全书综合检测-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

全书综合检测 (时间：120分钟总分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在一根木柱周围，根据需要再用若干根一定 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 厚度的木料包镶而成的柱子，图①为“包镶式 目要求的 瓜棱柱”，图②为此瓜棱柱的横截面图，中间 1.(2024·天津西青区高一期末)若复数x满 大圆木的直径为2R,外部八根小圆木的直径 足i=i-1,则复数z的虚部为 均为2r,所有圆木的高度均为h,且粗细均 A.1 B.-1 C.i D.-i 匀，则中间大圆木与一根外部小圆木的体积 2.(2024·河北衡水高一期未)中国古代科举制 之比为 度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会 试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录 取，若某年会试录取人数为200，则北卷录取 人数为 ( A.70 B.20 C.110 D.150 3.(2024·江西南昌高一期末)已知向量a= A.W/4+22-1 B.4+22-2W4+22 (1,2x),b=(2,-8),若a∥b,则x=( C.3 D.5+22-2W4+22 A.2 B.-2 C.4 D.-4 7.(2024·湖北咸宁高一期末)矩形ABCD 4(2024·广西桂林高一期末)已知平面a,B和 (AB>AD)的周长为16cm,把△ABC沿AC向 直线a,b,且a∥B,aCa,bCB,则a与b的位 △ADC折叠，AB折过去后交DC于点P,则 置关系是 ( △ADP的最大面积为 A.平行或异面 B.平行 C.异面 D.相交 A.48-162 B.48-322 5.(2024·山东滨州高一期末)柜子里有3双不 C.108-722 D.192-1282 同的鞋，从中随机取出2只.设事件A=“取出8.(2024·浙江杭州学军中学高一期中)正方 的鞋都是一只脚的”，则P(A) 形ABCD的边长为6，点E,F分别在边AD,BC A.5 c 上，且DE=EA,CF=2FB.如果对于常数入， 在正方形ABCD的四条边上（不含顶，点）有且 6.(2024·福建泉州高一月考)中国古代建筑中 只有6个不同的点P,使得P呢·P示=入成立， 重要的构件之一—柱（俗称“柱子”）多数 那么入的取值范围为 ( 为木造，属于大木作范围，其中，瓜棱柱是古 建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而 A(3,4) B.(-3,3) 是多块用棉卯拼合而成.宁波保国寺大殿的瓜 棱柱，一部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即 C.(3,12) D.(43 全书综合检测黑白题159 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 C.点C到平面0MN的距离为2,6 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 D.三角形MON沿直线MN旋转一周得到的 选错的得0分 9.(2024·河南郑州高一月考)在复平面内，复 旋转体的体积为2 37 数} 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 i对应的点为A,复数=，-1对 15分 应的点为B,下列说法正确的是 12.(2024·福建莆田高一期末)写出满足2=： A.1a11=1z21=1 的一个复数： B.a·2=l 13.(2024·河南郑州高一期中)远赴仙境惊鸿 C.向量AB对应的复数是1 宴，一睹人间盛世颜位于河南洛阳的老君山 D.IABI=Izz2I 群山竞秀，拔地通天.一位同学在领略老君山 10.(2024·安微安庆高一期中)在△ABC中， 的美景时，用无人机测量了其中一座小山的 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+ 海拔与该山最高处的古塔AB的塔高.如图， b):(a+c):(b+c)=9:10:11,则下列结 无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内， 论正确的是 ( 无人机飞行的海拔高度为1000m,在C处 A.sin A sin B sin C=3:4 5 测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为 B.△ABC是钝角三角形 45°，塔顶B的俯角为30°，向山顶方向沿水 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 平线CE飞行100m到达D处时，测得塔底A D若c=6,则△1C外接圆半径为7 的俯角为75°，则该座小山的海拔为 m:古塔AB的塔高为 11.(2024·江苏扬州高一期末)如图，正方 D 304575 形ABCD的中心为O,边长为4，将其沿对角 线AC折成直二面角D'-AC-B,设M为AD 的中点，N为BC的中点，则下列结论正确 的有 14.(2024·广东深圳高一月考)平行四边形形 状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成 的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示 粽子形状的六面体，则该六面体的体积 为 ;若该六面体内有一球，则该球 A.三棱锥D'-ABC的外接球表面积为32T 体积的最大值为 B.直线MN与平面ABC所成角的正切值 为 必修第二册：RJ黑白题160 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出17.(15分)(2024·湖南益阳高一期末)如图所 文字说明、证明过程或演算步骤， 示，在圆锥D0中，D为圆锥的顶点，O为底 15.(13分)(2024·山西大同高一期末)已知 面圆的圆心，AB是圆O的直径，C为底面圆 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 周上一点，四边形AODE是矩形 满足b+,C=L. (1)若F是BC的中点，求证：DF∥平 c-a b-a 面ACE; (1)求角A: (2)若AB=2,∠BMC=∠ACE=行，求三棱 3.sin B+ (2)若△ABC的外接圆的面积为 锥A-BCD的体积 sinC=5,7sinA,求△ABC的面积. 16.(15分)(2024·山东临沂高一期末)已知两 个单位向量e,与4的夹角为？，设a 2e1+e2,b=te,-3e (1)求1a+b1最小值： (2)若a与b的夹角为钝角，求1的取值 范围。 全书综合检测黑白题161 18.(17分)(2024·安徽合肥高一期末)2023年19.(17分)(2024·广东广州高一期末)如图， 6月4日，当地时间6时33分许，神舟十五 已知三棱台ABC-A,B,C,底面△ABC是以B 号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为 全部安全顺利出舱，身体状况良好.这标志着 ,平面ABBA,上平面ABC,且M,三 143 神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功. 某学校高一年级利用高考放假期间开展组 织1200名学生参加线上航天知识竞赛活 A,B,=BB,=2AB. 动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮 (1)证明：BC⊥平面ABB,A 竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根 (2)求点B到面ACC,A,的距离. 据图形，请回答下列问题： (3)在线段CC,上是否存在点F,使得二面 1频率/组距 角F4B-C的大小为后？若存在，求出 0.025 CF的长：若不存在，请说明理由. 0.015 0.010 0.005 0 405060708090100分数 (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层 抽样方法抽取10人成绩，求10人中成 绩不高于50分的人数： (2)求a的值，并以样本估计总体，估计该校 学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学 参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀 等级的概率为子，乙复赛获优秀等级的 概率为子，丙复赛获优秀等级的概率为 甲乙丙是香获优秀等级互不能利. 求三人中至少有两位同学复赛获优秀等 级的概率 必修第二册：RJ黑白题162:“完美四面体“的四个侧面是全等的三角形，“D242=3x,D,B2= 5x,D2C2=7x,把该四面体顶点当成长方体的四个顶点，四条棱当作 结合的任在性可得三，-一三以-：宫a4a… 长方体的四条面对角线，则长方体面上对角线长为3x,5x,7x,设长方 6.所以专家乙的鉴定结果与真实价值1的差异量不可能为a+6 1a2+b2=9x2, 全书综合检测 体棱长为a.b,c.则2+2=25x2,以上方程组无解.即这样的四面体 a2+e2=49x2. 1.A解析：由=-1，得：，一)i1+i,所以复数：的虚部为1 不存在， 2 ∴.四个侧面不全等，故D,A,B,C2一定不是完关的四面体。 故选A. 对于A,三角形是然是锐角三角形，可以构成完美四面体」 2。A解析：会试录取人数为200时，根据分层抽样的性质可知，北卷录 对于C,由余弦值的比值得到正弦值比值，按着B选项的过程可知可： 取人数为200×1+7+270故选入 以构成完美四面体 3.B解析：若a∥b.则-8=4r,解得x=-2故选B. 对于D,由正切值的比值得到正弦值比值，按着B选项的过程可知可 4.A解析：因为a∥B,aCa,bCB.所以a与b没有公共点，即a与b平 以构成完美四面体，故选B. 行或异而.故选A. 10,A解析：设球面三角形ABC.因为球的半经 5.B解析：设三双不同的鞋分别为(a1,m),(6,b2),(c1,c).横坐标 为2，所以大圆周长为4m.球的表而积为 代表左脚鞋，纵坐标代表右脚硅，从中任取两只有(1，a),(61,b2), 4m×22=16m.因为球面三角形的各边长均为 (c1,e3）,(a1b1),(41,b）,(a1,）.(a1,2),(a3,b,,(a2,b2）. T,所以∠A0B=∠A0C=∠B0C=90°，即0A (a291）.(a2,c2）,(b1,41）,(b1,e2）.(b2,1),(b,2)共15种， OB.OC两两垂直（如图所示）.则根据对称 其中取出的鞋都是一只胸的有(a:b1).(a1,9),(a2b),(a:2), 性，球面三角形ABC的面积为球面面积的 (b1,c1),(b,c3),共6种。 名，为g4x2=2截选A 所以取出的鞋都是一只期的纸率P代)=。号放选队 11.ACD解析：对于A.题图②所示中5月份有AQI值超过200的异常 6.D解析：八根小圆木面圆的圆心构成一个正八边形，边长为2 值，A正确： 相邻两根小同木圆心与大圆木周心构成一个底边长为2，腰长为 对于B,C.题图②中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说 明5月的AQI值比6月的AQI值集中，B错误，C正确： (R+r),顶角为开的等鞭三角形，根据余弦定理，得4护=2(R+)2 对于D,虽然5月有严重污染天气，但从题图②所示中5月份箱体 整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小， 2(R+)x2 2,解得上=√4+221.所以中间大圆木与一根外高 4QI值整体集中于较小值.说明从整体上看，该地区2023年5月的 空气质量略好于6月，D正确，故选ACD 个圆木的体积之此为学公(V42万-1)：5+2厅 12.C解斩：x=10+2×20+3x40+410+(5+6+7+8)×5=3.4,样本偏 2√4+22.故选D. 100 7.B解析：设AB=x,AD=8-x,CP=a,AB>AD,其中4<x<8,则 度反应数据偏离方向与程度，由题中图表可得，有比较多的小于样 DP=x-a,AP=a. 本均值x=3.4的数据，当右侧有长尾时，受极端值影响，b,= 在直角△ADP中，由勾股定理得(8-x)2+(x-a)2=a2,解得a 0,20,而样本方差>0，则B宁>0放迹C x2-8x+32 x p=-a=8r-32 13.解：(1)若n=3时.则A=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1) （8-)·0p=4s-428s48-2,4r.1-48-322 (31,2),(3,2,1),且1=(1,2,3)， 可得X(A,)=0,2,2,4,4,4,所以X(A,)的所有能取值为0,2,4 当且仅当4=128，即=45时等号成立.放选B (2)设“X(A,)=4”为事件M.样本空间为2， 8.D解析：以DC为x轴，以D4为y轴建立平面直角坐标系，如图，则 因为n=5,可知A共有5×4×3×2×1=120（个），即样本容量m()= E0.3).F(6.4). 120. ①若P在CD上，设P(x,0).0≤x≤6，则Pi= 显然若对调两个位置的序号之差大于2.则X(A,)>4 可知X(A.)=4只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间 (-,3).P元=(6-x,4), 调整须序，若调整两次两个连续序号，则有1(1.2)，(3,4)， p呢.p币=x2-6+12=(x-3)2+3 (1,2),(4.5)1,1(2,3),(4,5)1,共有3种可能：若连续三个序号 xe[0,6们，3≤P元.P序≤12.当A=3时有列 之间调整顺序，连续三个序号有11,2,3引，2,3,4,13,4,5引，共 一解，当3<A≤12时有两解： 3组，由(1)可知：每组均有3种可能满足X(A,)=4,可得共有3× ②若P在AD上.设P(0y).0<y≤6，则P尼=(0,3-y).P币=(5,4-y). 3=9(种)可能综上所述，a(M)=3+9=12所以P(B)=0 N(O) 成-2-(）广 121 12010 0gy≤6≤成.2，当4=或6c<12.有-解， (3)不可能，理由如下： 设专家甲的排序为1,2…高。记A=(,,”,x,) 当。A≤6时有两解： 专家乙的排序为，…，。，记B=(h为…水) ③若P在AB上，设P(x,6).0<x≤6，则P元=(-，-3).P序=(6 由题意可得：X(4.)=∑5-=a,X(A,)=∑1k1=4. ,-2), 因为y-1=1(y-x)+(x-i)1≤y-x+x-i1=-i+国-， 店.p=x2-6r+6=(x-3)2-3 参考答案黑白题087 0≤6，-3≤P成，P币≤6.当A=-3时有一解，当-3<A≤6时 面半径，以7为高的圆锥的体积的两倍，所以=2x写×，厅： 有两解： ④若P在BC上，设P6,y),0<<6,则P=(-6,3-y),=(0,4 ,D正确故选ACD, 2w3 y). 成.-2-(} 12.22(答发不收一）解析：设：a+i,a,6eR,由子=可 得，(a+i)2=a-bi,化简得(a2-62-a)+(2a+1)bi=0.故有 0c6≤尼.成2当A=或6≤Ac12时有-解。 1 当A<2时有两解 a2-6-a=0,可取 = 2 -13 l(2a+1)b=0, 即：=2+2故答案为：2 综上，若在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同 2 的点P,则<A<3故选D 9心期指：调为子受周以=受所以行 13.(950-505) 1003 解析：如图，在△ACD中，CD=10),∠ACD= 3 )a(分号)14E确： 45°，∠ADC=105,∠GAD=30°，由正弦定理C D H K 得 AC CD AD 04375 sin∠ADC sin∠CAD sin∠ACD 8 (3)(号)）-[()（停）门- B错误： 又血105=n75°=血(450+30)= 2 由上可得A店=(-1,0)，对应的复数为-1，C错误： 222 4,所以4C=10,6+v2 3,2x1.6+2 14 10.CD解析：由(a+b):(a+e)(b+e)=9:10:11,可得a:b:c= 即AG=50(,6+2)m 4:5:6.故可设a=4x,b=5x.e=6x. 由正弦定理可得sin A sin B:sinC=a:b:c=4:5t6,A错误： 延长B交GE于，则AH=ACin∠ACD=50(,6+2)×巨 由慰意可知C为最大角，由余弦定理可得mC=16+252-36r 50(、5+1)m 2×4r×5r 又无人机飞行的海拔高度为1000m,所以该座小山的海拔为 名>0，故C为锐角，从而可知△ABC是锐角三角形，B错误： 1000-50(3+1)=(950-503)m, 在△ABCG中，∠ACB=45°-30°=15，∠ABC=120° 因为内角4为最小角，由余弦定理得cms4.25+36r2-16_3 2×5x×6x 又240s)-号号受}6 4 故m24=2o21=261令=m6,故C=24.C正确： 由正弦定理有 15m120,得到4=0,6+2)x6-2」 AB AC 由c=6.血G=V个C:7,结合正孩定理可得2 4 6 3w7 2 8 1003 7,做R87 16w 3 m),故答容案为(950-50,3)，103 3 ,D正确故选CD. 14.286 11.ACD解析：对于A,因为OA■OC=OB=OD,所以0为三棱锥 6 29 常折：每个三角形面积5了1号-由对你性司 D-ABC的球心，表面积为4行(22)2=32π，A正确： 知该六面体是由两个正四面体合成的，可求出该四面体的高为 对于B,如图①，过M作MH⊥AC于H,则MH⊥平而ABC,所以 15w62 ∠NH即为直线MN与平面ABC所成的角.易知1MH=√互，NH Io,所以an∠MNH= 25 /0 ,B错误： 因为该六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是三 6 由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切 时，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径 为R所以 =6×3 一×R）,得R=。,所以球的体积。 6729 对于C,因为Vwc=Vc-w0,设点C到平而0WN的距离为h,所以 35x2=子h·Sa又NMN=Vm+m=25,所以 15锅：1)调为名。1。 所以(b-a)+c(c-a)=(c-a)(b-a), es∠MON=- 2sin∠hw=3 所以4am号x2x2x5 所以2-ah+e2-r=bc-an-ab+a2,即b2+e2-e2=be, 所以C到平面0uv的距离A.25_26 所以msA=c2-云2c1 33,C正确： 222 对于D,如图②，过0作OT⊥MN于T,则旋转体体积是以OT为底 因为4e(0,a).所以4号 必修第二册·RJ黑白题088 (2)因为△ABC的外接圆的面积为西，所以△ABC的外接圆半径 0.05=71 3 因为成绩不高于70分的期率为(0.01+0.015+0.015)×10=04. 成绩不高于80分的率为(0.01+0.015+0.015+0.03)×10=0.7 3 .0.5-0.4220 in2r=2rsin A=2x 由正弦定理得“ 所以中位数位于[70,80]内，则中位数为70+0.03 3 =7 3 2 (3)三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率P=2×】 因为mB+inC=57 3 inA,所以由正弦定理得b+e 5/ 74=5, 1211,13123117 由(1)知b2+e2-a2=c,所以(b+e)2-7=3e,得3e=25-7=18,则 2+*2+32+××22 c=6,所以△ABC的面积为2oinA= x6x533 19.(1)证明：在三棱台ABC-A,B,C,中，平面ABB,A:⊥平面ABC, 22 AB⊥BC.面平面ABB,A1∩平面ABC=AB,BCC平面ABC,所以 11 16.解：(1)由题意e2=P=1,e2=12=1,e·e3=x1×22 BC⊥平面ABB,A- (2)解：由棱台性质知，延长M,BB,CC1交 因为a=2e,+e2,b=1e1-3e1,所以a+b=(+2)c1-202, 于一点P,如图. 所以1a+b1=√(@+b了=/[(+2)e,-2e,J了=√(+2)+4-2(+2 =√(t+1)+3, 由AB,=之B,得Sac=4Sa点P 所以Ia+b|=/(+1)2+3≥3，当且仅当=-1等号成立，所以|a 到平面ABC的距离为到平面AB,C,距离 b1最小值是3. 的2倍.则Vn4=8V-4, (2)因为a=2e,+e2,b=e,-3e3, 所以ab=(20(e,g=2-3子3-6 于是版号m5=号× 3,由C1平面 814316 ABB,A1.得BC为点C到平面PAB的距离。 设a=2e1+e2,b=1e1-3e:共线，即设a=2e1+e:=Ab=A(e1-3e2) 又A,B,∥AB,则A,是PA的中点，PA=AH1=A,B,=PB,即 因为向量©，与e2不共线.所以M=2,-3A=1,解得A=一3,1=-6， △PA,B,为正三角形，△PAB为正三角形. 设AB=2x,则BC=PA=PB=AB=2x, 51 若a与b的夹角为纯角，则a·b= 2 -6<0,且1≠-6，解得1的取值 x2x)2×2x=23=163 3,解得 12 范围是(-，-6)U（-6.5月 x=2,AB=BC=PA=PB=4,由PBC平面PAB,得BC⊥PB,AC=PG= 17.(1)证明：如图，取AC中点G,连接EG,FG,F是BC的中点。 42,5ac=×4x√(42)P-2=47.设点B到平而ACC,4的 FG/AB且FG=了极 距离为d.由rc=nc,得 e·d= 47,163 ,解得d= 又四边形AODE是矩形. 3 3 六E/B且D成=， 4,2工即点B到平面AC,4的距离为y四 7 7 .DE∥FG且DE=FG, n (3)解：由BC⊥平面ABB,A1,BCC平 .四边形DEGF是平行四边形： 面ABC,得平面ABC⊥平面PAB,取AB中 DF∥EG.又DFd平面ACE,EGC平面ACE. 点N,连接PW,CN,如图，在正△PAB中， ·.DF∥平面ACE. PN⊥AB,而平面ABC平面PAB=AB,则 (2)解：A极是0的直径乙48= ,又AB=2,∠BAC= 3 PN⊥平面ABC,而CNC平面ABC,则PW⊥ CY.又PNC平面PG,则平面PC⊥平 D ,AC=AB%∠BAC=2 21 面ABC,作E⊥CN于点E,平面PCn平面ABC=CN,则FE⊥平 :DO⊥平面ABC,四边形AODE是矩形，DO∥AE, 面ABC,E∥PN,而ABC平面ABC,则AB⊥FE,作ED⊥AB于点D, .EA⊥平面ABC,ACC平面ABC,.EA⊥AG 连接FD,DEO FE=E,DE,FEC平面DEF,则AB⊥平而DEF,面 在直角三角形ACE中，AC=1,LACE=, FDC平而DEF,于是AB⊥FD,∠FDE即二而角F-AB-C的平面角. ,∴，AE=ACm∠ACE=1×3=3,:∴.D0=3. 设FE=3,由(2)知PW=25,CN=BC+m=25,由F=E PN CN 11 1 3 Vm=V-c=3×2B AGsin·D0=3×2x2x1x 得CE5 31=51,EN=25-5由E∥BC,得Dk= CN 厅=子三棱锥D的体积为子 BC=25-5x4=4-2.若存在F使得二面角F-AB-C的大小为 18,解：(1)因为抽取的200名学生中，不高于50分的人数为0.01× 2w5 10×200=20.50分到60分的人数为0.015×10×200=30 所以从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法轴取10人的成 名周m诚=m君限高解得1：子： 20 绩，不高于50分的人数为10x0+304 V压BF=2:8<0C,=2.所以存在携足题意的点E (2)由(0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a)×10=1.解得a=0.03. 82 平均数x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95× CF=5 参考答案黑白题089