4.3.1 等比数列的概念-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 白题 基础过关 限时：50min 题组1等比数列概念的理解 7.在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成 1.已知下列各数列：①-1，-2，-4，-8；②1，-3， 等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正 3,-33:③a,a,a,a@11,1 a。其中-定 1 数之和为 是等比数列的是 A.132 B.11 A.①②3 B.①② c.102 D.10 C.①②④ D.①②③④ 2.给出下列说法：①等比数列中的某一项可以为 题组3等比数列的通项公式 0:②等比数列中公比的取值范围是(-∞， 8.(2024·山东淄博高二期末)设{a}是等比数 +∞)：③若一个常数列是等比数列，则这个常数 列，且a2+a3=2,a5ta6=-16,则公比q=（ 列的公比为1.其中说法正确的个数为( A.-2 B.2 A.0 B.1 C.2 D.3 C.-8 D.8 3.(多选)已知数列{a,}是等比数列，那么下列 9.(2024·江苏南通高二月考)在正项等比数列 数列一定是等比数列的是 ( {an}中，a4=1,a5a1=81,则a6= () A.la B.adt A.3 B.3 C.6 D.9 C.{a} D.a+at 10.已知各项均为正数的数列{a.}满足对于任意 题组2等比中项 4.(2024·福建莆田高二期中)已知3，x,27三个 的正整数m,n,都有amn=ana.,a6=8,则 数成等比数列，则x= aais () A.9 B.-9 do C.9或-9 D.0 A.82 B.162 5.(多选)设{a.}是等比数列，下列说法一定正 C.32 D.64 确的是 11.(多选)若数列{an}满足a4=9,且(an1-an- A.a1,a3,a5成等比数列 1)·(an+1-3an)=0(n∈N),则首项a1可 B.a2,a3,a6成等比数列 能是 () C.a2,a4,ag成等比数列 A.6 D.a,a6,a,成等比数列 B. 5 1 C.2 D. 6.（2024·广东中山高二月考)已知等差数列 12.(2024·山东青岛高二月考)已知等比数列 {an}的公差为2，若a1,a2,a4成等比数列，则 1 a1的值为 {an}满足：a1=27,ag ( 243,a4<0,则公比 A.1 B.3 C.5 D.2 选择性必修第二册·RUA黑白题16 题组4等比数列的函数特征 重难聚焦 13.已知数列a.}满足：a1>0,3a1-an=0,则数 题组6构造等比数列求通项公式 列{an}是 ( 20.已知数列{a,}满足aa1=ha,-l(neN,keR) A.递增数列 B.递减数列 若数列a。-1是等比数列，则k等于( C.摆动数列 D.不确定 A.1 B.-1 C.-2 D.2 14.在等比数列{an}中，首项为a1,公比为g,则 21.在数列{an}中，a1=1,已知 下列条件中，使{a。}一定为递减数列的条 a1=2an+1,且{an+1}为等比数 件是 列，则{an的通项公式为 A.Igl<1 A.an=2"-1 B.a=2" B.a1>0,9<1 C.an=2"+1 D.a =2m+1 C.a1>0,0<g<1或a1<0,9>1 2.若数列a,满足1 3 =0,则称 D.9>1 题组5等比数列的性质 a为追梦数已知数列{+}为追梦 15.(2024·安徽六安高二期中)已知等比数列 数列”，且b=2,则数列{bn}的通项公式为 {a,}的各项均为正数，公比g=2,且满足 b= a2a6=16,则a,= ( 题组7等比数列的实际应用 A.2 B.4 C.8 D.16 23.(2024·福建福州高二月考)“太极生两仪， 16(2024·安徽合肥一中高二月考)在等比数 两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易 列{an}中，a4和a12是方程x2+3x+1=0的两 经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳， 迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次 根，则as= ( 二分形成六十四卦.设经过n次二分形成 A.3 B.5 C.-1 D.±1 an卦，则a3+a4+a5+a6= ( 17.(2024·江西抚州高二月考)在等比数列 A.120B.122 C.124 D.128 {an}中，a3a4a5=3,a6a,ag=21,则aga1oa1的 24.(2024·山西大同高二月考)“巴赫 值为 十二平均律”是世界上通用的音乐 A.48 B.72 C.147 D.192 律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制 18.已知数列{an}为等比数列，an>0,且amam1 “十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份， 依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一 am+2=2m,若p+q=6,则a2·a,= 个单音的频率与它的前一个单音的频率的比 A.27 B.2 C.29 D.210 都等于2.而早在16世纪，明代朱载堉最早用 19.(2024·江西南昌高二月考)已知数列{an} 精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个 是公比不为1的等比数列，=，则 理论的发展做出了重要贡献若第一个单音的 a as 频率为∫，则第四个单音的频率为 () mn= (写出满足上述条件的一个 A.5f B.2f C.4f D.2f 值即可) 第四章黑白题17 黑题 应用提优 限时：45min 1.已知数列{an},则“a=an-1a+1(n≥2，neN)” 经过一次“益，颜率变为原来的)，得到 是“{an}为等比数列”的 ( A.充分不必要条件 “商”…依次损益交替变化，获得了“宫、徵、 B.必要不充分条件 商、羽、角”五个音阶据此可推得 ) C.充要条件 A.“徵、商、羽”的频率成等比数列 D.既不充分也不必要条件 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列 2.(2024·福建宁德高二月考)已知数列{an}的 C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“宫、商、角”的频率成等比数列 通项公式为a,=3× ,则数列{a}是 6.（多选)已知数列{a}和{bn}(neN)是等比 ( 数列，则下列结论中错误的是 A以1为首项，号为公比的等比数列 A.{ga,}是等差数列 B.{an+bn}一定不是等差数列 B.以3为首项，3为公比的等比数列 C.{an·b,}是等比数列 C.以1为首项，3为公比的等比数列 D.{an+bn}一定不是等比数列 D.以3为首项，3为公比的等比数列 7.(多选)无穷等比数列a.的首项为a1,公比 3.(2024·安徽六安一中高二期末)等比数列 为q,下列条件中能使{a,}既有最大值，又有 1a,}为递减数列，若aa6=6,4+n,=5,则2= 最小值的有 A.a1>0,0<g<1 B.a1>0,-1<g<0 ( C.a,<0,9=-1 D.a,<0,g<-1 B. D.6 8.已知数列{an}为等比数列，a3+a=1,则 4.(2024·四川绵阳高二月考)已知等比数列 a2a4+2a3a5+a4a6= {an}的第二项为1，则“a2<a2m”是“a2m< 9.(2024·陕西渭南高二月考)三个数成等比数 a2e4”的 列，公比大于1，它们的和等于14，它们的积等 A.充分不必要条件 于64，则这三个数是 B.必要不充分条件 10.已知数列{an}满足下列条件：①数列{an是 C.充要条件 等比数列；②数列{a.}是单调递增数列； D.既不充分也不必要条件 ③数列{a.}的公比g满足0<g<1.请写出个 5.(2024·湖南张家界高二期末)音乐与数学有 符合条件的数列{a,}的通项公式 着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三 11.(2024·广东深圳高二期中)数列{an}满足 分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一 a1=2,a1=3an-2(neN),则数列{an}的 次“损”，频率变为原来的子，得到“徽”；“微” 通项公式是a,= 选择性必修第二册·RUA黑白题18 12.已知等差数列{a,}的前n项和为Sn,若有压轴挑战 a7=15,S3+S3=50 (2024·四川成都高二月考)已知等比数列 (1)求{an}的通项公式： {a.}满足a1=4,a3+a4=16(a1+a2) (2)若a1,a4,a,同时加上同一个常数后成为 (1)求数列{a}的通项公式； 等比数列{bn}的前三项，求{b,}的通项 (2)若{a,}是递增数列，且HneN”,n· 公式 3“-k·an<0恒成立，求实数k的取值 范围： 2a.+1 (3)若1a,}不是递增数列，b。= a。,求6，的 最小值 13.在数列{a.}中，已知a1=-1,且a1=2a,+ 3n-4(neN") (1)求证：数列{a1-an+3引是等比数列。 (2)求数列{a,}的通项公式 进阶交破拔高练PO4 第四章黑白题94.3等比数列 9 或=3（含).则ah45 4.3.1等比数列的概念 27 6=3 1，放选B b= 4 白题础过关 8.A解析：由{a.|是等比数列，又a2+3=2,5+a6=-16,则a1q+ 1.C解析：由等比数列的定义知①②④都是等比数列.当a=0时，③不 a1g2=2,a19+a1g3=-16,则a1g(1+g)=2,a19(1+g)=-16,可得 是等比数列故选C g3■-8，即g=-2,故选A 2.B解析：对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确： 9.B解析：设等比数列{an}的公比为g,因为数列1an}为正项等比数 对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正确：对于③，若一个 常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数 列，所以9>0.由a4=1,asa1=81→@49·a497=g=81,所以g2=3,所 列的公比为1，所以③正确.因此，正确的说法只有1个，故选B 以a6=a92=3. 3.ABC解析：设数列a,是公比为g的等比数列，则=4，对于 10.B解析：由题意知，对于amn=anan,取m=1,可得a1=a1a,即 a。-l 8=a1,所以数列a,是首项为a1,公比为1的等比数列，所以 选项A因为 ,g,所以数列a,为等比数列，故A正确：对 l an=a,则a6=9=8,得=2w5,所以315=a=(22)3=162 于选项B,因为a=,所以数列引a,为等比数列，故B正确： a aw-1a 11.AD解析：因为(a1-a,-1)(a1-3a)=0(neN),所以a1 对于选质C,因为二可，所以数列1为等比数列，故C正确：对 an=1或a+1=3an 当a1a,=1时，1a,是公差为1的等差数列，此时a1=a4-3d=9 于选项D,若等比数列a,公比q=-1,则=-1，即a,+01=0,此 6当时，6是公比为3的等化数到此时一宁 时数列1an+a1l不是等比数列，放D错误，故选ABC 91 四方法总结 33,故首项a:可能是6或故选AD, 判定一个数列为等比数列的常见方法： 12.3 解桥：设等比数列的公比为9则6，=4，即石=27，解得 ①定义法：若“=g(g是不为零的常数)，则数列1a,是等比数列。 9=±了又0i0,所以g<0,所以g=号故答案为子 ②等比中项法：若a21=a.a2(neN”,4n≠0)，则数列{al是等 比数列. 1BB解折：因为3Q0.所兮所以数列a是等比数 ③通项公式法：若an=a1g-(a1,9是不为零的雪数)，则数列{a. 是等比数列 列a.a1×(号）又因为a>0,所以数列。.是递减数列故 4.C解析：由于3，x,27成等比数列，所以x2=3×27=81,解得x=9或 选B. -9.故选C. 14.C解析：等比数列{a.是递减数列，.an<a1,即a1g1< 5.AD解析：对于A,=a1·g2,a1·a5=a·q,a=a1·a5,故A正 a1g2,a12(g-1)<0(n≥2，neN),a1>0,0<g<1或a1<0, 确：对于B,a写=(a·)2≠a·g=m2·6,故B错误：对于C,a= g>1放选C (a1·g3)2≠a7·g8=a2·ag,故C错误；对于D,后=(a1·g)2= 15.C解析：因为{a。!是各项均为正数的等比数列，所以a246= a·g=a·g,故D正确故选AD. (a4)2=16,解得a4=4,所以a5=a49=8,故选C 16.C解析：设等比数列的公比为g(g≠0)，因为a4和42是方程x2+ 四方法总结 等此数列中的设项技巧： 3x+1=0的两根，所以a4·a2=1,a+a2=-3,所以a,<0,an<0.由 灵活设出等比数列中的项，可起到筒化计算、降低计算量的作用，常 等比数列的性质得，a号=a,·an=1,所以a4=a,g°<0，则ag=-1.故 见的设项方法有： 选C (1)若连续n个数成等比最列，通常设为a,四，ag2,a四3，，公比为g 17,C解析：数列1an1是等比数列，则aaa=a=3,a6aa=a叶=21， （2②)若造线寄数个数成等比数列，可设为子·号a叫叫，心 0..2=7,故a00n=。=21x7=147.故选C a吲a3 公比为g 18.B解析：数列1a.}为等比数列，a,>0,且ana1a2=2,可得 （)考老疾得数个正系（成负起）成等化数列，可技为一宁·号 d21=2,所以a1=2产，所以a=2a2.又p+9=6,则g,·4,=22 22女2=22*9-4=2.故选B a叫，ag,,公比为g2. 6.D解析：由题意知数列1a.为等差数列且公差为2，且a1,a2,a4成 19.7(我12,15,16中任-个均可)解析：在等比数列1a,中，由 等比数列，则a=a14,即(a1+2)2■a1(a1+6),解得a1=2,故D正 确故选D. 得a·a,=叫·4，所以m+n=3+5=8,不妨令m≤n,则m,n的 as 7.B解析：不妨设插人的两个正数为a,b,即3，a,b,9,3,a,b成等比 不同取值有m=1,n=7,或者m=2,n=6,或者m=3,n=5,或者m= 数列，则a=3站：a,6,9成等差数列，则a+9=2h,即3功，解得 m=4,所以mn的所有取值为7,12,15,16.故答案为7（或12,15,16 la+9=26, 中任一个均可) 选择性必修第二册·RUA黑白题10 重难聚焦 列1a,}和{b,(neN)是等比数列，所以an+6。=1+2=3,故此时 {a,+b.}是等差数列，也是等比数列，故BD错误：C选项，设数列 20.D解桥：由a1=a,-1,得a1-1=a,-2=0,子）由于数列 10,的公比为，数列16，的公比为9，则b=阳，故a, 2 a。·b。 a-1是等比数列冬=1，得k=2,故选D b.I是等比数列，故C正确.故选ABD. 21.A解析：？a1=2an+1,.a1+1=2(an+1).由a1=1,得41+ 7.BC解析：当a1>0,0<q<1时，等比数列引a.单调递诚，故{an}只有 1=2,数列1a.+11是以2为首项，2为公比的等比数列，4n+ 最大值41，没有最小值：当41>0，-1<g<0时，等比数列{a。为摆动数 1=2·2-1=2”,即4n=2“-1.故选人 列，此时a1为最大值，a2为最小值：当41<0,9=-1时，奇数项都相等 2.3”-1解析：根据题意，“追梦数列10，满足1-3=0(n 且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列|。，}有最大值，也 antl an 有最小值：当a1<0,9<-1时，因为1g>1,所以1a1无最大值，奇数项 N),即。，=3，则数列a,是公比为号的等比数列若数列 为负，无最小值，偶数项为正，无最大值故选BC 8.1解析：因为等比数列1an}满足a+5=1,由等比数列的性质可得 a2a4+2a3 as+asa6=a+2a3a5ta=(a3+a5)2=1.故答案为1. 9.2,4,8解析：设这三个数分别为a,b、c且a<b<c,由等比数列的性质 3°→b.=3-1.故答案为3”-1 可得ac=2,又abe=64,故b3=64,即b=4,又a+b+c=14,故有ae= 23.A解析：依题意可得1a,}是首项为2，公比为2的等比数列，则+ 16,a+e=10,可得a=2,c=8,故这三个数是2、4,8故答案为24、8 a4+a5+a6=8+16+32+64=120.故选A 24.B解析：由题设可知，依次得到的十三个单音构成首项为「，公比为 10。,一（仔）八（答案不-）解折：因为数列引。，是等比数列数 迈的等比数列1a,,第四个单音的频率为a4=×(迈)1=2f放 列1a.是单调递增数列，数列|a。}的公比g满足0<g<1,所以等比 选B 数列{，|的公比0<Q<1,且各项均为负数，符合题意的一个数列 黑题 应用提优 1.B解析：若{a.}为等比数列，则a2=a141(n≥2，neN)一定成 1B的通溪公式为一（侵广 11.31+1(n∈N”）解析：因为a1-1=3(a,-1),所以数列1a、-1 立；若a=a-1a1,则|a,不一定为等比数列，比如a。=a1=0,所 是以a1-1=1为首项，3为公比的等比数列，所以a。-1=3-1,即 以“a=an-1a+1(n≥2，n∈N)”是“|a,|为等比数列”的必要不充分 a,=3-l+1(neN)故答案为31+1(neN). 条件故选B. 12.解：(1)令a.}的公差为d,首项为a1, 2.A解析：因为a=1, 3 ,所以数列1an是以1 由题设可得色+65，解得3， (传 (8a1+13d=50.(d=2 ∴an=a1+(n-1)d=2n+1. 为首项，了为公比的等比数列故选A (2)由(1)知a1=3,04=9,45=11,设同-个常数为m,则(m+9)2= (m+3)(m+11),解得m=-12,即61=-9，b2=-3,b3=-1,故公比为 3.A解析：由a.}为等比数列，得a2a6=m34y=6,又a+a=5,4 a5为方程x2-5x+6=0的两个根，解得3=2，as=3或a3=3,a5=2, g=子6=1-3 由1a,为递减数列得a,>a1d4=3,4=2g==2 13.(1)证明：令6。=a1-4n+3,六61=a2-a1+3=2a1+ %3,则 3(n+1)-2a.-3n+3=2(a1-an+3)=2b。2=2a1-1■-3，故61= 西2-41+3=1，数列{6}是首项为1，公比为2的等比数列，即数列 1a+1-a,+3是首项为1，公比为2的等比数列. 4.A解析：因为等比数列|a。{的第二项为1，所以数列的偶数项一定 (2)解：由(1)易知6。=2，即at-a。+3=21,结合已知条件可 为正，若a2m<a2m,则2m=g>1,即g>1,此时2=>1，故 得2an+3m-4-an+3=2r-l,即a。=2r-1-3n+1(neN°). 42020 压轴挑战 am<4,即充分性成立者<a0,则@=g>1,所以g>1 解：(1)设{an1的公比为q,则4女2+4灯3=g2(4+4q)=16(4+49),若4+ d2022 4g=0,则g=-1.若4+4g*0,则g2=16→g=±4.所以{a.I的公比为-1 或q<-1,此时2m=g>1或20=g<-1,所以a2m<2m不一定 或-4或4，所以1a.的通项公式为a。=4(-1)或an=(-1)14°或 a280 d2020 成立，即必要性不成立故选A 0.=4 5D解析：设宫”的领率为1，则“微~的频率为子，商~的频率为 (2)若{a。|是递增数列，则a,=4“,则有VneN·,n·3”-k·4°<0，等 名羽的飘水为空角的颜水为会所以宫商，角的飘率成 5 价于vaeN:,k>n(子）广恒成立，令6=n(任)广，即(6) 等比数列，公比为。放选D 雨e-=(a*)(任）”-n(2）广-(2）广，a<3 时，e1>e,=3时，C=c4,n≥4时，c1<c,G<92<C=c4>c> 6.ABD解析：A选项，取a。=(-1)“,则数列{a,1为等比数列，而当： 81 为奇数时，ga.无意义，故A错误；BD选项，设a,=1,b.=2,满足数 。少以6）66一烈实数长的取值箱圆为（品 参考答案黑白题11 ( (3)若{a,1不是递增数列，则a。=4(-1)或4。=(-1)4.(i)当 (2)S= 。242 - 。=4(-1)r时，6，=2,2 4(-1)可①当a为偶数时. 当为偏数时8=号（士）水子 6=2--子2当n为奇数时，6=2+-？，所以此时的最小 当n为备数时感号(：）≤1，当且仅当a=1时等号成立 值为7 ()当a=(-1)-l4“时，b= 1 (-1)-1·49 综上所述，S,的最大值为L ①当n为偶数时6=22，且6为递增数列(，)一4：-沿： 31 1-g =-3, 8.B解析：由题意易知数列的公比9≠1，则有 1-g 解 ②当n为奇数时人=2+中>2沿不可能为最小值所以此时么的量 。1 -=21, 1-g 值务器 得-2，故选B a1=-1, 4.3.2等比数列的前n项和公式 51 9.A 解折：因为1a,为等比数列，亏设5,6，S。3张， 第1课时等比数列的前n项和及其性质 0,S,S1o-S,S-So构成等比数列，所以k,2k,S:-3张构成等比数 白 琴础过关 列.所以5-张所之-兰号故选人 1.D解析：设等比数列a,的公比为g,前m项和为S,则g==2, 10.C解析：由题意可得所有项之和S每+5舞是所有偶数项之和S.的 1 故S1放透D 4倍，所以5a*5g=45,故5g=了5设等比数列{a,的公比为 g,设该等比数列共有2k(keN)项，则S=a2+a4+…+a4=q(a1+ 2.D解析：因为等比数列1an}的首项a1=1,公比q=3,所以a,=a1· 1 91=31,所以3=11-9）1-31 159132(3”-1)=3 卢s宁，所以g子因为a=,所以 ,放选D 3 42=4,因此a1=3=12放选C 四方法总结 3.C解析：由a.=19-1,得96=3刘-1，故g≠1，且-1=32故5n= 等比数列常见性质的应用可以分为三类： 41(1-）31-2.3(1-322=189,解得4=221=32，n ①通项公式的变形； 1-g 1-g 1-g ②等比中项的变形： 6.故选C ③前n项和公式的变形 四重难点拨 极据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,a。,9, 的突破口. n,5。,已知其中三个就能求另外两个（简称“知三求二"） 11.B解析：因为等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有 (2)运用等比戴列的前n项和公式时，注意对9=1和g≠1进行分 n项，设公比为g,得到奇数项为1+g2+g+…+g=1+q(g+g+g3+ 类讨论 +g2m-1)=85,偶数项为q+g3+g3++g21=42,整体代人得q=2, 4.2(8- 7 解析：数列2,2，…，2n-2是首项为2，公比为23=8，项 所以前2a+1项的和为2-852=1，解得1技选日 数为n的等比数列六n)=21二2.2(8-)，故答案为28- 黑题 应用提优 1-8 7 7 1.B解析：设等比数列an}的公比为g,则a6-a4=g(a5-a)= 5C解析：等比数列1a,的前n项和为S.,显然当g=1时不合题意， a(1-2*) 则不等于1，测8品高◆c品则 1-q -故2从略兴22 有S。=C·g-C,由题意5=A·2”+B,得A+B=0.故选C 2A解折码=4,35=8，可得5斗=2，可得8 6.C解析：因为a1=1,log2a1=ogan+1(neN),所以a1=2a, S3 S6-S3 S9-S6 所以{a,为等比数列.其公比9=2，所以5。=2"-1，则满足S,>1025 的最小n值是11. =12,2x8+2=2.5a=216+8=0则安-8-5放 7.解：(1)设{a,的公比为g,因为a1,4,成等差数列，所以2a= 选A 3.B解析：因为S=3+k,所以当n≥2时，4，=S。-S-1=3”-3-1=2· 西+，.因为=1，所以22=1+g因为9≠1，所以g=-2,所以a 3-,当n=1时，a1=3+k,若{a。}是等比数列，则a1=3+k=2×3°，所 () 以k=-1.若素=-1，则4，=2·3(n≥1)，=3，所以a,是等比 a。 选择性必修第二册·RJA黑白题12