8.2 立体图形的直观图-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

8.2立体图形的直观图 白题 基础过关 限时：25min 题组1水平放置的平面图形的斜二测画法 C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm 1.(多选)(2024·湖南邵阳高一期末)关于斜二 D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm 测画法，下列说法正确的是 () 5.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆 A.在原图中平行的直线，在对应的直观图中 锥顶点到底面的距离为4cm,另一个圆锥顶 仍然平行 点到底面的距离为6cm,则其直观图中这两 B.若一个多边形的面积为S,则在对应直观图 个顶点之间的距离为 ( ) 中的面积为孕 A.5 cm B.n C.10 cm D.15 cm 题组3直观图的还原与计算 C.一个梯形的直观图仍然是梯形 6.(2024·重庆巴蜀中学高一期末)已知平面四 D.在原图中互相垂直的两条直线在对应的直 边形OABC用斜二测画法画出的直观图是边 观图中不再垂直 长为1的正方形O'A'B'C(如图)，则原图形 2.(多选)(2023·山西太原高一期中)用斜二测 OABC中的AB= ( ) 画法画水平放置的平面图形的直观图时，下 A.2 B.22 C.3 D.2 列结论正确的是 ( A.三角形的直观图是三角形 B B.平行四边形的直观图是平行四边形 C.正方形的直观图是正方形 B了C D.菱形的直观图是菱形 (第6题) (第7题) 题组2空间几何体的直观图 7.(2024·湖南长沙雅礼中学高一月考)△ABC 3.下列直观图是将正方体模型放置在你的水平 按斜二测画法得到△A'B'C',如图所示，其中 视线的左下角而绘制的是 B0=C0=1,40=那么△ABC的形 状是 ( B A.等边三角形 4,已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方 B.直角三角形 体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸 C.腰和底边不相等的等腰三角形 一样，长方体的长，宽，高分别为20m,5m, D.三边互不相等的三角形 10m,四棱锥的高为8m.如果按1：500的比8.(2024·广东广州高一月 例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体 考)如图，在等腰梯形 的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( ABCD中，AB∥CD,AB= A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm 1,AD=2,CD=3,那么该梯 B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm 形直观图的面积是 第八章黑白题063 黑题 应用提优 限时：30min 1.如图，在斜二测画法下，边长为1的正三角 形ABC的直观图不是全等三角形的一组是 00 B (第4题) (第5题) 5.(多选)(2024·河南周口高一期末)如图所示 为四边形ABCD的平面图，其中AB∥ CD,AB=2CD=4,AD⊥AB,AD=22,用斜二 D)B A 测画法画出它的直观图四边形A'BCD,其 D 中∠x'A'y'=45°，则下列说法正确的是() 2.(2024·湖南长沙长郡中学高一期末)如图， 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是 A.A'D'=22 B.A'B'=4 直角梯形O'A'B'C',且O'A'∥BC',O'A'= C.四边形A'B'CD'为等腰梯形 2B'C=2,A'B=1,则该平面图形的高为 ( D.四边形A'B'C'D的周长为6+42 A.2 6.(2024·江西新余高二月考)平面直角坐标系 B.1 C.2√2 D.2 xOy中点A位于第一象限，线段OA的长为 5,与x轴所成的夹角为a,且tana=2,在斜 二测画法下其直观图为线段O'A',则线段 B' O'A'的长度为 (第2题) (第3题) 7.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正 3.(2024·福建厦门高一期中)水平放置的 方形A'BCD',如图，其中的对角线A'C'在水 △ABC的直观图如图所示，D'是△A'B'C'中 平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二 B'C边的中点，且A'D平行于y轴，则A'B', 测画法画出的直观图，试画出该四边形的原 A'D',A'C'对应于原△ABC中的线段AB, 图形并求出其面积， AD,AC,对于这三条线段，正确的判断是 ( A.最短的是AD B.最短的是AC C.AB>AC D.AD>AC 4.(2024·河南郑州高一期末)如图，在直角坐 标系中，点A(1,0),B(-1,2),C(-1,0), D(0,-2),则四边形ABCD的直观图的面积为 ( A.42 B.32 C.22 D.2 进阶突城拔高练P05 必修第二册·RJ黑白题06411.解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱（领斜时固定不动的校）！4.C解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱维的高应分别为 平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非 4cm,1cm,2cm和1.6cm,再结合直观图的画法，长方体的长，宽、高 矩形的平行四边形 和四棱锥的高应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm故选C (2)不对，水的形状就是用一个与棱（将长方体倾针时固定不动的 四重难点拨 棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体的形状， 画空问几何体的直观图的技巧： 是棱柱，不可能是棱台或棱锥 (1)坐标系的建立要充分利用儿何体的对称性，一般坐标原点建在 压轴挑战 图形的对称中心处. B解析：如图①，连接AC,BD,设BD的中点为O,连接PO(P不与点B (2)要先丽出底面的直观图，再雨出其余各面。 重合)，PB=PB,OB=NB,∠DBD1=∠CBD1,所以△BOP2△BNP,所 (3)与：轴平行的线段在直观图中应与：‘轴平行且长度保持不变 以PV=PO,把平面BDD,B,与平面BC,B1展开并摊平，如图②. 5.C解析：圆锥顶点到底面的距离即圆维的高，故两顶点间距离为4+ D. B 6=10(cm),在直观图中与：轴平行的线段的长度不变，仍为10cm 6.C解析：根据斜二测画法规则，0A=0'A'=1,OB=20'B'=22,且 O4⊥OB,则AB=√/OA+OB=3.故选C. 四方法总结 2 由直观图还原平面图形： 在平面图形中连接ON,交BB,于点M,交D,B于点P,此时△PMN的 (1)将直观图还原成平面图形的过程是由平面图形到直观图问题的 周长取得最小值ON, 逆过程，解决这类问题时需要注意将唇法步骤中的规则进行逆肉转 在△BON中利用余弦定理可得 换，比如：直观图中x轴与y轴的夹角为45°（或135），还原为平面 图形时，则需还原成90°，与y轴平行的线段还原时应为原线段长 ON=A 2*20(90°+45)=V4422 的2倍，且保持与y轴平行. 2 (2)因为斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不 所以△PMN的周长的最小值为√42迈赦选B. 变，而平行于y拍的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45° 2 因此直观图中任何一点距x'轴的距离都为原图形中相应点距：轴距 8.2立体图形的直观图 南的动5 4 白题 基础过美 7.A解析：原△ABC如图所示： 1.ABC解析：对于A,根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改 y 变，A正确： 2a0.F 对于B,对于平面多边形，不妨以三角形为例， 如图①. B/ 21012 由斜二测画法的规则可知，B0=C0=1,A0=√3，AO⊥BC,所以AB= BC=AC=2,故△ABC为等边三角形.故选A D'M C 2 ,解析：如图，过点A作AE⊥DC,由题意可知等腰梯形ABCD的 在△ABG中，AD1BC,其面积S=之AD·BC, 在其直观图（图②）中， 商极=vaD-丽√0-(c可万. 2 由斜二测画法的规则可知，该梯形直观图中 作M1B'C,则直观图的面积S=之BC·AM=之B'C·ArD· 2 n45=21 的商为子，血45： *3x 2 2 42 S,因为平面多边形可由若干个三角形 AB,CD的长度在直观图中与原图保持一 6 并接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的 莫放藏猫的面限积为宁1,3)行故答案为 故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为二 .B 黑题 应用提优 正确： 】.C解析：C中前者画成斜二测直观图时，底边AB不变，底边AB上的 对于C,梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平 行，且长度不相等，故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确： 原高A变为宁，后者面成斜二测直现图时，边AB上的高心不变， 对于D,空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对 边A奶变为原来的；，这两个三角形不是全等三角形故选C 应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误故选ABC 2.AB解析：由斜二测画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变。 2.C解析：如图所示，过点C作CD∥A'B, 可知三角形的直观图还是三角形，故A正确： 平行四边形的直观图仍然是平行四边形，故B正确： 正方形和菱形的直观图是平行四边形，故CD错误故选AB. 3.A解析：由题意知应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观 D 图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A 因为四边形0'A'BC为直角梯形，且O'A'=2BC=2,A'B=1,可得 必修第二册·RJ黑白题036 CD=AB'=1,在直角△0rCD中，可得0C=CD 如45万，根据斜 2AB·BC+2AB·BB1+2BC·CC1=2×4×3+2×4×12+2×3×12=192.故 选D. 二测画法的规则，可得原平面图形的高为20'C=22,故选C, 3.A解析：因为A'D平行于y轴，所以在△ABC中，AD⊥BC.又因为D 是△A'BC中BC边的中点，所以D是BC的中点，所以AB= AC>AD,故A正确.故选A 4.D解析：依题意可得AC=BC=OD=2,OA=OC=1,AC⊥BC,由平面 图形可得如图所示直观图 (第1题) (第2题) 则gC∥0y,gC=号8c=1,AC 2.B解析：如图，在正四棱台ABCD-A:B,C,D1的侧面ABB1A,中，过 AC=2,0D20D=1,所以四边 点A,作A,E⊥AB,垂足为E,则A,E=√AM-AE= 形ABCD的直观图的面积S= √5-(=2，侧面4的面积Sm4,=(B+ 5ae+5ue1ax号1x2 1 =√2.故选D. 2 AB)·M1E=2×(3+1)×2=4,所以正四棱台ABCD-A,B,C,D,的 5.BC解析：由题意可画出其直观图如 表面积S=4×4+12+32=26.故选B 图，其中A'B∥CD,A'B=AB=4, 四思路点拨 C0=cD=2,D=子A0=反， 本题主要考查了正棱台的表面积，关健在于利用正棱台侧面是等腰 故A错误，B正确： 桃形 过点D,C分别作DM⊥A'B',CN⊥A'B',垂足分别为点M,N, 3.B解析：设正方体的校长为x(x>0),则正四面体B-A,C,D的棱长 故A'M=DM=CN=A'Dsin45°=1， NB'=A'B-CD'-A'M=1,故B'C=√2，则四边形A'BCD'为等稷梯 为vF7=2x,所以s4p=4号2sx·血60=22 形，故C正确： 故四边形A'B'CD'的周长为4+2+22=6+22，即D错误故选BC. a2,所以2=g2=3a2 2万6所以5a04e,=62=月a2,放选R 6.√/2+√2解析：如图①，过点A分别作x轴与y轴的平行线，交y轴， 4.12解析：由题意可知，正方休的表面积为6cm2,且小正方休的棱长 x轴于C,B两点，则AB⊥x轴，在Rt△AB0中，OA=√5，tan∠AOB= tan a=AB 为宁m,周1个小正方体销表面积为6x(传）广-号)，所 =2,所以AB=2OB.又OB2+AB=0OA2,所以得到OB= 1,AB=2,故0C=AB=2. 以27个全等的小正方体的表面积为27x号=18(m),所以表周积 如图②，过A'分别作x轴与y轴的平行线，交y轴，x轴于C,B两 增加了18-6=12(cm2).故答案为12. 点，则四边形0BA'C为平行四边形，所以O'C=A'B' 5.C解析：在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AM1=2,所以SAAc= 由平面直现图的性质知，0g=08=1,0C=0C=1,所以4g 之×2x2Xsin60°=B,所以Vac-44G1=Sauc·M,=25.故选C 1.又因为∠x'0'y=45°，所以∠0'BA'=1350 6.A解析：因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角 在△0BA'中，由余弦定理得0A2=0B2+AB2-20B·A'B 3%。 形，高为4，所以该三棱维的体积V= 2×2×3x4=4,故 cos∠0BA'=1+1-2c0%135°=2+√2， 选A 所以0'A'■√2+互，故答案为√/2+2 7.148cm3解析：依题意，该四棱台的上、下底面是边长分别为8cm, 6cm的正方形，而棱台的高为3cm,所以该香料收纳罐的容积为 3×3x(82+8x6+62)=148(em).故答案为148cm2 &.C解折：每个面的面积为×2？=5，所以该图形的表面积为8,3 故选C 7.解：正方形A'B'C'D'的原图形为如图所示的四边形 ABCD. 933 2 解析：由正六棱柱的高为2知底面正六边形的边长为1，又正 A'C在水平位置，A'B'CD'为正方形， 六棱锥的侧棱长为2，所以正六棱锥的高为√2-丁=1，所以底面正 ∴.∠D'A'C'=∠A'CB'=45°，A'"D'=B'C .在原四边形ABCD中，DA⊥AC,AC⊥BC,DA 4*1233 六边形的面积为6x x2+× 2,此组合体的体积为3,3× BC=2D'A'=2,AC=A'C=√2， S四边影ACn=AC·AD=22. 2放答案为73 35x1=7 2 2 8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 白厨 基础过关 白题哥稀过关 1.B解析：依题意，圆柱的底面半径r=1,高h=2,所以圆柱的表面 积S=2r2+2mh=2g×12+2r×1×2=6m.故选B. 1.D解析：如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，连接AC,AC,因 2.C解析：设圆柱的底面半径为，高为k,因为圆柱的侧面展开图是 为AB=4,AC1=13,BC=3,所以AC=√B2+BC=√16+9=5，所以 一个正方形，所以h=2mr,所以圆柱的表面积为2m2+2r·h= CC1■/AC-AC■√169-25=12，所以该长方体的表而积S= 2m2+4m22, 参考答案黑白题037