第六章 专题探究1 余弦定理,正弦定理的应用-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

,没解折：如图，注B作1CE于点F则 3PB2-2h2 ◇ 23h·PB 四边形BHEF是矩形.在Rt△ADE中，iana= 又因为∠APC+∠APB=T,所以cos∠APC+eos∠APB=0.即 4-EE所以E=32m 3 AE 8 3 m. 9P- 3PB2-2h2 1 在R1△ABH中，n∠BAH= ,极=2V而m,所以s∠BH= 23h·PB23h·PB 0,可得P8=1g。 -,所1以AH=6m,BH=√AB-A=√40-36=2m= 所以由PB=50米，得=√停×50-150，故答案为0，厅 /18 7 10 AB 210 EF,所以BF=IE=AH+AE=6+8=14(m). 专题探究1余弦定理、正弦定理的应用 在Rt△BCF中，tan∠CBF=an(∠ABC-∠ABF)=tan(∠ABC- 171 里题 专数通化 乙BH=tan LABC-an∠B 113 4 1.ABC解析：对于A,由余弦定理可得c=√香2+-2besC= 1+n∠ABCtan∠BAH 1+17x15 113 √16+4-2x4x2x乏2,5，由于=+2，赦△Bc为直角三角 CFCF 4 而tan∠CBF= F“日，所以CF= m,所以CD=CE-DE= 形.A正确 5 对于B.因为三角形的三边长分别为a=5.b=7,c=8,所以csB= )-=(号，故答案为 15 子因为Be0,,所以B=号放4G=则该三角 52+82-72 1 AC 1 82232解析：在△4G0中，0n83a7示（米). 形最大角与最小角之和为号B正确 BD AD BD 在△ABD中，由正弦定理.得 即 sim∠BAD sin∠ABD in(83°-23y AD 3 对F6,南正弦定理可得智一。血B:之，由于eO 23所以BD=2im2397示米) 2 因为in30°=sin(23°+7)=in23°0%7°+s23°in70.且 sin16°=inm(235-7)=in23cos7-0s23°sin7°，所以2in23e. 号），故=c正确 o7=n30°+in16°=0.776，所以-732 2.232(米).故答案 0.776 对于D,由行<sA可得e<mA曰血G<nBA台(B+ 为2.232 A)=sin Be0aA+cos Bsin A<sin Beos A,所以cos Bsin A<0.由于A.B∈ 9（5+三）m2解折：在△06中，∠40B=8,0B=1a O,所以血B0,进面mB0,故Be(受=），因此△AC为 0A=2 km,..AB2=0B2+042-20B.0A cos 0,AB=/5-4cos 0. 钝角三角形，D错误.故选ABC 六5a0a=5anw5a度=0i,0B:s血rf, 2 、2.C解析：由题意知.SA微=26nC=2 46,又SAm= 8所以 六SR0a=im在2os+号，则Sm边形0m=5n(0-p)+2(共 5 5 2 g,得e2=22ad.由余弦定理得e2=a2+6-2bsC=r2+62 中mp=2),当m(0-y)=1时，S06取最大值5+ 2“直 2b,所以22=2+6-2h.得2+6。 =32.故选C 接痘测覆盖以城面积的最大值为(5+三）km二放答案为(5+ 2c 3.C解桥：r=185 -1-18当且仅当 nt. a=c时取等号， 3 10.150v年 .c0sB≥1 解析：设孔明灯的高度A=h米，通过解直角三角形得 B,即5nB43mB≥3，即m(号）≥ 在点B处测量这个孔明灯的仰角∠0BA=45°，则BA=米；在点C 80.)B号e(5)B+号e(得号]Bc 处测量这个孔明灯的仰角∠OC1=30°，则AC=3h米：在点P处测 量这个孔明灯的仰角∠0PA=60°，测AP= 3米 (0,牙]故选c 4.B解析：由a=1,eosA=1+osB,得bsA=u+e0sB.由正弦定理 由基线BC上靠近B的四等分点处有一点P,且BC=200米，则 可得sin Beos A=RinA+inAe%B.即inBe%A-sin Acos B=inA.所 PB=50米.PC=3PB. 以im(B-A)=sinA,所以B-A=A或B-A+A=(会去)，所以B=2A. +PC2-(3h)2 AP2+PC2-AC2 由正弦定理得6=9nB_n24.2A面0<A<行.0<B=24<行.0< 由余弦定理得s∠AP℃= sin A sin A 24P·PC 3hP G=-3M<m,所以0<A<3,所以2<sAKl,所以6=2A 9.F (1,2),所以b的取值范围为(1,2).故选B. 5.D解析：如图.由题意可知D为AC的中点，设 23h·PB GD=1.1>0,则AC=BD=2,则在△BCD中 2 o∠APB=4P+PB2-4e CO LBDC=CD+BD-BC-2 2CD·BD 42 2AP·PB 24 3h·PB 2w3 h·PB 则△BGD的面积S=21·2 Dsin ZBDC= 参考答案黑白题019 2-co2LB0c=2,/1- 2+42-22 42 2 ∠BCD= 后-沿cmc=87得号 5T T 7T 1 等号， 在△ABC中，由正弦定理可知BC=C三4-1CAC=+6 32 所以△BCD面积的最大值为；，△ABC面积的最大值为 ,BC上 高的最大值为。=放选D 在△DBc中，由正弦定理可知BC.CD→4CDCD=22. 2 ,21 2 2 6.C解析：如图，因为-b.血C-i血B,所以 e+b sin A 在△DAC中，由余弦定理可知 (a-b)sinA=(c+b)(sinC-inB).由正弦定理 得a(a-b)=(c+b)(c-b),可得a2-ab=c2-62. AD=VC+CD-2AG·Cs∠ACn.2, 3 即a2+6-e2=ab,所以s∠ACB=产+2-c2 9.A解析：由市·A店=4，得币在店上的投 影向量A4的模1AM1=1,因为AD=2, 分又∠4C8e(0,).则∠40B=号因为D是A的中点，CD=1, ∠D=号，所以心在上的投影为 故d+a成=2成，两边平方得+亦+21di.1m号 动im号=2x号=1.如图，科PA1,点P与点D重合.因 4d亦，所以+n2+h=4,故(b+n2=4+b,其中b≤a+b,故 4 为AB=4,AD=2,∠B=于所以BD2=A+A02-2B· (6+0)2=4≤4+（a+b二（当凰仅当a=6时等号成立).解得ah≤ 4 做C A0∠RAD=16+4-2x4x2x子=12.所以BD2+MD2=2+4=A,所 以AD1D,所以市.=市.币=0，放选A 7.AB解析：连接AC,对于AB,在△ABC中，由余弦定理可得AC2= 10.v②T 解析：过点Q作PR延长线的垂 AB2+BC2-2AB.·BCcos B.即AC2=1+9-2×1×3osB=10-6esB. 14 在△ACD中，由余弦定理可得AC2=A+CD2-2AD·CDD, 线，垂足为D,连接PQ,如图所示，由题意 即AC2=4+6-2×2×w6csD▣10-46c0s(T-B)=10+4w6%B. 可知T=2红=6.则0=- -=3.∠xRQ= 2 整理可得44C2+6AC2=40+106,解得AC=√10，故A正确： 3 可知AB+BC2=AC,则B=号，放B正确： ∠RQD= =3x 6 DR-DQ ian 6= -=3,,PR=√3，DP=23 3 对于D,可得D=受，所以四边形ABCD的面积为X1x3 2 -×2 PQ=√PD+D0=√/T2+9=√2T. 6:6,放C输 PR 由正弦定理可知 sin∠PRO in ZPOR则n∠POR= 在△ABC中，可得s∠ACB= 3 .sin∠ACB= 10 10 PR·sin∠PRQ 在△4CD中，可得m=LACD=A,血L4CD=2,则s∠BCD Po 2T 14 ,故答案为 14 5 11.B解析：如图，当台风中心向西北方 cos(∠BC4+∠DCA)=c0s∠BC4os∠DCM-sin∠BCAsin∠DCA= 向移动到达点C时，AC的距离恰好为 150km,此时该城市所在地开始受到 某城奇 361 105 影响，设：小时后该城市所在地开始 台风中心 受到影响，台风中心移动速度为20km/h,所以BC=20rkm.由题意 若∠RD=2∠BCD,注意到∠B4D+∠B0D=,则∠BCD=号，可 知，AB=200km,义台风中心向西北方向移动，所以∠ABC=45°. 得∠BCD}一36；即∠BCD写放D错误故选AB, 由余弦定理可得cosLABC=1+BC2-AC202+(20)2-150 2AB·BC 2×200×204 8.解：(I)由正弦定理边化角得3 sin Csin A+sin Acos C=sinB+sinC, cos 450= 2 因为sinB=sin(A+C)=sin Acos C+os Asin C. 3sin Csin A+sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C+sin C. 解得✉102-5 45或1=102+5-9.5（含去），则大约45小时后 2 2 3sin Csin A=cos Asin C+sin C. 该城市开始受到影响，故选B, 因为C∈(0，元)，所以inC≠0. 12.C解析：因为△AMB是等腰直角三角形，所以AW=√互AB= 所以5mA41,即2m(气46)1，m(g）分 1922(m). 在△4MG中，∠AMC=180°-45°-60°=75°，∠MAC=15°+45°=60°. 因为A后(0，)，所以4-石后（行）因此A石 所LNC1=180°-75-60°45.由正弦定理可知WG了 (2)由(1)可知A=号，由题意可知∠B0=5,∠4CD=名 sm∠C→G/=4r.sm∠HC192,2x sin∠MCA =1923(m） 必修第二册·RJ黑白题020 在△GDw中，cD=Cm60=192,x号-2s(m.故选C 店，花1 花24=60， :c05A= 13,C解析：设∠ABC=0,0<0<m,在△ABC中，4C2=42+(2)2-2× ,△ABC为等边三角形.故选C, 4×25·e%9=28-163c048 4.C解析：由.0+0.成=亦+0，=.元-亦+. CD=AD.∠ADC=60°，△DAC为等边三角形 0成-0i.0元=0=0，(0元-0i-0i.(0元-0i=0=(0-0i)· S四边意n=Sac+S△nG=2 4x23m04 -AC2=43im8+ 4 (O元-D)=0,即·A元=0.所以B1A元作图如图： 由上可知△ABC的外接圆同心)是BC的中点 3 (2s-16,5m0=5+85n(0号） 又因为0元1=A1.所以1B配1=21AB1,即 当日=5严时，草坪ACD的面积最大， ∠4CB=石则∠c=号.所以向量在向量 6 此时AC=28+24=2√/13（百米），故选C 心上的投影向量为1m号·=】 =1s2. 32A 专题探究2平面向量的综合应用 成，放选C 黑题 专题强化 5.B解析：设币与A的夹角为日，则A币.A=A正11A店1c8= 1.A解析：由题意知，点E为AB边上的点且3AE=2EB,点F在AC边 21A产cos8,由平面向量数量积的儿何意义，可知1A产1cs8表示A产 上.且CF=3FA.因为B,M,F三点共线，所以存在实数m使得AM= n应(1-m)产：三正4(1-m衣又国为c,上三点共线所以 在A存方向上的投影由题图可知，当点P在中点处时，A币1日有 最小值，此时1A币1=个+下=2.市.A店=1市11店1os0 存在实数n使得A=n正+(1-n)亿=nA症+4(1-n)市，可得 5 区2o一行-2：当点P作屁中点处时，一0有最大值，此 标得和兮名期：名正号衣树为 时=√3+下=o,市.=s=√0×2x3 (1-m=4(1-), 10 成所以4名子故法人 6,所以币.A店∈[-2,6].故选B 6.621 解析：在四边形ABCD中，=AB成.AD∥C 2.ABD解析：对于A.由AD与BC交于点M.得A,M,D共线.令= tA市，则0i-0=(0-0).即有0=(1-4)0+t0d.而O=40元. ∠B=60°，∠DMB=120,又AB=3,BC=6,Ad.A=6 元=成，于是0成=41-)元宁成，由B,1,C共线，所以存在 3 1 3ms120=-2A=6 实数：使得：+1-)成得41-)+子=1，解得1=乡.因 如图，以B为原点建立平面直角坐标 系.设B/DN 此0+号成.A正确： BC DC t.1a[0,1],则C(6 对于B由0=}+3成.成=A成亦=4成得=成+ o.(3)0.所以成 7A 3亦，而E,M,F共线，所以存在实数y使得O=y0+(1-y)0成. 对于c.依题意A>0.则Au=(什2)A*m)=气4 女公）当且仅当货公甲=5A时取等号，面 四易错提醒 “2百，因此红不能 7,C错误； 转化为面数问髓后，要先写出函数的定义城，再讨论取值范国，否测 7 容易出错 对于D, i.亦.o成 .3 .0成oi.0成 ,显然7=2≥2 A 1.A解折：向量m-(么，am子）a=么.一号)共线. a>≥号当且仅当=3-时取等号，因我定：应的最小值为 49 0.0 号.D正确故结Am 2sin A 222 3.C解析：(A-2A心)1A店. <子0c受受小分号即4=B同理可得B=C ÷(凉-2心·市=0， ∴△ABC的形状为等边三角形.故选A 即店.A店-2花·萌=0 8.30解析：（方法一）由余弦定理可得c2=b2+a2-2abc%C,.2= 32+(√3)1-2×3×3×s30°=3，.e=√3.再由余弦定理可得a2三 (花-21花，.（花-2店·A花=0， b2+e2-2 ccos A,∴（万）2=32+(5)2-2x3×3×eosA.eosA= 即A元.A元-2B,A元=0. 3 -A店.A=A花.A花=2店.A花.即1A=A。 24=30 参考答案黑白题021专题探究1余弦定理、正弦定理的应用 黑题 专题强化 限时：50min 题组1正、余弦定理的简单应用 5.(2024·安微阜阳高一期中)已知在△ABC 1.(多选)(2024·四川绵阳高一期末)记△ABC 中，BC=2,D为AC的中点，且AC=BD,则边 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则( BC上高的最大值为 ( ) A.当a=4,b=2,C=T时，△ABC为直角三 2 3 A.3 C.2 角形 题组2正、余弦定理的综合应用 B.当a=5,b=7,c=8时，△ABC最大角与最 6.(2024·福建福州高一期中)已知△ABC中， 小角之和为号 角A,B,C对应的边分别为a,b,c,D是AB的 C.当a=43,6=4.A=2时，B= 中点且cD=l,a-b_sinC-sinB 则a+b的最 c+b sin A 大值是 () D.当分<sA时，△ABC为锐角三角形 B83 2.(2024·福建龙岩高一期末)在△ABC中，内 1,2 3 角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=T D.43 △48C的面积为G则 7.(多选)(2024·广东东莞高一月考)如图，在 ab 四边形ABCD中，已知AB=1,BC=3,CD= 32 A.2 B.22 C.32 D.42 √6，AD=2,B+D=T,则以下说法正确的有 3.(2024·河南周口高一期末)在 △ABC中，角A,B,C所对的边分 别是a,b,c,若b=6,ac= 183 sin B' 则B的取值范 围为 ( Ao】 o】 A.AC=/10 c.(0.] (o.] B.B=T C.四边形ABCD的面积为3+26 4.(2024·山东菏泽高一月考)在△ABC中， 角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1, D.A=2C beosA=1+cosB,则边b的取值范围为 8.(2024·安徽马鞍山高一期中)已知a,b,c分 别是△ABC三个内角A,B,C的对边，且 A.(0,1) B.(1,2) 3csin A+acos C=b+c. C.(0,2) D.(2,3) (1)求A: 必修第二册RJ黑白题034 (2)若BC=4,将射线BA和CA分别绕点B,C 150km以内的地区都将受到影响，若台风中 顺时针旋转15°，30°，旋转后相交于点D 心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城 (如图所示)，且∠DBC=30°，求AD. 市所在地开始受到影响（参考数据：√2≈1.4） () A.2 B.4.5C.9.5 D.10 12.(2024·浙江湖州高一期末)湖州东吴国际 双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也 被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地 标如图，为测量双子大厦的高度CD,某人在 大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB 约192m,在它们之间的地面上的点M (B,M,D共线)处测得建筑物顶A、大厦顶C 的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测 得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子 题组3正、余弦定理与其他模块知识的综合 大厦的高度CD约为 ( 9.(2024·湖南怀化高一期末)在平行四边 形ABCD中，AB=4,AD=2,∠BMD=行，点P ◇ 1501 在CD边上，A.AB=4,则A.B=( 口口 ▣60°245°▣ D M A.0 B.、I 2 C.-1 D.1 A.284m B.286m 10.已知函数)=Asn(得+p小，xeR,A>0, C.288m D.290m 13.(2023·山西运城高一月考)某社区为了美 0<p<受yx)的部分图象如图所示，P,Q 化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状为 如图所示的四边形ABCD,AB=23,BC=4 分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐 标为(1，A),点R的坐标为(1,0)，∠PRQ= (单位：百米)，CD=AD,∠ADC=60°，且拟 在A,C两点间修建一条笔直的小路（路的宽 名7则sin∠P0水日 度忽略不计)，则当草坪ABCD的面积最大 时，AC= ( 题组4正、余弦定理的实际应用 11,(2024·江苏南京高一期末)在某城市正东 方向200km处有一台风中心，它正向西北方 A.27百米 B.2/10百米 向移动，移动速度为20km/小h,距离台风中心 C.213百米 D.219百米 第六章黑白题035