6.3.3 空间角的计算-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

第2课时 空间角的计算 第1关练速度 5mn为准，你的时间： C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为5 1.(2024·陕西咸阳高二期末)已知两条异面直 线的方向向量分别是m=(1,-2,3),n=(2, D.二面角A-PB-C的正弦值为2T 1,0),这两条异面直线所成的角为( 5.(2024·广东佛山高二月考)在三棱锥P-ABC A月 B 中，已知PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB= AC=AP=2,D,E分别为PC,BC的中点，则异 c日 D.a 面直线AE与BD所成角的余弦值为() 2.在正方体ABCD-AB,C,D,中，二面角D,-AC-D 5 .3 B. 2 的正切值为 ( c.6 2 B.2 D.6 6.(2024·广东深圳高二月考)如图，在三棱 c号 D.2 台ABC-A1B,C1中，若A1A⊥平面ABC, AB⊥AC,A1C,=1,AB=AC=AA1=2,M为BC中 3.(2024·山东聊城高二月考)直三棱柱 点，则二面角M-AC,-C的余弦值为() ABC-ABC1中，△ABC为等边三角形， AM=AB,M是A,C,的中点，则AM与平面 BCC,B,所成角的正弦值为 ( 品 B.5 10 2 2 c酒 D.5 A.- 3 B. 3 10 4.(多选)(2024·山西晋中高二月考)如图，在 C.3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边 7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD 形，∠DAB=写，AB=2D=2PD,PD上底 相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE, AB=2,CF=3.若直线OF与平面BED所成的 面ABCD,则 角为45°，则AE= () A.PA⊥BD B.PB与平面ABCD所成角为 6 A.1 B.2 C.3 D.4 第6章学霸019 8.(2024·江苏扬州高二月考)若向量a=(2,13.(2024·江苏淮安高二期中)如图，在三棱锥 -3,w3)是直线1的方向向量，向量n=(1,0, P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,∠PAC= 0)是平面α的法向量，则直线1与平面α所 ∠ABC=90°，PA=BC=1,E是AB的中点 成的角为 PB=AC=2,则直线PB与平面PEC所成角 9.(2023·山西吕梁高二期末)若平面α的一个 的正弦值为 () 法向量m=(2,-1,-2),平面B的一个法向量 n=(1,1,2),则平面a与平面B夹角的余弦 值为 10.（2024·福建福州高二期末)如图所示，在棱 长为2的正方体ABCD-A,B,C,D1中，E,F A. √10 B.30 10 20 分别是CC,AD的中点，那么异面直线D,E 和A,F所成角的余弦值等于 C.30 D.10 10 20 14.(2024·河南焦作高二月考)如图，过二面角 a-I-B内一点P作PA⊥a于点A,PB⊥B于 点B,若PA=5,PB=8,AB=7,则二面角 11.(2024·湖南长沙高二期末)正三棱柱 1-B的大小为 () ABC-A,B,C1中，AA1=AB,N是BC的中点， 点P在A,B,上，且满足A1P=AA,B,当直线 PN与平面ABC所成的角取最大值时，入的 值为 第2关练准确率 8题为准，你做对 A.30° B.60° 题 C.120 D.150° 12.(2024·广东中山高二期中)如图，圆锥的轴 截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点， 15.(多选)(2023·山东临沂高一月考)如图， E,F分别为母线BC,AC的中点，则异面直 菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，E为 线BF和DE所成角的大小为 边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A 到A',连接A'B,A'C,且A'D⊥DC,平面A'BE 与平面A'CD的交线为1，则下列结论中正确 的是 D A B.Tr C.2 D. 3 选择性必修第二册·SJ学霸020 A.平面A'DE⊥平面A'BE 18.a,b为空间中两条互相垂直的直线，直角三 B.CD∥I 角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂 C.BC与平面A'DE所成角的余弦值为2 直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转， ∠ABC=30°，当直线AB与a成60°角时，AB D.二面角E-A'B-D的余弦值为行 与b成的角为 19.(2024·河南洛阳高二期末)如图，在正三棱 16.(2024·黑龙江哈尔滨高二期中)如图，在正 柱ABC-A,B,C,中，CC,=3,AB=2,Q为侧 方体ABCD-AB,C,D1中，E为线段AA1上的 棱AA1上的点，且AQ=2,点M,N分别 为AB,A,C,的中点 一个动点，F为线段B,C,上的一个动点，则 (1)求异面直线MW与QC,所成角的余 平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的 弦值； 平面角余弦值的取值范围是 (2)求直线MN与平面AA,B,B所成角的正 弦值 o,] 1 c.o91 D.o. 17.(2024·江苏扬州高二月考)《九章算术》第 五卷中涉及一种几何体—羡除，它下广六 尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七 尺.该羡除是一个多面体ABCDFE,如图，四 边形ABCD,ABEF均为等腰梯形，AB∥CD∥ EF,平面ABCD⊥平面ABEF,梯形 ABCD,ABEF的高分别为3,7，且AB=6, CD=10,EF=8,则1DE1= ,异面直 线AD,BF所成角的余弦值是 第6章学霸021 20.(2024·河北邢台高二月考)如图，在四棱锥22.(2024·江苏扬州高二月考)如 P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AD⊥平面 图，已知三棱柱ABC-A,B,C1的侧 视讲解 PCD,PD=AD,PC=PA,E,F,M分别是棱 棱与底面垂直，A4,=AB=AC=2,BC=2W2,M, PA,PC,BC的中点. N分别是CC,BC的中点，点P在线段AB, (1)证明：DF⊥PB: 上，且AP=AAB (2)求平面DEM与平面ABCD夹角的余 (1)证明：AM⊥PW 弦值 (2)当入取何值时，直线PN与平面AMN所 成角0最小？ (3)是否存在点P,使得平面PMN与平 面ABC所成的二面角的正弦值为30 若存在，试确定点P的位置：若不存在， 请说明理由 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆女☆ 21.(2024·河北保定高二期末)在 空间直角坐标系中，过点P(xo, 频讲解 yo,)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面a 的方程可写为a(x-x)+b(y-yo)+c(z-o)= 0.已知直线AB的方向向量为(1,1,1)，平面 α的方程为3x+4y-5z=0,则直线AB与平面 α所成角的正弦值为 选择性必修第二册·SJ学霸022(2)由(1)知平面P1D的一个法向量为店=(1,0.0).P可=(0， m.成=0， 即 2,-2),D元=(2,0,0)，设平面PCD的一个法向量为#=(xy,) 面BDN的一个法向量为m=(x,0,),则 m·Di=0. 则：0即径0今1，可得1，所以1=(0,1 fo+yn=0. (2An+(1-A)0=0 令=1.则%-1，=1入，所以m 又n·A话=(0,1,1)·(1.0.0)=0，所以n1A店，所以平面PCD1 平面BDM⊥平面BDF等价于m·n=0,即1+1- 平面PAD. 第3关（练思维宽度） 2八=0，得A= 21,D解析：如图，建立空间直角坐标系，则有A(2,0,0),M(0,2, 1- 2∈[0,1)，所以线段BC上存在点M使平面 1),N(xy.0),A(2.0.2),B(2,2.0).C,(0.2.2),B(2.2.2. BDFL平面BDM,且.1 第2课时空间角的计算 第1关（练递度） 1.A解析：设两条异面直线所成的角为0，且这两条异面直线的方 向向量分别是m=(1,-2,3),n=(2.1.0),则c%8=- m n m·la 1×2+(-2)×1+3×0 对于A选项，若∠AW=号则.网=0，且=(2-，y,0 √+(-2)+3√2+1+0 =0,且0<0≤号，所以这调条异面直 N7=(-x,2-y.1).故点N的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=2,当 线所成的角为于，故选1 x=0时，y=0,点(0.0)既在轨凌上，也在底面内.故存在这样的 2.D解析：建立如图所示的空间直角坐标 点N满足条件，A错误：对于B选项，A,N=5AN=1点N 系，设正方体的棱长为1，易求得平 在底面内轨迹的长度是以A为圆心，1为半径的圆周长的！，故 面ACD1的一个法向量为n,=(1.-1, B 1),平面4CD的一个法向量为2=(0.0， 长度为 2,B辑误：对于C选项，4方=(0,2，-2)， *2m= 所w语-号且 C=(-2,2,0),设平面A,BC,的法向量为n=(x,y,:),放有 二面角D,-AC-D是锐二面布，所以二面 2200,令y=1.则x11,故n=(11,0/平 角D-AC-D的正弦值为￥ 面A,BCM·n=0,点N的轨迹方程为xy-3=0.0≤x≤ a写5正切 2,0≤y≤2，.点N在底面内轨迹的长度为√个+下=2，C错误； 6 对于D选项.B,下=(x-2,y-2,-2),A1=(-2,2.-1).B1N 值为3=2 LA,M,.B1N·A,M=0..点N的轨迹方程为-x+y+1=0,即x 3 y-1=0.:0≤x≤2,0≤y≤2，，点N在底而内轨迹的长度为 3.B解析：如图所示，取AC的中点D.以点D为原点，BD,DC.DM √个+=√2，D正确.故选D. 所在直线分别为x轴、y轴，：轴，建立空间直角坐标系， 22.(1)证明：因为AB∥CD.AB￠平面CDE,GDC平面CDE,所 以AB∥平面CDE.同理，AF∥平面CDE.又AB∩AF=A.所以平 面ABF∥平面CDE.因为BFC平面ABF,所以BF∥平面CDE (2)解：存在因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平 面ABCD=AD,CD⊥AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥平面ADEF 又DEC平面ADEF,故CD⊥ED,而四边形ADEF是正方形，所 以AD⊥DE.又CD⊥AD,所以以D为原点，DA,DC.DE所在直线 分别为x轴，y轴，：轴，建立空间直角坐标系D-z设AD=1, 则AB=1.CD=2.D(0.0.0),B(1,1.0),F(1.0.1).C(0.2,0). 不妨设AG=2,则A(0.-1.0).M(0.0.2),B -3,0.0.所以 E(0,0,1),D成=(1,1,0)，D示=(1,0,1)，设平面BDF的一个法向 量为n=,则”·0'即+y0令=1则y 应=(0,12.平面c8的-个法向量为a=(停号0） "(n.D亦=0.x+:=0. 设AM与平面BCC,B,所成角为a,向量A与n所成的角为8，所 所以n=(1,-1.-1).若M与C重合，则平面BDW(C)的一个法向 3 量为mo=(0,0,1),则m。·n=-1≠0，则此时平面DF与平面 以in《■|em1= ,即AM与平面BCC,B BDM不垂直若M与C不重合，如图. A711nl5×3 10 所成角的正弦值为压放选R 10 4.ABD解析：连接D,因为∠D6=号，设AB=2D=2PD=2a,由 余弦定理得BD2=AD+AB2-2AD·AB·%∠BAD.所以BD2=2+ A(0≤Ac1),则M(0,2A,1-A).=(0,2A,1-A),设平 4a2-4n2.1 =3a2,则D=3,则BD2+A0=AB2.即D1AD. 选择性必修第二册，SJ学蜀14 又PD⊥底面ABCD,AD.BDC底面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥BD,: 知A,B,=1,由于A,A上平面ABC,AB,ACC平面ABC.所以 如图，以点D为原点，DA,DB,DP所在直线分别为x轴，y轴，：轴 A1ALAB.AALAC,由于AB⊥AC,由此以A为原点建立如图所示 建立空间直角坐标系， 的空间直角坐标系， 平面CCA的一个法向量为m=(1,0,0),M(1,1.0),C,(0.1,2)。 p=(1,1,0),AC=(0,1,2). 设平面MAC,的法向量为=(x,,),则 …=+y=0,故可 m·AG=y+2=0. 设n=(2,-2,1),设二面角M-4C,-C的平面角为0，由图可知8为 则D(0,0,0),A(a.0.0).B(0,5a.0),C(-a,3a.0),P(0,0.a, 用·n 2 对于A,易得di=(a,0,-),B配=(0，-√3a,0),则D·Bi=0+0+ 锐角，所以es0= ImlInl 了放选以 0=0,所以PA1BD,故A正确：对于B,Pi=(0,3a,-a),因为 PD⊥底面ABCD,所以D币=(0,0，a)是平面ABCD的一个法向量， 所以s(成币：成，市。-2 P本2a·。2,则PB与平商4ACD 所成角的正弦值为)，即PB与平面ACD所成角为石，故B正 确：对于C店=(-a,3a,0),P元=(-a.厚a,-a),则s《店. 7.B解析：如图，以点0为坐标原点，以0A,OB所在直线分别为 内爱震会之受到操指线行优有 x轴y轴，以过点0且平行于CF的直线为z轴建立空间直角 坐标系. 的余弦值为25，故C错误：对于D,设平面PAB的法向量为n P·n=0, t11=0, 1=· (,),则 令 a店.n=0-,+3=0(x,=3y1, 为=1，则n=(3,1,5),设平面PBC的法向量为m=(). (P币·m=0,3a-a=0, P元·m=0 =31…令为=1 （-2t/3四2-a52=0(=0. 设AE=a,则B(0.30),D(0.-3.0).F(-1.0,3),E(1.0.a). 则m=(0.1.3),所以c0s(n,m〉= n·m0+1+32 11m17x2 7,令二面 40亦=(-1,0,3)，D成=(0.25,0)，=(-1,3，-a).设平面 角小-fPW-C所成角为(0≤0≤m),则1s1=2 ,则平面PB与 B5D的法向量为n=(x,y,),则} …丽=0即25=0. 则 .EB=0.-x+/3y-0:=0. 平面PC的夹角的余被值为2所以血0=V个而= 7 =0.令=1，得=an=(-a,0,1)s(n,0=· InlIOF 故D正确.故选ABD a+3 5.C解析：如图，以A为原点，以4，A心，的方向分别为x轴x轴、 直线OF与平面BED所成角的大小为45°， /a+1×√I0 :轴的正方向建立空间直角坐标系 la+31 后+1xo2 解得a=2或a=子合去)5=2 8.30° 解析：设直线1与平面a所成的角为8，则由题意得si加9= les(a,n〉|= a·n 2 lalinl V22+(-3)24(3) 为 C) 0≤8≤90°，所以8=30°.所以直线1与平面a所成的角为30°，故 B 答案为30 则A(0,0.0),B(2,0.0).C(0,2.0),P(0,0,2),D(0,1,1),E(1, 解析：设平面a与平面B的夹角为0，根据题意可得cos8= 1.0),AE=(1,1,0).B0=(-2,1,1).设异面直线AE与BD所成角 96 6 的大小为0，则cos 应.5赦选C 1m·m112-1-416 IAEIIBDI 6 1os(m,n)1= ,所以平面a与平面B夹角 Imllnl9x6 6 方法总结 的余弦值为石故答案为6 6 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系： (2)用坐标表示两异面直线的方向向量： 10.5 解析：以点D为原点，AD,DC,DD,所在直线分别为x轴」 (3)利用句量的夹角公式求出向量夫角的余弦值： y轴：轴建立空间直角坐标系，则A(2.0,2).F(1,0,0),D1(0. (④)注意两异面直线所我角的范国是(0，】，放两异面直线所武 0.2),E(0,2,1).A1F=(-1.0,-2).D1正=(0,2，-1)，设直线DE 和A,F所成角为日，期直线D,E和A,F所成角的余弦值等 角的梁弦值等于两方向向量夹角的余弦值的绝对能 AF.D 2 于cs8= 6.B解析：由于AB=AC=AM,=2,A,C,=1,根据台体的性质可 IA FIID EI 5 参考答案学霸15 11. 3 解析： 易错提醒 两异医直线所底角的范国是(0，号]焉向量纷夫角。的范国无 [0,π]，当异面直线的方向向量的夹角为悦角成直角时，就是该异 面直线的夹角：当舞面直线的方向向量的夹角为纯角时，其扑角才 是异面直线的夹角： 13.B解析：由于平面PAC⊥平面ABC且交线为AC,PAC平面PAC, PA⊥AC.所以PA⊥平面ABC由于BCC平面ABC,所以PA⊥BC 如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，取B,C,的中点M,连接 由于BC⊥AB,AB∩PA=A.AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面 NA,NM,则NA⊥BG,NW∥BB,,则NH⊥平面ABG,不妨设AB=2 PAB由此以点B为原点建立如图所示空间直角坐标系， 以点N为坐标原点，以NA.NB,NM所在直线分别为x轴、y轴 由于PA=BC=1,PB=AC=2,所以AB=√AC-BC=√2-下= :轴，建立如图所示的空间直角坐标系N-,于是N(0,0.0), A1(3,0.2).B(0,1,2).则AB=(-5.1.0).A=(-3,0. 3,C(0,1,0),E 停0.0）450.0，P50..所以 -2),=1产-1=A1B-,=A(-3.1,0)-(-3,0.-2)= (3-3A.A.2).取平面ABC的一个法向量为n=(0.0.1).设直 (5,0,1).ci= (停1.0d=5-4w 线PN与平面AB所成的角为，血0：可 IPal n…i 设平面PEC的法向量为n=(x,y,:).则 2y0.故 3 六当A= 时，(in0)m= n.CP=/3x-yt:=0. √(5-3A)+A2+4√42-6A+7 可取n=(2.3,-√3)，设直线PB与平面PEC所成角为0. 此时角0最大放答案为 330 19 则sin0= n·亦 1nl·B2×1020 故选B 方法总结 利用空间向量求线画角的解随步骤： (建桥系 根锅图形与已如急件，构建适当的 空问虎角坐标系 设立线AB与平面新成的角为6， 求治向堂) 求平两但的法向堂n号点线的方向 易错提醒 ↓ 勺量AB 线面角B的正弦值等于直线的方向向量a与平画的法向量n所成 角的余城值的绝对值，廊sin9=Icoe〈a,n)1,不要误记为cos6 因公式 cus(AB.n》-巫，n LABIInl lcos(a.n)1. 0 利为sinH=lcos (AB,n)发互战和 14.C解析：设p=a,P=b,则A店=b-a且la1=5,b1=8,A1=7, 娟站论 平面所成再的荔到是心，引中可理 由iAi12=1b-al2=b2+a2-2a·b.解得a·b=20,可得cs(a.b)= 出直绕和正面所成的月 0·b201 a11b5x82,且0P≤(a,b)≤180，所以∠APB=(a,b)=6m, 第2关（练准痛率） 所以二面角--B的大小为120°.故选C. 12.C解析：取AB的中点O,连接OC,OD,如图，以点0为原点，以 15.ABD解析：在菱形ABCD中，E为边AB的中点.所以AB⊥DE.因 D,OB,C所在直线分别为x轴，y轴、z轴，建立空间直角坐标 为CD∥BE,所以ED⊥DC.因为A'D⊥DC.A'DDE=D.所以 系，不妨设AB=2,则B(0,1,0),D(1,0.0),C(0.0.3).A(0.-1 CD⊥平面A'DE.因为CD∥BE.所以BE⊥平面A'DE.因为BEC平 0.又5F分别为号线c4C的中点，所以E(0,宁受） 面A'BE所以平面A'DE⊥平面A'BE,故A正确： 因为CD∥BE,CDC平面A'BE,BEC平而A'BE,所以CD∥平 r）(o)成-（13) 面A'BE,丈平面A'BE与平面A'CD的交线为I,所以CD∥1，故 B正确： 设异面直线BF和DE所成角的大小为8，则s=ls(成，D成1= 由A知，BE⊥平面A'DE,则BE⊥A'E又菱 形ABCD的边长为2.∠BAD=60,E为边AB的中 点，所以DE⊥A'E,又E∩DE=E,所以A'E⊥平面 BD.以点E为原点.以EB.D.EA所在直线分别B 为x轴y轴z轴，建立如图所示空间直角坐标系 则B(1.0,0),A(0.0,1.C(2,30).D(0.5.0).所以BC=(1, 5,0).E=(0.0.1).i=(0.3.-1).店=(1.0.-1).由上可 知，CD⊥平面A'DE,所以平面A'DE的一个法向量为Ci=(-2,0, R D 0),设BC与平面ADE所成角为B,则n0=1cs(武，Ci1= 选择性必修第二册·S学蜀16 1成. 1-21 的空间直角坐标系，不妨设AB=2.因为 了x2之，所以有。-m0时 ∠ABC=30°，所以AC=I,BC=3,A(0. 0,1),C(0,0.0),设点B(m,,0) 3 ,故C不正确： 则m2+n2=3,A店=(m,,-1),直线a的 一个方向向量为=(1,0.0)，直线b的 显然平面'BE的一个法向量为n=面=(0,3,0)，设平面4'D 一个方向向量为v=(0,1,0),由已知可 B·m=0, (x-=0, 的一个法向量为m=(x,y,z),则有 即 所 .m=0.气3y-=0. 得1s(w1=店l.lml。1 122· 以令m=(3,1,3).所以cs(m.n〉= 1m1nl√/3+1+3xW5 可得m兰主1，放a=主2，所以1《，1=会因 此，AB与b成的角为45.故答案为45° 7,所以选项D正确故选ABD 19.解：(1)取A,B,的中点D,连接MD,MC,由正三棱柱性质可 知AM1⊥平面ABC,又AM,∥D,所以MD⊥平面ABC,可得 16.A解析： B,C,MD两两乖直.以点M为原点，MB,C.D所在直线分 别为x轴，y轴、：轴.建立如图所示的空间直角坐标系M-:, 设平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为8，如1图所 示，以点D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴、y轴 :轴建立空间直角坐标系，设AD=1,AE=m(0≤m≤1)，C,F=n (0≤m≤1).则D(0.0.0).A(1.0,0),B(1,1,0),C(0,1.0), 则w000N号号3.605,3.0-1.02所以 D(0.0,1),E(1,0,m),F(n,1,1),B证=(0，-1，m),B㎡=(n-1, m=（3）G=.因为m(.0G= 0,,设平面B的-个法向量为n=,则a=0, (n·B脉=0， M.0C422 所以异面直线MN与OC,所成角 {(a-x=0.眼x-1,则y=m(a-)=a-1,故a=（-1, (-y+z=0. 1M110C√0x55 m(n-1),n-1),而底面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 的余发值为号 1n-11 搏eosB= ,结合选项，当n■1时， (2)因为MC⊥平面A4,B,B,所以平面AM,B,B的一个法向量为 √1+m(n-1)+(n-1) 3 c0%0=0,当n≠1时，c0s0= ,显然 ”=0.10则e,im”0x0”设直 V(1-2*m2+1 线N与平面AH,B,B所成角为8，则n6=1es(.n)1= 当=0，m=0时取放m0e,号]故迹人 0,即直线N与平面M,BB所成角的正弦值为可 20 20 17.13g √26 20.(1)证明：：底面ABCD是菱形.，AD∥BC,AD=DC 13 解析：过点A分别作CD,EF的高，垂足分别 又PD=AD,,PD=DC.又，F是PC的中点.，DF⊥PC:AD⊥ 为N,M.如图所示： 平面PCD,AD∥BC,∴.BC⊥平面PCD.又DFC平面PCD DF⊥BG.又PC,BCC平面PBC.P℃∩BC=G,,DF⊥平向 PBC.又.PBC平面PBC,.,DF⊥PB. (2)解：AD⊥平面PCD,PD,DCC平面PCD.AD⊥PD.AD DCPC=PA,AD=DC,PD=PD,.△PDA2△PDC,.PD⊥DC 平面ABCD⊥平面ABEF,AB∥CD∥EF,由AN⊥CD得AN⊥AB, 如图.以点D为原点.DA,DC.DP所在直线分别为x轴、y轴，：轴 又平面ABCD∩平面ABEF=AB,ANC平面ABCD,故AN⊥平 建立空间直角坐标系.不妨设AD=2.则D(0.0.0).E(1.0.1). 面ABEF,又AMC平面ABEF,放可得AN⊥AM.,AN⊥AB, 1,2.0),平面ABCD的一个法向量n=(0.0.1),设平面DE1 AN⊥AM,又AM⊥AB,故AN,AB,AM两两垂直，如图，以点A为坐 标原点，建立空间直角坐标系，则由题意可知B(6,0,0),D(-2 的一个法向量为m=(xy,),则 正·m=0·即中=0，取y D·m=0.x+2y=0, 0,3).F(-1,7,0).4(0,0,0).E(7,7,0).=(-7.7,0)d币 (-2.0,3),D2=(9.7.-3),1Di1=81+49+9=√139. 1周a=2an-品号质平面 1(.酥1币，时.4一。V25 耐V3x7方3，即异面直线n, DEM与平面ABCD夹角的余弦值为2 3 即所说角的余赏货是酒放答案为，两， 18.45°解析：因为AC⊥a,AC⊥b,a⊥b,且在直角三角形ABC中， AC⊥C,所以以点C为坐标原点，直线a,b的方向向量的方向分 别为x轴y轴的正方向，C的方向为：轴的正方向建立如图所示 参考答案学霸17 方法总结 利用空问向量求平而与平面夹角的解题步骤： 第3课时空间距离的计算 第1关（练速度） (建坐标承 华苦凿非片已知条件，灼这过当的 堂可直角坐标系 1.C解析：由题得P=(1,2,-4),所以P(-2.1.4)到平面α的距离 认 注0求饼杯美点的些标，承分剂来 (衣法向量)一 出两平西的汝向兰m,n,设两平面 为a,号做选c √4+4+1 的卖前为日 2.A 解析：店=(0,1.0)，AC=(-1,1,-1),故42在A元上的投影向量 利湖求诗的量夫角余信传的公式 的模为丽.应_101.0)：（-1-l,故点层到直 用公式 cas0小ko{mn米调调本免身的 IACI /1+1+1 余滨花 16 线4G的距离为√2-=1-写=号故选入 第3关（练思维宽度】 3.B解析：，两平行平面a,B分别经过坐标原点0和点A(2,1, 21.6 5 解析：因为平面x的方程为3x+4y-5:=0,所以可得平面a 1),=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0.1),∴两平而 的法向量可以为程=(3.4.-5).又直线AB的方向向量为m=(1. 同的距资为，上一29-号故达 Inl 2 1,1).所以直线AB与平面：所成角的正弦值为1s〈m,n)1= 4.D解析：AE∥FC1,FC,C平面AB,E.AEC平面AB,E,,FC1川 m·nl2w6 平面AB,E,因此直线FC,到平面AB,E的距离等于点G,到平 Imllnl 52x3 15 故答案为 5 面AB,E的距离，如图，以点D为坐标原点，DA所在的直线为x轴。 DC所在的直线为y轴，DD,所在的直线为：轴，建立空间直角坐 22.(1)证明：因为AB=AC=2,BC=22,所以AB2+AC2=BC,所以 标系 AB⊥AC,如图所示.以点A为原点建立空闻直角坐标系， 则A(0,0,2),B,(2,0,2),M(0,2,1),N(1,1,0),可得A,P 则a1.0,0,B1,1,,G(01,1),E(00,)F(1,1。 AA,B=(2A.0,0),A币=A+1,P=(0,0,2)+(2A,0,0)=(2A,0, 2).即P(2A,0,2).所以P示=(1-2A.1,-2),又因为A7=(0,2 ）(1.0,）正=（1.0）=01n 1).可得A7.P=0,所以无论A取何值AM⊥PN G6=(1,0,0),设平面AB,E的法向量为n=(x,y,:),则 (2)解：由(1)可知.=(0.2,1)，A不=(11.0).设平面AMN的 =-x+20 令：=2，则m=(1,-2,2) m·A7=2y+:=0. n·AB=y+:=0. 一个法向量为m=(,y,).则 取y=1,则x= m·=r+y=0, -1,2=-2.可得m=(-1,1,-2),可得in0=1s(P,m)1= 设点G到平面4,5的距离为d,则4=n,C. 3,故直线 ml 2(A+2) ,令1=A+2,1e[2,3],则sin8= G,到平面AB,E的距离为兮放法D 1P11m6√(1-2A)2+5 5.D解析：由题意知，AC=AB=2,BB,=√2. 1 1 1 -,所以当1=2，即A=0时，8取 取AC的中点0，则B0⊥AC,B0=3,建立 3V22-10+1531510 2 如图所示的空间直角坐标系0-：，则 A(0,-1,0),B,(5.0.2).C(0.1.0).所 得最小值.此时sin= 2 以AB=(3.1,2).C=(0.-2,0).所以 (3)解：存在，易知平面ABC的一个法向量为=(0,0,1)， C在AB上的投影的长度为 ICA .AB,I 因为W=(1,-1,-1),可=(1-2A,1,-2),设n=(a,b,c)是平面 B PN的一个法向量，则·可=a-b-e=0, 2W6 令a=3,可 (n·PV=(1-2A)a+b-2e=0. 6 一3，所以点C到直线AB,的距离为d= () 得c=2-2λ.b=1+2A,可得n=(3,1+2A,2-2λ).则1cm(u,n)1= √3 la·nl 12-2M 1a1n19+(1+2A)+(2-2A)T6 ,化简得8M2-2A+5=0, 3放选D 6.B解析：如图.以点A为原点建立空间直角坐标系，则A(0.0,0) 解得A=或A子因为Ae01,可得A= 5 ,所以存在点P c1.0.00..0,）d-(51.0,=0, 使平面PWN与平面ABC所成二面角的正弦值为0。 6点P 0,1),由点N在平面PAC内，则可设=xA花+yA币=(3x,), 为A,B,上靠近A,的四等分点 所以(5)，故武：(5子子）因为NE1平面 选择性必修第二册·S学蜀18