7.3 复数的三角表示-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

7.3 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式知7.3.2复数乘，除运算的三角表示及其几何意义 白题 基础过关 很时：30min 题组1复数的三角表示式 1,(2024·福建泉州高一月考)复数z=-sin >× C.5-3i D.3+/3i ioms7的辐角主值为 复数=3(em牙+im)=1-i,则的 7 B. 13T 辐角主值是 ( 7 c阳 3π 5π 0.4 B C.T 0. 2(2024·广东深圳高一月考)复数的 +5i0x(em5im广 12 8.计算： 三角形式是 ( cos 6 A.cos60°+isin60° B.-eos60°+isin60 (用代数形式表示) C.cos120°+isin60° D.c0s120°+isin120° √3sin0+icos6 3.(2023·河南开封高一期中)设复数：的辐角 9.设= 咖s0,则1：1的取值范 主值为 ,虚部为3，则2= 围是 题组3复数三角形式的几何意义 A.-2-23i B.-23-2i 10.(2023·江西鹰潭高一期末)将复数1+√3i对 C.2+23i D.23+2i 4.若复数-2+i和3-i的辐角主值分别为α，B,则 应的向量O示绕原点0按顺时针方向旋转 2' a+B等于 ( 得到的向量为ON,那么ON对应的复数是 B.IIm ( c. A.√3-i B.3+i D.2k+ (ke7) C.-3-i D.-√3+i 5如果：-3（如im智）那么 1I.正△ABC的顶点A,B,C分别对应复数 34,,2c,点A,B,C按逆时针顺序排列，那么 题组2复数三角形式的乘、除运算 () 6.(2023·江苏镇江高一期中)已知复数a1= A.2c=(zg-z,)·(c0s60°+isin60°) B.zc=(zB-z)·(cos60°-isin60°) 6 C.5c=ag·(cos60°+isin60°) 则2的代数形式是 D.2c=31+(zm-34)·(cos60°+isin60) 第七章黑白题053 黑题 应用提优 限时：35mim 1.复数(sin10°+icos10)(sin10°+icos10°)的 同时满足 三角形式是 ( -的复数： A.sin30°+icos30°B.cos160°+isin160 C.cos30°+isin30° D.sin160°+icos160 8.设复数=r(cos0+isin0)(r>0,0≤0<2m),其 2.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指函 中i为虚数单位，若z满足z2+z+1=0,则 数和三角函数的关系，并写出以下公式 tan 0= e"=cosx+isin x,这个公式在复变论中占有非 9.(2024·安徽马鞍山高一期中)已知：①任何 常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复 一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos0+ 数：=，根据此公式可知，二表示的复数的 isin0)的形式.其中r是复数：的模，0是以x 轴的非负半轴为始边，向量0Z所在射线（射线 虚部为 ( OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角， A、② B.-2 r(cos0+isin0)叫做复数z=a+bi的三角形式： ②方程x“=1(n为正整数)有n个不同的复 3.(2024·湖北武汉华师一附中高一期中)设复 数根 数1,2对应的向量分别为0Z,0Z,0为坐 (1)求证：r,(cos9,+isin0,)·2(cos02+ 标原点，且，=-√2+√2i,若把0Z,绕原点顺时 isin02)=r1r2[cos(0,+02)+isin(01+02)]: ,所得 针旋转平，把0以绕原点递时针旋转 (2)设w= 13 2+2 ,求m22: 两向量的终点重合，则2= ( (3)试求出所有满足方程x=1的复数x的值 A.1-√/3i B.-1+3i 所组成的集合。 C.3-i D.-√3+i 4.(多选)以下命题中不正确的是 ( A.复数z的辐角主值是0，则2的辐角主值是20 B.复数：的辐角主值是0，则z的辐角主值是 T-0 C.复数1,2的辐角主值分别是0，02， 则名，·2的辐角主值是9，+0， D.复数1,2的辐角主值分别是8，0， 压轴挑战 且0，>0，则的辐角主值是6，-02 设A,B,C为△ABC的三个内角，则复数 5.复数：=1+cos200°+isin200°的模 (1+cos 2B+isin 2B)(I+cos 2C+isin 2C) 的虚 为 辐角主值是 1+cos 2A-isin 2A 部是 6.计算： (1+√3i) 6 进阶突破拔高练P网 必修第二册：RJ黑白题0541+2,若复数子在复平面内对应的点位于第三象限，则： a（停小 2m<0, 取值范为（停）】 8.-2+2i解析：原式= 14,解：(1)设：=a+bi(a,beR),则z-6=(a-6)+bi.因为z-6为纯虚数。 =(g）m(若)】 所以a=6,且6≠0，所以：=6+bi,所以是-6i-b-(6i-b)(3-」 7 3+i3+i(3+i)(3-i) 3 3 61因为异为纯虚数，所以6-动=0.且18+60，所以 1010 ()m() b=2,所以2=6+2i,所以2=6-2i. 9.[L.3]解析：设3sin0+ics8的辐角主值为a,sin0-icos0的辐角 （2)1)知之m-n专3-。 112 12 i=3- m-1m- m-1 m-2 主值为月.：aV3m0ma+idnm）。V2m01os(a cos B+isin B 小上所以复数在复平面内对痘的点为（一二小由愿您 B)+iim(a-8)]l:l=√1+2sim0e[1,5]. m-10, 10.A解析：复数1+的三角形式是2(m号+m .向量0示 3 可知， m-2≠0、解得m<2或m>4.且m≠1，所以实数m的取值 m-21c0. 对应的复数是 范围为(-x,1)U(1,2)U(4,+0), 7.3°复数的三角表示 7.3.1复数的三角表示式+ m(石)门=5-i故选A 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 11.D解析：向量绕点A按逆时针方向旋转60°得到向量心， 白题 基础过关 六e-4=(n-31)·(c0s60°+isin60°)，故选D. 黑题应用提优 1.c解折：因为血号+im号m(受+号）m(受 1.B解析：(im10P+is10P)(im10P+icw10P)=(cs80P+isin80P）· ）一得1m行所以：-血号o号的辐角主值为故 (c0s80°+isin80°)=s160°+isin160°.故选B. 选G 2D解桥：依题意，令=-+ 22 i=r(cos9+isin8)(r>0.0°≤0< m(:)门小言受（一m子）-受，即难部为号 1 故选C c08=- 2 360).则r=1:l=1,所以 因为0≤8<360°.所以8= 3B解折：由已知得-万+2(-牙受)2(m sin 0= 2 120,所以-1,3 2+之的三角形式是cm120+im1209,赦选D. m）所以0配绕原点顺时针旋转子得2（一4恤） 3A解析：由复数：的辆角主值为可设复数：=，( 2T [一-（）m(）)门=2m0im0)=2.由0元绕原点逆 3 n罗）上宁因为成郁为后所以店，部得2，所 时针旋转，所得两向量的终点重合得，（一行m智）-2。 以：=-1+3i,所以2=(-1+3i)2=-2-231.故选A 所以= 2 -=2 3 =-1+3i故选B. 4.A解析：-2+i=5(eosm+isin a),3-i=√10(eB+iinB),(-2+i)· ()=52[a(a+8)+i(a+1=-5+5=5n(mg+ 4.ABC 解析：若0e[r,2m)则2的辐角主值为20-2m,A不正确： 的辐角主值为2-8，B不正确：若8，+8≥2π，则：1·2的辐角主慎 为0，+02-2石，C不正确：D正确. 5.-2s100°280°解析：复数整理可得2c2100°+ 2isin100°c0s100° 6 =24ros100(cs100°+isin100°)】 =-2cos100°(-c0%100°-isin100°) 6 =-2cos100°(cms280°+isin280°)， 复数：的模为-2%100°，镉角主值为280°， [=(侣)m(5+)]-6(=+i恤)） 号解桥：原式万（一言+山多）（一名： +i故选D. m)小a[-(号）m(号)](m云+ng)H 1B解桥=1i=2[一（牙）m()] -(）m()小（停） 参考答案黑白题031 11解（一号）厚。'=1+7解：设可对位的复数为成对的复数为 35 2,则可+0成对应的复数为1+2，-0亦对应的复 44 数为1-2，因为41=25,1与21=5，且11=5， 由勾股定理逆定理知道，△A)B为直角三角形，且 B1=5.作长方形AOBC,如图所示.则O+O成=0元0 对应的复数为1，故，+2=0元=B=5.故选C 8.D解析：复数1=3+i,2=os+iin(0eR), 为z=r(cos0+isin8)(r>0,0≤0c2m),所以an0= s1 =±3. 则3=3+i-e0siin0=v3-c%+(1-in0)i, 2 所以a4-2l=√(3-eos0)2+(1-sim8)2=√5-23cs0-2in0= 故答案为±√. 9.(1)证明：1(cos8+isin,）·r3(ws2+iin8)=r2 5-4n(0:号sv5=3放选D cos 0 cos 82-sin 0 sin +cos 8 sin 82 +sin 8 cos )i]=2. 9AD解析：4选项，2 12(- =-i+2i=i.A选项正确： [cos(01+a2)+isin(0,+03）], i·(-i) B选项，z=(1+)2=2i,=-2i对应点为(0.-2).对应点在虚轴上. 13 (2)解：依题意.仙= 28 risin3' i=0s 3 B选项错误： 22 n2）2 048+i问in C选项，复数=3-2的虚部为-2.C选项错误： 所以w24=co 2g+i 4048行 ■ 3 3 3 D选项，复平面内，实轴上的点(a,0)对应的复数：=a是实数.D 选项正确.故选AD 4m13 10.AB解析：由1+i是方程x3-3x2+r-b=0的根.得(1+i)3-3(1+ 322 i)2+a(1+i)-b=0,整理得(a-b-2)+(a-4)i=0,而a,beR.因此 (3)解：设x=co%0+isin0,则x=(cos0+isin8)°=os60+isin60=1. 因此如6们=0om0=1,60=2eZ.解得0-行keZ {仁0折科化2对于Aa=A正 (a-4=0. 由终边相同的角的意义，取k=0,1,2,3,4,5,则对应的8依次为0， 对于BC,方程x3-3x2+4x-2=0变形为(x-1)(x2-2x+2)=0,显然 号学怎智因此对应的长次为1，宁受宁受. #2T 13 -13 此方程还有一个实根1，另一个虚根1-1，B正确，C错误； 对于D,24=[(1-i)2]102=(-2)02m2=2,D错误放 选AB. 1.号所以所的集合是1宁宁 13,13 ,13,1,3 11.AC解析：A选项.2=(a+i)2=a2-2+2bi,故121= 13,13】 (a2-b)+(2ub)=√a+6)下=a2+2. -12222} 又因为1：2=（√02+）2=位2+b2,所以121=：2，A选项正确： 压轴桃战 B选项，当=1,0=号时，由佛英弗定理，得=(s号+ 0解析：由二倍角公式可得，题中所给的复数为 2cos-B+2isin Beoe B)(2cos-C+2isin Geos C) 血号）广恤1，所以B港项错说： 2c0s2A-2isin Acos A 4cos Beos C(cos B+isin B)(cos C+isin C) C选项，当r1.0=号时，由续爽%定理，得：m号m号 2c=A[0e(-A)+iin(-A)] -2cm Beos Cx[cos(A+B+C)tisin(+BC)] 22之，所以=」 1√3 13 00sA 2之，所以C选项正确： =2cos Beos C cos A x(cos tisin )=_2eos Beos C D选项，当=1,9=年时，由棣莫弗定理，得=气牙t 据此可得，复数+e2B+in2B)1+es2Ctin2C的虚部是0 1+cos 2A-isin 24 第七章章未检测 当#=4时，：=o5云+isn行=-1，此时不是纯座数，所以当n为偶数 时，复数”不一定为纯虚数，所以D选项错误故选AC 1.C解析：因为：=2+i,所以：=2-i.所以引=√22+(-1)户=5.故 12,1解析：复数z=-2+i(aeR)在复平而内对应的点为(-2，a),依 选C. 题意√/(-2-1)+(a-1)于=a+2,解得a=1.故答案为1. 2.B解析：=(3+i)(2-1)=7-i.则其虚部为-1.故选B. 13.4+3i(答袋不唯一，特合题意均可)解析：设复数：=a+i(a,be 3.C解析：由题意i=1-21,所以=-2.1-2.-2-.所以：在复 2 R满足题查，期0b>,所以复数：可以是43机放答案为4+3 a2+62=25, 平面内对应的点为(-2，-1)，它在第三象限放选C (答案不唯一，符合题意均可) 4A舞折：国为-562.且 14.1解析：因为复数：=a+标(a,6eR),且11=2，所以2+2=4.所 2+i(2+i)(2-i) 5 以：2≤4.得-2a≤2， 语为纯虚数所以2g-0号0，解科=子故击人 所以：+子=a++a+bi+aUa-三2a.所以+ a+bi a+bi 5.B解析：由题意得Z,乙2=(2,1)-(1,2)=(1，-1)，故Z,乙对应的复 数为1-1故选B. 2a(a+3)- u-5 =2a+ +3 6A将指：复数：如得合品石云做适人 因为-2≤0≤2.所以a+3>0,>0.所以2(a+3)+-72 8 必修第二册·RJ黑白题032