第9章 专题探究1-3-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

(2)当9=60°，1"，1=10km/h时，设到达北岸B点所用时间为： 则cN2+C02=1C12+1C12=x2+y2+(x-a)2+(y-b)2=2x2+2y2 th,作出向量加法示意图如图②所示， 2r-2+a2+b2, AB2=1m12=r2(1+2)2=2(102+42+2×10x4×co860)=1562, 1 GM2+Gp2=1G12+1c12=x2+(y-b)2+(x-a)2+y2=2x2+2y2 则AB=2√39：，在t△A4'C中，1,1cos30°=1，从而t=- h, 2ax-2by+a2+b2 5w3 故Gw2+GP2=GN2+C02 因此AB=x2V39.2E (2)设C(,y),由(1)得0P2+0C2=0A2+0B2,得1+x2+y2=4+4, 55 2写，故游铅的实际航程为压km 5 则x2+y2=7,即C的轨迹为以0为圆心，万为半径的圆 20,证明：因为M是8C的中点，所以矿：(+花.又因为成。 专题探究01平面向量的综合应用 -花，所以.成：子(+衣)·(-)=子（硒：料 1,A解析：由题意知，点E为AB边上的点且3AE=2EB,点F在AC 边上，且CF=3FA, 花.亦-，店-花，=之0+花亦，店-0) 因为B,M,F三点共线，所以存在实数m使得丽=m店+(1- 花.市-，应)=m(0+Lc) m花+(1-m)破 m)=5 又因为C,M,E三点共线，所以存在实数n使得A=nA店+(1- A·A1os(90°+∠BAC)]=0,所以MM⊥E,即AM⊥EF n)AC=n AE+4(1-n)AF 第3关（练思维宽度）】 5 1 2m， 解得m= 1 “名即名成号 5 SABD= 2 BD·h 可得 21.2解折：设△ABC在BC边上的商为A,小S20 3, (1-m=4(1-n), -CD.h 因为减=A花市所以A名从=子散法入 DMD是∠BMC的平分线，D在线段BC上，如图①，过D作 B 2.ABD解析：对于A,由AD与BC交于点M,得A,M,D共线，面 市≠0，令成=市，则O成-i=(Oi-0i),即有0i=(1-t)O+ DMLAB于点M,作DNLAG于点N,则有DM=DN,SA :0市，而可=4成0币=)0殖，于是0成=41-4)0成+)：0i,由 2AB·0w BD AB 2 B,M,C共线，所以存在实数x使得O=xO+(1-x)O成，得4(1- 二=8又AB=4,AC=6,C0FAC3市=A店+目 24c·DN +宁=1，解得=号因此0：成A正确： 励亦子成-号花-蓟花 对于B,由成：耐+二成，0成=A,亦=成，得成 如图②，过点O作垂线分别交AB,AC于E,F,由外心性质得E,F 正亦.面E,MP共线，所以存在实数y使得成=y成， u 分别为极，4C的中点动.动=动.（应+号） 成，于是六名1，片是7，B正商： A 动市花成动)子而动花 对于c,依题意A0则A号（仕2）Am)号(4 成动硒号亦花号市花=42， 55 散答案为12 片兴)，当组仅当货-兰即=A时取等号，周 “2,因此A不能数 7,C错误； 对于D 成.O成4.0成 OA OB OA.OB 业，显然7=1,3 13 u≥ ①D 号当且仅当仙=3认=时取等号，因此 i.0 的最小值为 .0i 22.证明：(1)方法一：如图①，连接对角线MP,NQ交于点0，连接 0G,则cm-0-0元，c=0-0成c=0币-0tc=0d-0成. 希D正晚放法Am GMP+cP2=1Gi2+1G12=(0i-0)2+(O币-02=10Mi2+ 3.C解析：(A-2A心)上A成(A店-2A花)·A店=0，即A市，成- 012+20t2,GW2+G02=c12+1cd12=(o-02+ 2A花.A=0.,(A元-2A)1A元，÷(A元-2A)·A元=0，即A元· (0成-02=1012+1012+210成2 A花-2花，A花=0店.A店=A花，A花=2A市·A花即1=A花， 因为在矩形MNPQ中，1Oi1=1O1=1O币1=1Od1,所以GMP+ A店.A花1 .cos A= GP2=GN+GO d2心A=60,△A4C为等边三角形故 选C. 4.c解析：由0i.0成+0.0市=0亦+0市.0成0.0-0+ 0.0i-0i.0元=0→0i.(0元-0i)-0i.(0t-0)=0→ (O-O)·(O元-O)=0,即.A花=0，所以1A花，作图如图： 由上可知△ABC的外接圆圆心O是BC的 中点 方法二：如图②，以N点为原点建立平面直角坐标系】 又因为O成1=A应1，所以就1=2A应1，即 记N(0,0),P(a,0),Q(a,b),M(0,b),设G(x,y）,则=(-x. 6-y),c=(-x,y）,c=(a-x,y）,C=(a-x,6y）, LACB=行，则LAC=行，所以向量在向 参考答案学霸013 量成上的投影向量为1店1一号， B 3 mB=mB=分B行△C为等膜非等边 3×1 三角形故选D, 成1C,故选C 5.B解析：因为丽=店+A弦元=店+A花，所以a庄+b店+e元=a肩+ 2A14 b(i+A)+c(i+Ad)=(a+b+c)i+bAi+eAt=0,所以(a+b+e)· 5.B解析：设A与A的夹角为日，则市·A店=111A1cos0= 2引A1cos日，由平面向量数量积的几何意义，可知11cos0表示 =-（6·应+c·花，所以-《6·e·商. 6 a+b+c a+b+c 在A店方向上的投影.由题图可知，当点P在⑦中点处时， (A店 A1有最小值，此时A1=√2+1下=2，A市.A店=A1, atbtc a+bte e 1s0=2×2Xeo3开=-2：当点P在配中点处时，市1o%0 be 4 5=a+b+e成a ,所以i在LBMC的平分线上，故 有最大值，此时A=√32+下=√0，币.凉=1cs= 点I在∠BAC的平分线上，同理可得，点I在∠BCA的平分线上，故 V10x2x-3 =6,所以A币.Ae[-2,6].故选B 点I为△ABC的内心，故选B /10 6.C解析：因为A-A衣=（应+A心）·（成-A花）=(A店+At)·C= 解析：在四边形ABCD中，A市=A,.AD∥BC 2C市.，所以C.(店+A元-2=C.(P+P元)=0.设BC的 中点为D,则Pi+P元=2Pi,则c市.2P=0,即C.P币=0，所以 ∠B=60°.∠DMB=120°.又AB=3,BC=6,A市.=6A· 3 C市⊥P市，所以点P在线段BC的中垂线上，故点P的轨迹过△ABC 3·c0s120°=-号，A= 的外心.故选C 如图，以B为原点建立平面直角坐标 系，设DN 7.D解析：市.耐=市.(+)=动.(+子武)-动. 8c元，te[0,11,则c(6. 破子市武=动.+子动.（成-）=动.+子动 o,D(）(,0，所以 花子动店=号市.硒号动.花=x+号 成（子）( 5 子d=名4宁×7=3放选D 3）所以成成（仔）所以成成(s 8.D解桥：12+B成2=成2+C2→12+(B+)2 112+(c+H)2,得.t=C.i→成.函=0，即H成1 1 1 :i12+武12=成i2+A12→1i12+(Bi+H成)2=心12+ 时，成：爪敏得最小值分故答案为 (i+)2,得成.戒=市，市一成，花=0，即威1花： 621 H2+1C12=Hd2+a12→Hi12+(Ci+H)2=1HC12+(Ai 易错提醒 丽)2，C市.瓜=i.成=.C=0,即瓜1C,所以点H为 转化为函数问题后，要先写出函数的定义城，再讨论取值范圆，否则 △ABC的垂心，故选D. 容易出错。 9.C解析：因为H是△ABC的垂心，所以m,(市-心)=0，即 专题探究02用向量法研究三角形的性质 成.=成.成同理可得，成·（成-心）=0，即成·市 市.成，所以.i=.成=成.戒设.成=.成= 1.C解析：如图，取线段BC的中点E,则A+A花=2正.动点P满足 丽.戒=，因为3+4i+5成=0，所以3成·成+4市· O=Oi+A(店+A花)，A>0,则O-0i= 成+5成·丽=0，所以1成1=一2x,x<0,同理可得1瓜1= 2A正，则市=2AA正，所以A市∥正又A 成.丽 为两向量的公共起点，所以A,P,E三点 /-3x,所以cos∠AHB= .成-2x×-3家 、 共线，所以直线AP一定通过△ABC的重 选C 心.故选C. 10.A解析：0是△ABC的垂心，延长C0,B0,AO 2.A解析：因为AD为BC边上的中线，所以2币=A+A花，所以 分别交边AB,AC,BC于点P,M,N,如图，则 4Ad=(店+A心)2=A2+A心12+21A·A花1csA,即12=4+ CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC,∠BOP=∠BAC. Ad12+21Adl,Ad2+2aC-8=0,所以iAd=2.故选A 2OC·B即 BP 3.B解析：设BC的中点为D,~点G是△ABC的重心，A花= LAOP=LABC,所以SAc. AP 子动号x(d=号+内，再吟1=，衣=6，则 2 OC·AP OPtan∠BOP tan∠BAC 店.花=bcom12o=-3c=6,花=号（前2+2.4花4 nn6A0P乙C同e-m∠A SAAO8 tan ZACB' 所以tan∠BAC: tan LABC tan LACB=SAmc SAAOC SAA08- )=号(24-6)≥}(2-6)=子花1当且仅 可+2丽+3成0，由图可知秘：-宁 当b=e=6时取等号，故选B a4m-Saa.5A40因为O成-NC0成+g0元，所以0成= SAANC-SAONC SAAOC BC BC 4.D解析：在△ABC中， .B就=0，，∠A的平分 SA0AC08+ a0w_0t,所以N.ao0-SAoc SAOAC+SAOA AOAC+SAOAR 0MS△40BSa40c B威 线AD与BC垂直，∴.△ABC为等腰三角形.又 B =1×1× S△0wm+S AONG 威i Sa0c,所以0成.-、s0c0成，即 S△AoB+S△AoG SAAOC+SAA08 S△4oc+Sa4ow 必修第二册·SJ学霸014 SAc一Oi+S60uc+S△a SAONC A-5NG5 AOM S640c+S△40B sA一成，所以6B解折：根据题意b:e=b1·e1· at e SAc·d+SAoc·Oi+Sa4Oe·O=0,即SABc:SAA0 CSAA0B= s60=分bl,b-e1≥1be1,两边 r号+2 1:2:3,所以tn∠BAC:mn∠ABC:an∠ACB=1:2:3.故 平方得1b12+21e12-2b,e≥1b12+ 选A le12-2b·e,整理得2-1bt-1+1b1≥ 0对任意实数t恒成立，则4=1b12 专题探究03平面向量中的 4(-1+1b1)≤0，得(1b1-2)2≤0，则1b1=2由于1a1=2,如图 取值范围与最值问题 。1 la+el= 1.C解析：E在线段D上，花=AAi+(1-A)A店，Ae[0,1]. D为线段1C的-个三等分点，1h01=21DC1,市=号花. (4*2）-(a-b)川-12b1v 1 一破=子花4(1-A)=花6破由平面向量基本定理得，。 V8+4b0=25,则1a+e1+2a-b的最小值为25.当且仅 号61A4=号41-A0=号-2+1号( 当-2e,b,2终点在同一直线上时取等号.故选B。 吕）广合当A吕时4心取得最个值音益选C (3) 解析：已知点D在边BC上，且D元=2励A花-A市 2（0,子）解桥：依题意市：号应+子花且市 2心-，得市=子硒+号花根指1：动1：1= ,,花。脑·店+_创 .A花，所以 3::1设1=3,1=，1=4(4>0)，由=号+ LACI+IABI IACI+LABI A花1+A面 动了d高子.所似-2流设。 IACI IABI 号花得亦=号+.花衣…号×9+号× 9,即得=3”+4 3r2·eos LBAC+ 300LBAC.0<LBAC, 21Ai=2x, （付号花) 88 F9+9 cosA,由于cos Ae -11号kc子做著案为（停子） M花12 IACI2 8.B解析：1e1+e22=e+2e1·2+2e号=2+2cos0+1=(t+ 的取值范围是 eae0)2+sin20≥im2因为cte,l≥2teR),所以im0≥4 (,÷) 又0a0,1,所以m0≥宁0e[行]故选B 3.C解析：如图，建立平面直角坐标系，因为AD∥ 9.D解析：O1=2,101=1,向量O与0的夹角为0， BC,AB⊥BC,AB=1,AD=3,BC=4,所以B(1 ,可令0(0,0)，A(2,0).B(c0s8.in8). 0),C(1,4).设P(0,6)(0≤b≤3).所以B励= 则0i=(2.0),0品=(cs0,n0). (-1,b),C=(-1,6-4),得.C=1+62-4b 0=t0=(24,0),00=(1-t)0品=(1-)cs0,(1-4)in8), (b-2)2-3.因为0≤6≤3，所以B.C∈【-3， ÷P吨=0d-0币=(1-t)cos0-24,(1-)sin), 1.故选C. 1P1=√/(1-4)cos0-24]+[(1-4)sin0J 4.D解析：由题知，AC⊥BD,且AB=BC,故点E在四边形ABCD上 √(1-4)2-4(1-4)0s+4r2=√/(5+4eos)r-(2+46s8)+1. 运动时，只需考虑点E在边BC,CD上的运动情况即可. _1+2c0s 0 又AB=BC=2,AD=AC=CD=2W5.BD=12-3+√4-3=4， ,风取得最小值即2号 当t= 所以BC2+CD2=BD2,即BC⊥CD,则C市.Ci=0. ①当点E在边BC上运动时，设或=AC(0<A≤1)，则E成=(A- 04<年0 指 2 Scos 0<1 ,即cos0的取 1)C,所以E市，E=E,(E成+C)=AC市，(A-1)C成= 值范为（宁）故选D 4A(A-1)∈[-1,0]： ②当点E在边CD上运动时，设=kC(0<k≤1)，则E武=(k 第9章真题演练 1).C,所以E,E市=(E武+C),i=(k-1)C市，kC市= 1.D解析：因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b 12k(k-1)∈[-3,0] 0,即4+x2-4红=0，故x=2,故选D. 综上，店，E的取值范围为[-3,0]故选D 2.C解析：当a⊥b时，a·b=0,所以x·(x+1)+2x=0,解得x=0 或-3，即必要性不成立，故A错误：当a∥b时，2(g+1)=x2,解得 5【l-解折：流亦-(1-)0i4:(1-A x=1±3，即必要性不成立，故B错误：当x=0时，a=(1,0),b= (0,2),故a·b=0,所以a⊥b,即充分性成立，故C正确：当x=-1+ A),P=AB-A=(1-A)A=(A-1,1-A),A=AA店=(-A,A), 3时，不满足2(x+1)=x2,所以：∥b不成立，即充分性不立，故 0币.≥P.i(1-A,A)·(-11)≥(A,-A)·(A-1,1- D错误故选C. A022-4+1≤0，解得1-7≤A≤1 3.B解析：因为点D在边AB上，BD=2DA,所以=2D,即C 2 C市=2(C-Ci),所以C=3Ci-2C=3n-2m=-2m+3n,故选B. :点P是线段AB上的一个动点， 4.D解析：因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+Ab=(1+A,1-A),a+ 0≤A≤1，即演足条件的实数A的取值范周是[-受]】 b=(1μ，1-u),由(a+Ab)⊥(a+ub)可得(a+Ab)·(a+b)=0, 即(1+A)(1+μ)+(1-A)(14)=0,整理得4=-1.故选D. 参考答案学霸015专题探究01 平面向量的综合应用 题组。平面向量基本定理的应用 B.直角（非等腰）三角形 1.(2024·四川成都高一月考)如图，在△ABC C.等边三角形 中，点E为AB边上的点且3AE=2EB,点F D.等腰直角三角形 在AC边上，且CF=3FA,BF交CE于点M,且 4.(2024·安徽马鞍山高一期中)已知△ABC的 AM=AA正+μA正，则(A,)为 外接圆圆心为0，且0A·0元+0A.0B=0+ 0.O元，10元1=1AB1,则向量AB在向量B元上 的投影向量为 () B哈号) B.4 c层) n(停》 c.- D.-/3pd 4 5.(2023·河北石家庄高三月考)剪纸是中国古 2.(多选)(2024·江苏南京高一月考)如图所 老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸 示，在△01B中，0元=}0i,0币=i,AD与 的某条对称轴对折.如图，将一张纸片先左右 BC交于点M.过M点的直线I与OA,OB分 折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪， 别交于点E,F,设0E=A0A,OF=40B,则 展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边 ( 长为2，点P在四段圆弧上运动，则AP,A的 A0mi=oi+0丽 取值范围为 C.Aμ可能的取值为4+ 7 A.[-1,3] B.[-2,6] 02.0 C.[-3,9] D.[-3,6] D. 0A.0 的最小值为 49 6.在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3,BC=6, 题组三平面向量的数量积问题 且而=AC,而·店=乏，则实数A的值为 3.已知A,A元是非零向量，且满足(A店-2AC)1 ,若M是线段BC上的动点，N是线 AB,(AC-2AB)⊥AC,则△ABC的形状为 段DC上的动点，且满足秘-C则D成·丽 A,等腰（非等边、非直角）三角形 的最小值为 必修第二册·SJ学霸022 专题探究02用向量法研究三角形的性质 题组一三角形的中线与重心 题组目三角形的外心 1.(2024·山东潍坊高一月考)0是平面上一定 6.(2024·福建泉州高一期中)在△ABC中，若 点，A,B,C是该平面上不共线的3个点，一动 动点P满足A-A心=2C.A,则点P的轨 点P满足：0亦=0A+A(A店+AC),A>0,则直 迹一定经过△ABC的 () 线AP一定通过△ABC的 ( A.重心B.垂心C.外心 D.内心 A.外心B.内心C.重心 D.垂心 7.(2024·浙江绍兴高一期中)在△ABC中，已 知AB=2,AC=√7，若点0为△ABC的外心， 2.已知△ABC中，AB=2,A=行，BC边上的中 点M满足B=2M元，则Ad·Ai=() 线AD=√3，则AC= ( 3 .4 B.2 D.3 A.2 B.4 C.6 D.8 题组四三角形的高线与垂心 3.(2024·广东广州高一期中)在△ABC中， 8.(2024·河南许昌高一月考)若H为△ABC所 ∠A=120°，AB·AC=-3,点G是△ABC的重 在平面内一点，且1届12+1B元12=1店12+ 心，则IAG的最小值是 ( 1CA12=1HC12+1AB12,则点H是△ABC的 B. 0.3 ( 3 A.重心B.外心 C.内心D.垂心 题组已三角形的角平分线与内心 9.(2024·山东省实验中学高一期中)设H是 AB BA 4.在△ABC中 AC BC=0. △ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0,则 IABI IACI IBAI cos∠AHB的值为 () BC IBCI 3则△ABC的形状为 A.-30 10 B 5 C.、v6 D.、V⑦0 14 A.直角三角形 10.如图，已知0是△ABC的垂心，且OA+20B+ B.等边三角形 3OC=0,则tan∠BAC:tan LABC: C.三边均不相等的三角形 tan∠ACB等于 D.等腰非等边三角形 5.已知I为△ABC所在平面上的一点，且 AB=c,AC=b,BC=a,若aA+b尼+c1元=0，则 I是△ABC的 A.1:2:3 B.1:2:4 A.重心B.内心C.外心 D.垂心 C.2:3:4 D.2:3:6 第9章学霸023 专题探究03平面向量中的取值范围与最值问题 题组一系数问题 题组目向量模的问题 1.(2024·浙江杭州高一月考)在△ABC中，D 6.(2024·广东广州高一期末)已知平面向量a, 为线段AC的一个三等分点，IAD1=21DC1.连 b,e,且1el=1,lal=2.已知向量b与e所成的 接BD,在线段BD上任取一点E,连接AE,若 角为60°，且Ib-tel≥Ib-el对任意实数t恒成 A正=aAC+bAB,则a2+b2的最小值为( 立，则1a+e1+2a-b的最小值为 B c A.5+1B.25 C.5+5D.25 2已知点D为△ABC平面内一点，而=写店+ 7.如图，在△ABC中，点D在边BC上，且DC= 花，而：，1 则 2BD,若1AB1:IAD1:1AC1=3:k:1,则实 的 IACI+IABI CI 数k的取值范围是 取值范围是 题组日数量积问题 3.(2024·山西吕梁高一期末)在梯形ABCD 题组四夹角问题 中，AD∥BC,AB⊥BC,AB=1,AD=3,BC=4, 点P为边AD上一动点，则B丽·C乎的取值范 8.(2024·福建龙岩高一月考)已知e1,e2是单 围为 位向量，且e1,e2的夹角为0，若Ie1+e2I≥ A.[2-4,5-4] B.[-2,1] 2eR),则0的取值范围为 C.[-3,1] D.[1,5] 4.如图所示的四边形ABCD A.[. 中，△ACD是等边三角形，B 是AC边的中线延长线上一 c别 D,] 点，AB=2,AC=23,点E在 9.(2024·重庆九龙坡区高一期末)已知向量0A 四边形ABCD的边上运动，则E·ED的取值 与0的夹角为0,101=2,101=1,0币= 范围为 ( t0A,00=(1-t)0,1P01在，时取最小值， A.[-3,1] B.[-1,1] 当0<o<4时，cos0的取值范围为 ( C.[-1,0] D.[-3,0] 5.设0(0,0)，A(1,0),B(0,1),点P是线段AB A(30) 上的一个动点，A正=AA正，若0币.AB≥PA, PB,则实数入的取值范围是 c(匠) D.(24) 必修第二册·SJ学霸024