9.3.1 平面向量基本定理-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

26.246又Sc=2万，所以2g46=2, 4.BC解桥：由已知可得武=A元-A店=b-a,故D错误：因为P,Q,R 2a 2a 分别是△ABC的三边AB,BC,CM的四等分点，所以=币-B 解得a=6,所以AB=25,AC=2,故BC=VAB2+AC=4,A店. A花=0， 贰成子b)之0，放A错误：成-a成 设瓷0≤≤1期瓷-1既既 BC 动花成60)-+宁，故正确 g所以证花+1-，亦能花瓷 成-成市花市之，放c正稳放选C BC 4 ()(店则花(1商 5.C解斩F为B的中点，晾=成=-成= [(4(年]-(e女(+屁 成成2成成}成成成=成+成=破 (1(4)成.(1-（任j亦=162-2+ 市成+兮（成）+名成做选c 6.A解析：因为c与d同向共线，所以存在u(4>0)使得c=d,即 15=16(）+号当x=名时，应，市取得最小值，且为 Aa+b=u[a+(2A-1)b]=a+4(2A-1)b,又向量a,b不共线，所以 (入=μ， 斗放法B 1=4(2A-1) ,解得A=宁之（合去）或=1故选人 22.解：(1)设向量店+2A花与向量2A店+A花的夹角为0，÷日= 7.D解析：如图，过D作DMLAB,DN⊥BC,放i=G BM+B家，由于∠ABD=30°，AB=1,BC=3,不妨设 硒2动·(+的，令1应1=1花1=，六m0 A成+2A花·12A+A花面 BN=a,则BM=5a,故动=成+成=B威 IBAI 2a2+2a24 5a·5a5 酥， BC5a耐+2庇，结合励=A厨u成 3 (2)A1=A花1=2,1A1=1.设1O1=x,则101=1-x,面 0i+0t=20i,.oi·0i+0t.0i=0.(0i+0C)=20i (A4∈R)可得A=3a,=,故A-3知=0，故选D. -2ai0imm=-241-=2-2a=2(）广 8子宁b解折：因为市-2成，所以市-花=2(-动所以 当组仅当=之时，d,成+成.成的最小值是-子 号号花号+宁0，故答案为子+宁 （3)设∠Cp=a,则∠4p=号a,亦.花=2，本.=1， 方法总结 向量的定比分点公式：若A记=AC,则对于直晚AB外任一点O,都 =221花1ma=2,解得花=。同理，2应1 有da4应 1+A 一（侣小1怎得1点。心恋 9.号号解析：设6+名=a+nb(m,aeR),a=+2, 衣++2店.花+2花.市+2花.市。1 1 -+4+2+ cos a 4 sin-a b=-e1+e2,.e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+ 4=sintooasintcoa10sinco45 2 cos2a 4 sin2a cos2a 4 sin?a 4 n)e2e1e2不共线心 m-n=1,解得 a- 2m+i=1, 1 ÷e1te2=3 2品华之品 cos?a 4 sina' x=2时，花2 7 tan a=- 2 10. 1 解析：因为=A衣-市=x店-y市，由P戒∥成，可设P戒 9.3向量基本定理及坐标表示 第1课时平面向量基本定理 A成，即y=A(证-)=A(号+心）小-+ 第1关（练速度） A市所以2则三= 1D解折：因为与不共线所以02：解得{故 (y=-A, Uy=4. 选D. 1,子解析：方法一：由AB=D,DF=AFC得店=}市，亦： 1 2D解折：对于A,由于20-6=-宁（-40+2)，放24-4， 六成本从面有市亦动成，成-花-应。 -4e,+2e2共线，不可以作为基底： 对于B,2c1-e2,2c2不共线，可以作为基底： 号动-破因为所以d动（市 1 对于C,由于1-e2=2(201-2e:),所以1-2,201-2e,共线，故 不可以作为基底： 高r成所u成-花-高动r小 对于D,e1-2,e1e2不共线，可以作为基底，故选BD. A因为E,G,B三点共线，所以存在实数4使得B心=4正，即 3.A解析：由题意得，a=3e1+c2,b=e1+4e2,故a-b=3e1+e2-(e1+ 4e2)=2e1-3e2.故选A 高动[]园（兮市）兮μ成因为 必修第二册·SJ学霸006 「34 1 103 A= 市，A不共线，所以 解得 2 A=21+4e2,Ci=4e1+22,A.Ci=(2e,+4e2)·(4e1+ 3A 9 故答案为2 10(1*a)1=4, u210 2)-8+83+20=8+820x1X1x-26放选R 17.[0,1】解析：由题意，设=tAM(0≤t≤1)，如图 方法二：由AE=子D,F=AFc得市=3店，亦=☆成： 当t=0时，=0，所以A店+μA花=0，所以A=4=0,从面有A+ 成，从面有办亦3店☆应因为证：花，所以 4=0: 当0c≤1时，因为A=AA店+uA花(A,heR),所以tAi=AA店 花市君（证）名正n应图为，G :花，即：人+“花，因为M,B,C三点共线，故存在实数大 8三点共线所以加1解得A分枚答案为分 使得耐：成又威：-亦(（什1成兰花，成花 重难点拔 0为直线AB外一点，A,B,C三点共线O心=AOiμO(Aμ=1). 破故（什1函上花=制花蓟=-+花因为破，花 第2关（练准喷率） 入-1=-k 12.C解析：如图，延长AP与BC交于D点，根据重心的性质，D为 不共线，所以 解得1-)所以Au=e(0,1. u=ik, BC的中点，且AP=2Pm,于是由动=号(d)=号市，可得 综上，A+u的取值范围是[0,1]故答案为[0,1] 市（硒.故选c D (第17题) (第18题) 8.-622 3 解析：如图，由已知，=衣-矿子应-（动 (第12题) (第14题) 13.B解析：因为aB威+(b-2c)Bt+eA花=0，所以(a-c)B+(b-c)· 耐成市×}话-动 BC=0.因为，BC不共线，所以a-c=0,b-c=0,所以a=b=c,所以 4a-6.设∠DB=0,即a与b的夹角为0，成=威++： 1 △ABC为等边三角形.故选B. 14.AC解析：如图，设Ai=a,Ai=b,则1al=4,1b1=2,a·b=4× 动}应动-之a+b,若1成则， 2xms60°=4，对于A项花=市+成=市+成=市+2， 成-=0(a-b）小(7a*b）小g+2-s 故A项正确：对于B项，由A项可得，应=0，两边取平方，得 gai+子a=1b12=0 证p=(合w)-ab8=×164+4=2,则 又1a>01b0m0:66品8≥ 店=25放B项错误：对于C项，因为店之+6，励=a+b, 品2当且仪当-82即a=2a11时 2√661a3 所证.励=（合+·(a+b）-b+2 等号成立技答案为b,39 16宁44=-6，故C项正确：对于D项，市在让的投 19.解：()因为成-3市，所以励-威动-成 影向量为功产店：合应}应，故D项错视故选C A12 16 因为成=5成所以成励+成=动+成=励+}（武 15.A解析：如图，连接AE,因为C,D是以AB的长为直径的半圆上 的两个三等分点，所以AB∥CD,且AB=2CD.又E为线段CD的中 励=成励成（麻+成）威成 点，F为证的中点，所以亦：子（症+）=应+号访： (2)设亦=uA花，则成=威+μ（成-）=uB武+(1-u)威，由(1) 2 成+花+动硒花+ 知感：号耐武，因为成A成，所以子A威名A成， =5， 15 则 4 解得入=19 1u=5入 20.解：(1)在△ABD中，由市=点+励.又励=2D元，所以励= 子成所以+励=+子成=+子（花-=- (第15题) (第16题) 16.B解析：如图所示，建立以©1，e2为一组基底的基向量，其中 子号花硒花 1e11=1e21=1且e1,e2的夹角为60°， (2)因为D,E,F三点共线，所以存在实数k使得E=kE克因为 参考答案学霸007 市=+子花，且正=A破，市=私花，所以市=市- 5V2,故选B. 26 (号A庙号花，成-应花A则（行A)应 方法总结 号花-机花=-从破花又因为破.花不共线，所 向量a=(1,1)和b=(2,3)的夹角为8，则c0s日= +y1为 3=- 1 √+所√+y 以 12=1,依题意知A>0,>0,所以A+ 整理得 6.BC解析：由已知可得，a-b=(5,0),a+b=(-3,4). 对于A项，因为(a-b)·(a+b)=5×(-3)+0×4=-15≠0，故 1.21 1,2μ2A,4 5 A项错误；对于B项，因为1a-b1=5,1a+b1=√(-3)+4=5，所 2μ=(A+2μ)· (3就+)=3+3玩++3≥3+ 以1a-b1=la+b1,故B项正确；对于C项，因为b-a=(-5,0),(b 2√货·3，当且仅当货公即Au=1时取等号，所以 2442A a)·a=-5×1+0x2=-5,lal=√2+2=5，所以b-a在a上的投 133 影向量是-），a.日=之，：4，放C项正确：对于D项， A+2μ的最小值为3. lal lal 5 第3关（练思维宽度） a·(a+b)=1x(-3)+2x4=5,la+b1=5,所以a在a+b上的投影向 21.D解析：设A4m的中点为A,则风+0A,=20耐=0风+ 量a的·哈号-3=（专融 0A2m=0+0A2s(ie[0,2025]),所以0A+0A+0A+…+ D项错误故选BC. 0-2201013a6.放选n 7。B解析：建立如图所示的平面直角坐标系： 22解：1)成+成=成+d成-=0，则成==之(-花)， 则D(0,0),C(4,0),A(0,4),B(2,4),E(0,2),所以C=(-4,4), Ci=(-4,2),Di=(2,4) 花武，则市：花，所以成=市-正=-+花 因为C=ACi+uD(A,4∈R),所以(-4,4)=A(-4,2)+μ(2,4)， 6 =分店+名花=√6衣。冠 则{5A+24-4,解得 8 12A+4μ=4， 所以A地=了故选B 2 A= 5 6 (2)动=x花，则励=动-永=x+(少+写)）成，D在直 线F上，则励/成，可设市=A成，即x应+(y+写)花 花得(+分函（合y寸底 B 因为与花不共线，所以+分合y号=0，得-3-1，则 (第7题) (第9题) 8.5解析：因为向量a=(-2,1),b=(1,m),且a1b,所以a·b= C=(-3y1)A+yA花 -2+m=0,解得m=2,故b=(1,2),则2a+b=(-4,2)+(1,2)= 又因为直线CD经过△ABC的垂心，所以CD⊥AB,即C市.A店= (-3,4),所以12a+b1=√(-3)+4平=5，故答案为5. （←-1，店.花=0，即--90将得=则 9.-175 5 解析：以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 8 由题意知A(-2,1),B(0,0),C(1,3),所以店.成=(2，-1)· 第2课时向量坐标表示与运算 (1,3)=2-3=-1,oLABC=. 1成5x7而10，所以 第1关（练速度） 1.B解析：因为a=(1,1),b=(1,-2),所以a+b=(1,1)+(1,-2)= 血LC:V个F乙AC=7所以点C到直线B的距离为 (2.-1).故选B. 2.A解折：设C(x,y),因为A花=(-4，-3)，所以(x,y-1)=(-4, c血LaC=而2-75撤答案为-17 105 -3),所以x=-4,y-1=-3,所以x=-4,y=-2,所以C(-4,-2).所 10.(-,-1)解析：设P(x,y),A(2,3),B(5,4),C(7,10). 以B成=(-4-3，-2-2)=(-7，-4).故选A ÷A=(x-2,y-3),A=(3,1),A花=(5,7).A=A+AA元 3.B解析：由a=(2,0),得1a|=2,又1b1=1,所以a·b=1a|· (-2r3(3.a670=(657A=ih :co%60°=2x1×7=1,所以(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=4+ 、解得5+5从：点P在第三象限之{计A0:解得A<-1,故 4=12,所以1a+2b1=23,故选B. 1y=4+7A. 4,BCD解析：由平而向量基本定理，可知A中结论正确：a=(1, 答案为(-∞，-1) 0)≠(1,3)，1=1,0≠3，故B中结论错误；因为向量可以平移，所以 35 11.立解析：以0为原点，0成的方向为x轴 a=(x,y)与a的起点是不是原点无关，故C中结论错误：当a的终 点坐标是(x,y)时，a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的，故D 的正方向，建立如图所示的平面直角坐标 中结论罐误故选BCD, 系，期C(1,0),0元=(10)， 5.B解析：因为a=(-1,1),b=(-3,4),所以a-b=(2,-3),Ia1= 由an&=7知a为锐角，则inc= 压，ab1店，所以ma-》=信为a 5 。。=后则4（货沿） 7w2 2721 必修第二册·SJ学霸0089.3向量基本定理及坐标表示 第1课时 平面向量基本定理 第1关练速度 10mn为准，你的时间： 5.(2024·安徽铜陵高一期中)如图，四边形 1.设向量e1与e2不共线，若3xe,+(10-y)e2= ABCD为平行四边形，DE=2EC,F为线段BE (4y-7)e,+2xe2,则实数x,y的值分别为 的中点，若以AF,BE为基底表示向量BC,则 ( BC= A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 证 证 3 2.(多选)(2024·江苏无锡高一期中)已知e1, e,是平面内的一组基底，则下列也是平面内 6 D. 3 一组基底的是 ( A.2e1-e2,-4e,+2e2B.2e1-e2,2e2 C.e-e2,2e-2e2 D.e-e2,eite2 3.(2024·福建泉州高一期中)如图所示，a-b= ( (第5题) (第8题) 6.(2024·江苏盐城高一月考)已知向量a,b不 共线，且c=Aa+b,d=a+(2A-1)b,若c与d 同向共线，则实数入的值为 () A.1 A.2e-3e2 B.-2e,+3e2 C.3e,-2e2 D.-3e,+2e2 c1或 n-1或号 4.(多选)(2024·湖南常德高一月考)如图所 7.(2024·山东威海高一月考)在Rt△ABC中， 示，已知P,Q,R分别是△ABC的三边AB, ∠ABC=90°，AB=1,BC=3,D是△ABC内 BC,CA的四等分点，如果AB=a,AC=b,以下 向量表示正确的是 ( 点，∠ABD=30°，设BD=AB函+uBC(A,L∈ R),则 () A.入+3μ=0 B.H=3 A C.4=3 D.入-34=0 A.Qp=-31 8.(2024·江苏宿迁高一月考)如图，在△ABC b 2 B.OR=-3 0+b 中，已知D是BC上的点，且CD=2BD. C.P=-3 设AB=a,A元=b,则A= 4+ D.BC=a-b .（用a,b 表示) 必修第二册·SJ学霸010 9.设e,e2是平面内一组基底，且a=e1+2e2, C.A正.B丽=-6 b=-e,+e2,则向量e,+e2可以表示为以a,b 为基底的线性组合，即e,+e2= D.而在让的投影向量为店 10.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点， 15.(2024·江西宜春高一月考)如图，C,D是 A正=yAD,A0=xAB,其中x,y∈R,且均不 以AB的长为直径的半圆上的两个三等分 为0.若P0∥B正，则'= 点，E为线段CD的中点，F为BE的中点，设 AB=a,AC=b,则AF () 11.(2024·广东肇庆高一月考)如图，在平行四 边形ABCD中，点E在AD边上，点F在CD 边上，且AE=,ED,DF=AFC,AF与BE相交 于点G,若证-9G,则实数A A. 1 51 +2 B 4+2 51 5 C 8a+4b D.4a+4 16.图①是某晶体的阴阳离子单层排列的平面 第2关练准确率 B题为准，你做对 示意图.其阴离子排列如图②所示，图②中 12.(2024·浙江绍兴高一月考)已知点P是 圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A,B, △ABC的重心，则 ( C,D是其中四个圆的圆心，则AB·CD= A.正=B+AC B.护=}丽+d c正d正证d 13.(2024·四川成都七中高一月考)在△ABC ② 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 A.14 B.26 C.38 D.42 aBA+(b-2c)BC+cAC=0.则△ABC的形状是 17.(2024·福建泉州高一月考)在△ABC中，M ( 为BC边上任意一点，N为线段AM上任意 A,等腰三角形 B.等边三角形 一点，若AN=AAB+μAC(入，A∈R),则A+u C.等腰直角三角形D.钝角三角形 的取值范围是 14.(多选)(2024·江苏扬州高一期中)在平行 四边形ABCD中，AB=4,AD=2,∠BAD= 18.(2024·山东烟台高一月考)在梯形ABCD 60°，E是CD的中点，则 中，AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别为线段 A花=2+0 DC和AB的中点，若AB=a,A=b,用a,b表 示MN= 若MN⊥BC,则∠DAB余弦 B.1AE1=12 值的最小值为 第9章学霸011 19.(2024·陕西西安高一月考)如图，在直角梯 第3关练思维宽度 难度级别：☆★☆☆☆ 形ABCD中，BC=3AD,D元=5DE,AB⊥BC. 21.(2024·陕西成阳高一月考)如图所示，0为 BE与AC交于点F 线段AA2s外一点，若A0,A1,A2,A (1)用B和BC表示BD,BE: …,A,中任意相邻两点间的距离相等， (2)设B=AB正，求A的值 0A。=a,0A2s=b,则用a,b表示0Ao+0A1+ 01++0A2,其结果为 A:A 0 A.2025(a+b) B.2026(a+b) C.1012(a+b) D.1013(a+b) 22.(2024·辽宁沈阳高一月考)在△ABC中，点 E,F是△ABC所在平面内的两点，AB= 20.（2024·江西宜春高一月考)如图所示，在 △ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC 3,AG=2,∠B1C=智正+E=0,AC-3F元 过D点的直线EF与直线AB相交于E点， (1)以A店，AC为基底表示向量E示，并 与直线AC相交于F点(E,F两点不重合) 求1EF1: (1)用AB,AC表示AD: (2)D为直线EF上的一点，设CD=xA店+ (2)若A正=AA店，AF=μA元，求A+2μ的最 yAC(x,y是实数)，若直线CD经过 小值 △ABC的垂心，求x,y的值. 必修第二册·SJ学霸012