列，有A 当(a⊙b)⊙e=max{a+2,b+2,c+1f≤m,即b≤m-2, 种，产生5个空，再将净行、丑行、杂行这3个表演者插入5个空 c≤m-1 中，有A:种.所以不同的排法总数是AA:=1440.放选D. 从而141=(m-2)2(m-1),特别地，A2=⑦.故对于正整数n≥3， 重难点拨 使得(a⊙b)⊙c=n的(a.b,e)的个数即为1A.1-【A-11= (n-2)2·(n-1)-(n-3)2(W-2)=3n2-13n+14.特别地.取n=4. 解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为得n个不同元素排成一 知使得(a⊙b)⊙e=4的(a,b,c)的个数为10. 排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先 (3)由上一问的推导，知使得(a⊙b)⊙c=n的(a,b,c)的个数为 将这水个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他 3n2-13n+14. 元素一起排列，然后再将“翘绑“在一起的元素“内部”进行排列，最 (4)由前面的推导可知(a⊙b)⊙e=xa+2,6+2,e+1,但又有 后利用分岁乘法计数原理求解解决不相邻问题的方法为“插空 a⊙(b⊙c)=nm9a+1,(b⊙e)+1{=naxa+1,iaxb+1,e+1f+ 法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻 1 =maxia+1.max 6+2.c+2=maxa+1,6+2.c+2,(b (k≤n-k+1),求不同排法种数的方法是：先将(-)个元素排成 ⊙c)=mxa+1,b+2.c+2,这表明(a⊙6)⊙c=a⊙(b⊙c)=n等 排，然后把k个元素桥入(n一+1)个空豫中，最后利用分步乘法计 价于mxa+2,6+2,e+1=mx{a+1,b+2,e+2=n.对正整数n≥ 数原理求解 3,有如下结论：maxa+2,b+2,c+1=maxa+1,b+2,e+2=n等 n(i-1)=7(n-4)(n-5). (a≤-2，(a≤n-1, 8.7 解析：由A2=7A24,得 n≥2. 且n后N', 价于：6≤n-2.及6≤n-2.且这两组条件中的每组都至少有 n-4≥2 e≤n-2, 解得4=7，故答案为7。 一个取到等号.综合两组条件可得a,6.c≤-2，这表明c≤n-1和 9.600解析：因为任意两个站点之间有往返两种不同的地铁票，故 ≤n-1这两个不等式两边不能取等.因此，原结论又等价于：4， 应为这25个站间准备不同的地铁票种数为A,=25×24=600.故答 b,e≤-2，且有6=n-2或a=c=n-2.当b=n-2,0,b,c≤m-2时. 案为600 相应的(a,6.c)有(m-2)·1·（n-2)=(n2-4n+4)种：当a=c= 10.960解析：分为3步：①将甲，乙两人排成一排，有A:=2(种)情 n-2,a,6.e≤n-2时，相应的(a,b,e)有1·(n-2)·1=(n-2)种 况：2在其他5人中任选2人，安排在甲，乙之间.有A?=20(种) 上述两次计算中.(a.b,c)=(n-2.n-2.n-2)的情况被重复计算 情祝：3将4人看成一个整体，与剩余3人全排列，有A:=24(种) 了一次，其他满是条件的(a,6,)都恰被计算一次.所以满足条件 情况.则不同的站法共有2×20×24=960（种）.故答案为960. 的金部的(a,b,c)的个数为(n2-4H+4)+(n-2)-1=m2-3n+1, 11.72解析：分步：第一步，把乙，丙.丁三个小镇搁绑，看成一个元 素，三个小镇的游览颗序有A=6(种)方案：第二步，将该整体与 7.2 排列 其他三个小镇作为4个元素，依次对应4个游览位置进行安排： 第1关（练逸度） 中间2个位置选一个作为小镇甲的游览有C=2(种)方案：第三 1.BD解析：因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和 步，剩余三个元素进行全排列有A?=6(种)方案根据分步乘法计 柔法时，结果与两数位置无关.故不是排列问题.而减法和除法与 数原理可知，不同的游览顺序方案共有6×2×6=72（种）.故答案 两数的位置有关，故是排列问题 为72. 2.D解析：根据题意可知，即把7本不同的书全排列，所以不同的摆： 第2关（然准确率）》 放方法数为A=5040.故选D. 12.D解析：由题知，光排后三个数字的位置，即从5个数字中选取 3.D解析：先确定最大数.即2024-n,再确定因数的个数.即 3个进行排列，有A}种，再把3个字母安排在前三个位置，有 (2024-n)-(19-m)+1=2006,所以原式=A微.故选D. A种，因为是分步进行的，所以共有AA个可选用的密码.故 4.C解析：将2只兔子绑，则2只兔子相邻走出房子共有AA号= 选D. 48(种)不同方法.故选C 13.B解析：首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，这样 5①解析：对选项A,m!一公≠，故A错说对选项 就剩三个足球了，这三个足球随便放置，下面是一个分类计数问 题，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果：第二 种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置排列. BA3三三(n+D1≠a,故B箭说对选项C,A与 有A=6(种)结果：第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子 (a-n+m,故C正确对选项D,nA=n·(n-1)!=l,故 n! 中，有3种结果.踪上可知共有1+6+3=10（种）结果故选B. 14.C解析：由题意，第一种情况：乙是冠军，则甲在第二位，剩下的 参考答案学霸33