第六章 专题探究2 平面向量的综合应用-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

专题探究2平面向量的综合应用 黑题 专题强化 限时：60min 题组1平面向量基本定理的应用 4.(2024·安徽马鞍山高一期中)已 1.(2024·四川成都高一月 知△ABC的外接圆圆心为O,且 考)如图，在△ABC中，点E 0.0元+0i.0=0+0i. 为AB边上的点且3AE= B O元，1O元1=1AB1,则向量AB在向量BC上的投 2EB,点F在AC边上，且CF=3FA,BF交CE 影向量为 ) 于点M,且Ai=AAE+AF,则(A,)为( C.元 .( A. 5.(2023·河北石家庄高三月考)剪纸是中国古 c() D.(9》 老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸 的某条对称轴对折.如图，将一张纸片先左右 2.(多选)(2024·江苏南京高一月考)如图所 折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪， 示，在△01B中，0元-40i,0i=20成，4AD与 展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长 为2，点P在四段圆弧上运动.则P·AB的取 BC交于点M.过M点的直线1与OA,OB分 值范围为 别交于点E,F,设0正=A0i,0示=μ0店，则 A.0m=20+30丽 . 13 A.[-1.3]B.[-2,6]C.[-3,9]D.[-3.6] 、+=7 6.在四边形ABCD中，∠B=60° C.入+：可能的取值为 AB=3,BC=6,HAD=A BC,AD. 4+/3 7 丽=则实数人的值为 ,若M是 0元.0 线段BC上的动点，N是线段DC上的动点，且 D. 的最小值为 0.0 9 满足、DN BC =记则丽，示的最小值 题组2平面向量的数量积问题 为 3.已知AB,AC是非零向量，且满足(A店-2AC)⊥ 题组3向量与解三角形问题 A店.(AC-2AB)⊥A元，则△ABC的形状为( 7.(2023·湖北武汉高二月考)在△ABC中， A.等腰（非等边、非直角）三角形 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知三个向 B.直角（非等腰）三角形 m(a.co)..c2).o(e. C.等边三角形 D.等腰直角三角形 c=)共线，则△BC的形状为 必修第二册：RJ黑白题036 A.等边三角形 使△ABC存在，并解决问题. B.钝角三角形 ①0为△ABC的重心，OA=23:②0为 C.有一个角是”的直角三角形 △ABC的外心，OA=4:③O为△ABC的内 6 心，AD=33 D.等腰直角三角形 注：若选择的序号条件无法构成三角形，需 8.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的 说明理由，且不用重新选择其他序号作答 边，已知a=3,b=3,C=30°，则A= 9.已知0为△ABC的外心，且A=T,csB花+ 3'sin C 合-2m和.则实数m 题组4用向量法研究三角形的性质 10.(2024·江西宜春高一期中)已知△ABC的 题组5向量与其他模块知识的综合 14.(2024·江西九江高一期末)如图，单位圆M 重心为0，若104+0B1=10A-0B1,且1OA1= 与数轴相切于原点O,把数轴看成一个“皮 310B1=3,则10C1= ( 尺”，对于任意一个正数a,它对应正半轴上 A.23B.10 C.3 D.22 的点A,把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M 11,(2024·广东佛山高一月考)点P为△ABC 上，点A对应单位圆上点A',这样就得到一 所在平面内的动点，满足A下=1 AB 个以点M为顶点，以M0为始边，经过逆时 IABI cos B 针旋转以MA'为终边的圆心角，该角的弧 AC ,t∈(0，+∞)，则点P的轨迹通 度数为a,若扇形0M1"的面积为石，则Oi, IACIeos C 过△ABC的 ( 0A= A.外心B.重心 C.垂心 D.内心 12.(2024·山东青岛高一月考)在 01m23456 △ABC中，AB=4,0是△ABC的 外心，M为BC的中点，A元· 6B.3 C.3 D.6 A0=14,N是直线OM上异于M,0的任意一 15.(2024·辽宁辽阳高一期中)人脸识别就是 利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距 点，则A示·BC= ( 离是检测相似度的常用方法.假设二维空间 A.3 B.6 C.7 D.9 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 中有两个点A(x,出，)，B(,32),0为坐标 原点，定义余弦相似度为cos(A,B)三 6.e,若6ms}asnR cos(0A,0B),余弦距离为1-cos(A,B).已知 (1)求角A: P(cosa,sina),Q(1,-√3)，若P,Q的余弦 (2)设a=6,0为△ABC内一点，线段A0的 延长线交BC于点D, ( ,求△ABC 距离为35则=2a+) 的面积 在下面三个条件中选择一个补充在横线上， c.3 第六章黑白题037在△GDM中，cD=6wn60-192x号-28(m.故选C 店.花1 1花之A=60, C05A= 13.C解析：设∠ABC=0,0<0<m,在△ABC中，AC2=42+(23)2-2× ,△ABC为等边三角形.故选C, 4×25·c080=28-165c0s0, 4.c解析：由0.0+0.0i=0亦+0成.0元0.0元-0+0. CD=AD,∠ADC=60,.△DAC为等边三角形 0i-0i.0t=0=0.(ot-0i)-0i.(0成-0i=0(oi-0i) S图边形AD=S△ABG+SADAG=2 *4x25n04 AC2=45in0+ (O成O)=0,即，A花=0，所以1A花，作图如图： 4 由上可知△ABC的外接圆圆心O是BC的中点 (28-165m=75+85n(0号） 又因为1O元1=A店1，所以1B武1=21A店1，即 当=5时，草坪ABCD的面积最大， ∠ACB=石，则LABC=子，所以向量在向量 6 此时AC=√28+24=2√13（百米），故选C 证上的投影向量为1了·府红， 3211 专题探究2平面向量的综合应用 成故选C 黑题 专题强化 5B解析：设与的夹角为日，则市，A市=1市111cos日 1,A解析：由题意知，点E为AB边上的点且3AE=2EB,点F在AC边 上，且CF=3FA,因为B,M,F三点共线，所以存在实数m使得= 2110s8,由平面向景数量积的几何意义，可知1A1c0%9表示市 n应4(-m)市：名n正(-m)市又因为C,E三点共线，所以 在A方向上的投影由题图可知，当点P在D中点处时，币1©os0有 最小值，此时1市1=√P+下=2，亦.市=1币11市1cs0= 存在实数n使得Ai=nA应+(1-n)A花=n应+4(1-n)A市，可得 2om。-2:当点P在屁中点处时，mB有最大值，此 2m=, 新得了名即：名衣号衣因为丽 6 时1=√3+平=而，.=110=0x2x3 (1-m=4(1-n), 10 应所以A名子故法人 6,所以A币.A店a[-2,6].故选B 1 2.ABD解析：对于A,由AD与BC交于点M,得A,M,D共线，令i 6.621 解析：在四边形ABCD中，A市=AB武，AD∥BC tAi,则0i-0=t(oi-0,即有0i=(1-)0+t0i,而0=40元， ∠B=60°，∠DMB=120.又AB=3,BC=6,市.话=6A. 币成，于是0成=4(1-)0宁成，由B,M,c共线所以存在 3m120A 3 实数：使得O成=：0成+(1-)应，得41-)+=1，解得1=号，因 如图，以B为原点建立平面直角坐标 系，设则、D 此0成：耐成.A正确： BC DC =,te[0,1],则C(6 对于B,由0成，成=A成，亦0殖，得0成=成 0)0(,39）.o).所以成 名成雨EF共线所以有在实数y使相-y0成4(1)定 (仔）成：(-名9）所以成=成=（仔 于12-1正瑞 5)所以成.成=(）子+2r-2a=21 对于c,依题意，A>0,则Ag=(大是)A+)号(4 分)广京分房以当分时，成：成激得最小值宁故答 片出）≥“号，当且仅当片公即=51时取等号，面 案为行： 四易错提醒 “酒，，因此A不能取( 7,C错误： 转化为函数问愿后，要先写出面数的定义城，再讨论取值范围，否则 7 容易出错 对于D, 成.040.0i .3 .00i.成 1.A舞折：向量m=(a,m分)a(,m受)共线。 台>品当且仅当=3以：时数等号，因我：产的最水值为 0.0i 号.D正确放连A即 3.C解析：(A店-2心)1店. :0心分号0c号号小分号，即4a周理可得B-C (A-2心·店=0， “,△ABC的形状为等边三角形.故选A 即A店，A成-2花.成=0. 8.30°解析：（方法-）由余弦定理可得c2=b2+a2-2abc0sC,2= 32+(5)2-2×3×5×c0%30°=3，c=√5.再由余弦定理可得a2= (A花-2A)⊥A元.(At-2A·At=0, 2+c2-2hcc0sA,(5)2=32+(5)2-2×3×3×cosA,cosA= 即A元，A花-2A.A花=0 √3 店.亦=戒.A元=2市.花，即A=A元. 2M=30 参考答案黑白题021 (方法二)（向量法）A=(成-C)2=C亦+C亦-2C.d=(5)2+ 若选条件②：设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理得 32-2x3x3xc0s30°=3，c=a=3,4=C=30 mLBc2R,所以R=6=25 93 2 解析：等式两边同时点乘向最店， 2 可得B恋C花.成=2m·花.在 若0为△ABC的外心，则A0为外接圆半径，所以A0=25+4,条 sin C sin B 件②与此矛盾，此时△ABC不存在 0sB.2+ag:b·c00sA=2m·d.i 若选条件③：因为O为△ABC的内心，所以∠BAD=∠CAD= sin B 由向量投影得市.店.2c2 号4Mc= 6 22 由5auc三5aut5a得宁写宁：A0n后宁 sin B ·b·cesA=m·e2, cos B cos C 0名 s血C·cB·bcaA=m·c 由正弦定理知cosB+cos Ccos A=msin C, 因为A0=35,所以k=3V厅x6).即be答由余孩定理 2 .m=cos B+cos Ceos A 可得6+e2-c=a2=36,即(b+e)2-3=36.所以c 9 -3be-36=0. sin C =cos(-A-C)+cos Ceos A sin C 即(c+o)(g4）小a 也C血4号 因为e=36,所以b=e■6，此时△ABC存在，为等边三角形. sin C 10.B解析：因为1O+O市=1O-0市1，所以O.O成=0.而耐+0成 2*36x 所以Sac=2sin∠AG= 29 0t=0,故0t=-(0i+0i),则10t1=O+0+20成.0市= 14.A解：扇形O的面积S==宁a=解得=号 3 √9O+0=0.故选B. 0=1,∠40=号-号=云，0A=号，所以d,a 11,C解析：由题意，市，C市=t .◆花.南）} IABIcos B IACleos C a.网mL4n-宁as君-故选A 3 :(成财 =(成1-BC1)=0,故市所在的直线 IABlcos B IACIeos C 15.D解折：因为P,0的余孩距离为，所以1om(PQ=3 与三角形的高重合，故通过垂心故选C 12.B解析：因为O是△ABC的外心，M为BC 放m(P,0=m(成，动》=停cam(亦，动=g 1×2 的中点，设AB的中点为D,连接0D,如图， 所以0M1BC,0D⊥AB,设O成=AO成，则 3 3 2 成.戒=（市+O).戒=市.戒+ AO.B武=A和.B武=A.(+A花)=A市.+A花，A花=-Ad ）2o2(a+号）1=2x1放选D AB+Ad,A元 又0是△ABC的外心，所以Ad.A店=1Ai1·1M店1cos∠BA0= 第六章章末检测 (im∠B40),=子p=4=8, 1.C解析：因为e1和e2是两个不共线的向量，a=e1-2e2,b=2e1+ ke2,a与b是共线向量， 所以4.武=-Ad.A访+A0.A花=-8+14=6.故选B 所以设b=a,AeR,则2+he2=A(e,-2),所以之，所 -2A=k, A A 13.解：(1)bcs子=as血B,放nBcs2=sin AsinB, 以k=-4.故选C 即白=会2血子=子很因为ABe0, 2.A解析：A=180°-45°-60°=75°，A>C>B,,边AC的边长b最 放血0，oa=子0，所以血子宁 复尚始n后c得6如出都-做选人 3.D解析：若a与b所成的角为锐角，则a·b>0,且a与b不平行，即 又0<受，所以故A= a·b=2(m+1)-m>0,解得m>-2若向量a∥b,则-(m+1)=2m,解 (2)若选条件①：因为0为△ABC的重心，且A0=23,所以AD= 得m=寸所以实数=的取值范国是(2，号）（号+）】 240=3w5 故选D. 4,A解析：由题意知 又市=之（破+花，故2=（前2+花2+211· 大斜2+小斜2-中斜2)1 2 eA0,即27=（C44o), 又小斜=5-1，大斜=5+1，中斜=5，所以8ac 由余弦定理得a2=c2+62-2 becos L BAC,即36=62+c2-bc,解得b=c= (3+1)2+(3-1)2-(5)2)21 6,此时△ABC存在，为等边三角形. 2 2 设大斜边上的高为A周5宁·大解=所以 2 必修第二册·RJ黑白题022