6.2 平面向量的运算-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

6.2平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算甲6.2.2向量的减法运算 白题 基础过美 很时：25min 题组1向量的加法运算 (1)AD-AB:()AB+CF:(3)EF-CF. 1.(2024·广东佛山高一期中)在矩形ABCD 中，AB=3,AD=4,则1AB+AC+AD=( A.6 B.8 C.10 D.12 2.(多选)(2024·河南郑州高一月考)如图，在 平行四边形ABCD中，下列计算正确的是 题组3向量的三角不等式 7.a,b为非零向量，且la+b1=Ial+b1,则( A.a与b方向相同 A.AB+AD=AC B.AC+CD+DO=0A B.a与b方向相反 C.AB+4A元+CD=AD D.AC+BA+DA=0 C.a=b 题组2向量的减法运算 D.a,b无论什么关系均可 3.(2024·湖南衡阳高一期中)(4B-CD)-(4心 8.给出下列不等式或等式： Dllal-1bll<la+bl<lal+lbl; BE)= ( 21lal-1bll=la+bl=lal+lbl; A.DE B.E元 C.CE D.EC 1lal-1bl1=la+bl<lal+lbl; 4.(2024·浙江台州高一期中)如图，向量AB=a, llal-lblI<la+bl=lal+lbl. AC=b,C=c,则向量BD可以表示为 ( 其中一定不成立的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 9.(2024·福建莆田高一月考)已知1AB1=6, 1AC1=3,则1BC1的取值范围是 ( A.a+b-c B.a-b+c A.[3,6] B.(3,6) D.(3,9) C.b-a+c D.b-a-c C.[3,9] 题组4向量加减运算的实际应用 5.(多选)(2024·江苏扬州高一月考)下列结论 10.如图，已知电线A0与天花板 恒为零向量的是 ( 的夹角为60°，电线A0所受 A.A2-(B元+C B.AB-AC+BD-CD 拉力1FI=24N.绳B0与墙 C.0A-0D+AD D.NO+OP+MN-MP 壁垂直，所受拉力P21三 6.如图，已知0=a,0=b,0C=c,0i=d,0呢=e, 12N,则F1与F2的合力大小为 O示=f,试用a,b,c,d,ef表示下列各式： 向为 第六章黑白题003 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2024·河北廊坊高一月考)下列各式中不能17.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且 化简为PQ的是 ( 处于平衡状态.已知两根绳上的拉力分别是 A.AB+(PA+BO) F,F2,且F,F2与水平方向的夹角均为45°， B.PA+A店-Bd 1F,I=|F2|=102N,则物体的重力大小为 c.0元-0P+cd N D.(AB+P元)+(BA-QC) 2.（2024·河南三门峡高一月考)若在△ABC 45 中，AB=a,BC=b,且lal=1b1=1,a+b1=2, 8.(2024·陕西西安高一月考)已知非零向量a, 则△ABC的形状是 ( A.正三角形 B.锐角三角形 b满足1a=1b1=1a-b1,则a-1 la+bl C.斜三角形 D.等腰直角三角形 9.如图，点M,N在线段BC上，且BM=CW,试探 3.(多选)(2024·江苏盐城高一月考)对于菱 求AB+AC与AM+AW的关系，并证明. 形ABCD,给出下列各式，其中正确的为( A.AB=BC B.IABI=IBCI C.IAB-CDI=IAD+BCI D.IAD+CDI=ICD-CBI 4.(2023·江苏常州高一月考)某人在静水中游 泳的速度为3m/s,河水自西向东的流速为 1/s,此人朝正南方向游去，那么他的实际前 进方向与水流方向的夹角为 ( A.90° B.60° C.45° D.30° 5.（多选)下列说法错误的有 ( A.如果非零向量a与b的方向相同或相反， 那么a+b的方向必与a或b的方向相同 压轴挑战 B.在△ABC中，必有AB+BC+C=0 C.若AB+BC+C=0,则A,B,C一定为一个三 (2024·山东枣庄高一月考)设单位向量a, b,c,若p=a+b+c,则lpl的取值范围为（ 角形的三个顶点 A.[0,3] D.在四边形ABCD中，一定有AB+A心=AC B.[0,2] 6.已知向量a,b的夹角为120°，1a|=1b1=1,c C.[0,1] 与a+b共线，则Ia+cl的最小值为 ( D.[1,2] A.1 进阶突破●拔高练PO1 必修第二册·RJ黑白题004 6.2.3 向量的数乘运算 白题 基础过美 很时：25min 题组1向量数乘的定义与运算法则 1.设a是非零向量，入是非零实数，下列结论正 A. B写+d 确的是 ( c+证 n号丽+d A.a与-入a的方向相反B.I-入a≥Ia C.a与λ2a的方向相同D.I-Aa|=I入Ia 题组3向量共线的判定 2.（多选)(2023·安徽马鞍山高一月考)已 7.（2024·广东佛山高一月考)已知向量a= 知m,n是实数，a,b是向量，则下列命题中正 e1-2e2,b=2e,+e2,c=-6e1+2e2,其中e1,e2不 确的为 共线，则a+b与c的关系为 () A.m(a-b)=ma-mb A.不共线 B.共线 B.(m-n)a=ma-na C.相等 D.无法确定 C.若ma=mb,则a=b 8.(2024·山东青岛高一期中)若e1,e2是不共 D.若ma=na,则m=n 线的向量，且A店=e,+e2,A元=3e,-2e2,C⑦= 3.(多选)如图，设P,Q两点把线段AB三等分， 4e1-6e2,则 则下列向量表达式正确的是 ( A.B,C,D三点共线 B.A,C,D三点共线 B C.A,B,D三点共线 D.A,B,C三点共线 B而子 9.(2024·浙江温州高一月考)在四边形ABCD A丽证 中，对角线AC与BD交于点0，若3OA+0元= C脉 D.Ad=B驴 3OD+OB,则四边形ABCD一定是 A.矩形 B.梯形 题组2向量的线性运算 C.平行四边形 D.菱形 4.(2024·江苏南京高一月考)10(a+b)-(a-b)= 题组4向量共线定理的应用 ( 10.（2024·江苏盐城高一月考)已知向量4，b A.11a+9b B.11a+11b 不共线，且c=入a+b,d=a+(2A-1)b,若c与 C.9a+9b D.9a+11b d同向共线，则实数入的值为 () 5.(2024·福建莆田高一期中)在平行四边 1 形ABCD中，点E清足正=记，则B屁- A.1 B.2 C1或号 D-1或号 4 11.已知0，A,M,B为平面上四点，且0M=入OB+ 丽柿 D.+历 (1-入)0A,实数A∈(0,1)，则 ( A.点M在线段AB上 6.(2024·福建厦门高一月考)在△ABC中，点E B.点B在线段AM上 是AB上靠近A的三等分点，F是CE上靠近C C.点A在线段BM上 的三等分点，则A下= D.0,A,M,B四点一定共线 第六章|黑白题005 黑题 应用提优 限时：35min 1.设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e,则下15.(2024·浙江宁波高一期中)点0在△ABC的 列表示形式中，正确的是 ( Ac品 内部，且满足：40-写+号正.则△4BC的面 B.a=lal·e 积与△AOB的面积之比是 ( C.a=-lal·e D.a=±lal·e A.2 B.3 5 2.(多选)(2023·福建龙岩高一月考)在△4BC中， C D.2 D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为 6.(2024·江西宜春高一月考) △ABC的重心，则下列结论中正确的是( 如图，A,B,C三点在半径为1 A.AB-BC=CA B.AC=子(a丽+AG 的圆0上运动，且AC⊥ C.A+BD+C元=0 D.G+GB+G元=0 BC,M是圆0外一点，OM=2,则1MA+M正+ 3.（多选)(2024·福建泉州高一期中)正五角星 2MC的最大值是 ) 是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金 A.5 B.8 C.10 D.12 分割有着密切的联系在如图所示的正五角 7.（2024·河南郑州高一月 考)如图所示，在△ABC中， 星中，多边形ABCDE为正五边形，AP PT 点D为BC边上一点，且 5-1=0.618)则 BD=2D元，过点D的直线EF与直线AB相交 于E点，与直线AC相交于F点(E,F两点不 A.CO+TP=DS 重合).若AE=AA丽，AF=uAC,则入+μ的最小 B.ES-RO=PA 值为 C.A+-5-l 压轴挑战 (多选)(2024·江西抚州高一期中)已知 丽-5冠 △ABC中，点P满足PA+P店=CP,点Q在△PBC 4.(2023·山东临沂高一月考)在△ABC中， 内（含边界），其中A0=xA正+yA配，则() ,西号花则点P BO A在线段BC上，且即2 BC 9 B若P,Q两点重合，则0=+d B.在线段CB的延长线上，且那_2 BC9 C存在，使得+-能成立 C在线段BC的延长线上，且即=？ BC 9 D存在，使得+2-能成立 D.在线段BC上，且SP2 BC-9 进阶突壞拔高练PO1 必修第二册·RJ黑白题006 6.2.4向量的数量积 白题 基础过美 很时：40min 题组1向量的数量积的定义及运算律 7.(2024·广西柳州高一月考)已知a,b方向相 1.(2024·广东佛山高一月考)已知1a1=√3， 同，且1al=2,1b1=4,则12a+3b1等于() 1b1=23,a与b的夹角是120°，则a·b等于 A.16 B.256 ( C.8 D.64 A.3 B.-3 8.(2024·江苏无锡一中高一期末)已知平面向 C.-33 D.33 量a,b满足1aI=2,a与b的夹角为120°，若 2.(2024·江苏泰州高一期中)已知单位向 Ia-b1=2√7，则1b1等于 () 量e1,e2的夹角为120°，则(2e1-e2)·e2= A.2 B.25 C.4 D.43 A.-2 B.0 C.1 D.2 题组4向量的夹角 3.(多选)(2024·河北廊坊高一期末)关于平面 9.(2024·湖南邵阳高一期中)已知向量a,b满 向量a,b,c,下列说法不正确的是( 足1a|=5,1b1=6,a·b=6,则cos(a,b)= A.(a-b)·(a+b)=a2-b2 ( B.(a+b)·c=a·c+b·c 5 4 C.若a·b=a·c,且a≠0，则b=c .5 D.(a·b)·c=a·(b·c) 题组2投影向量 c 4.(2024·浙江嘉兴高一期中)已知1a|=√3，且10.(2024·湖南衡阳高一期中)已知e1,e2是不 a·b=-3,则向量b在向量a上的投影向量为 共线的单位向量，a=e1+2e2,若1a|=7, ( 则e1,e2的夹角为 ( ) A.-a B.3 A.30° B.45 C.60° D.120 C.-b 11.(2024·江苏连云港高一期中)已知向量a 5.(2024·广东惠州高一期中)已知1b1=3,a在 与b的夹角为60°，|a1=2,1b1=3,则a-2b 与a夹角的余弦值是 b上的投影向量为26，则a·b的 题组5向量的垂直问题 值为 12.(2023·山东临沂高一期中)若平面向量a,b 题组3向量的模 的夹角为60°，且1al=21b1,则 () 6.(2024·辽宁本溪高一期中)已知向量a,b满 A.a⊥(b+a) 足Ial=2,1b1=√3，a·b=1,则1a+b1=( B.b⊥(b-a) A.5 B.6 C.b⊥(b+a) C.3 D.9 D.a⊥(b-a) 第六章黑白题007 13.(2024·江苏南京高一期末)已知非零向量19.(2024·陕西咸阳高一月考)已知在△ABC a,b,则a⊥b是1a+b1=|a-b1成立的( 中，点M是BC边上靠近点B的四等分点， A.充分不必要条件 点N为AB中点，设AM与CN相交于点P. B.必要不充分条件 (1)请用AB,AC表示向量AM; C.充要条件 (2)设硒和C的夹角为0，若cm0=日，且 D.既不充分也不必要条件 14.(2023·江苏淮安高一月考)已知a,b是单 1AC1=21AB,求证：CLA店. 位向量，若a⊥(a+3b),则1a-b1=( A.22 B26 3 C.8 D号 15.(2024·河南周口高一期中)已知非零向量 a,b满足1b1=41al,且a⊥(2a+b),则a与b 的夹角为 ( ) A m C. 16.(2024·山东临沂高一月考)若1a1=1, 1b1=2,a与b的夹角为60°，且(3a+5b)⊥ (ma-b),则m的值为 题组6平面图形中的数量积问题 17.(2024·福建福州高一期中)已知0是△ABC 重难聚焦 所在平面内的一点，若10-0元1=10+ 题组7有关向量夹角的参数问题 0元-2O1,则△ABC一定为 20.(2024·山东德州高一月考)】 A.以BC为底边的等腰三角形 已知1a1=√3,1b1=2,a与b B.以AB为底边的等腰三角形 的夹角为30°，若向量a+b与Aa-b的夹角 C.以BC为斜边的直角三角形 为钝角，则入的取值范围是 D.以AB为斜边的直角三角形 A.(1,+) 18.(2023·广东东莞高一月考)如图，在△ABC 中，AB=8,AC=6,D为BC的中点，则AD· C.(-,1u1,名)D.(G+） BD= 2L.(2024·湖北武汉高一期末) 已知i与j为互相垂直的单位 向量，a=2i+3j,b=i+2小j,且a与b的夹角 为锐角，则实数入的取值范围是 必修第二册·RJ黑白题008 黑题 应用提优 限时：45min 1.(2024·广东惠州高一月考)已知向量a,b,c6.(2024·河北廊坊高一期末)若非零向量a,b 满足a+b+c=0,且1a|=Ib1=1c1=1,则a·b 的值为 ( 满是足1a+b1=1a-2b1,1b1=2则 A习 C.3 3 D. 2 2 Alal的最大值为4 2.已知非零向量a,b满足Ia|=4,Ib1=2,且a B.IaI的最大值为1 在b方向上的投影与b在a方向上的投影相 等，则1a-b1等于 ( Ca1的最小值为号 A.1 B.25 C.5 D.3 D.Ia的最小值为1 3.(2024·河南郑州外国语学校高一月考)设a, 7.(2024·河南安阳高一月考)若平面向量a, b都是非零向量，下列四个条件中，能使a b,c两两的夹角相等，且1al=1,1b1=2,Icl= lal 3,则1a+b+cl= ( b 0一定成立的是 A.√2 B.5 A.a=b B.a+b=0 C.5或6 D.5或6 C.a·b=0 D.a·b=|al·Ib1 8.(2024·浙江杭州高一期中)若平面向量m, 4.(多选)(2024·山西长治高一期末)在正 n,p均是非零向量，则“(m·n)p=m(n·p)” △ABC中，D为BC的中点，则 是“向量m与p共线”的 ( A(威，君 A.充要条件 B肪心子而 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 C.BD=DA-CA D.既不充分也不必要条件 D.B币在上的投影向量为函 9.(2023·广东深圳高一期中)已知非零向量 5.(2024·山东菏泽高一月考)如图，正方形上 A店，AC满足 AB AC 连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边 IABI IACI C=0,且破 IABI 上再连接正方形，如此继续，设初始正方 AC 1 形ABCD的边长为2，则A正·B示=( ,则△ABC的形状是 IACI A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰（非等边）三角形 A.0 B.4 C.5 D.6 D.等边三角形 第六章黑白题009 10.(2024·湖南张家界高一月 14.(2024·广东东莞高一月考)如图，在平面四 考)如图，0为△ABC的外 边形ABCD中，已知C⑦=2BA,1B元I= 心，1AB1=2,1B配1=4，则 1C1=2,B所.BC=1,0为线段BC上一点 (BA+BC)·BO= (1)求∠ABC的值； 11.(2024·福建厦门高一月考)已知向量a,b (2)试确定点0的位置，使得0·0币最小 满足11=1，ab=1,(a+b)小(a-b)=1 则a在a+b上的投影向量的模 长为 12.某热爱飞镖的小朋友用纸 片折出如图所示的十字飞 镖，该十字飞镖由四个全 等的四边形拼成.在四边 形ABC0中，OA⊥OC,OA= OC=4,AC⊥BC,AC=BC,点P是八边形 ABCDEFGH内（不含边界）一点，则Oi·AP的 取值范围是 13.(2024·江苏苏州高一期末)如图，在四边 形ABCD中，AD=4,AB=2. (1)若△ABC为等边三角形，且AD∥BC,E 是CD的中点，求A正·B配； (2)若AC=AB,a∠cB=子，花.励=子 求1DC. 压轴挑战 如图，在四边形ABCD中，AB=CD=1,点M,N 分别是边AD,BC的中点，延长BA和CD交NM 的延长线于不同的两点P,Q,则P可·(A-D心) 的值为 进阶突破●拔高练PO1 必修第二册·RJ黑白题010正文参考答案 第六章 平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 度、角度只有大小没有方向，故它们都不是向量，故D不符合题意故 选ABC 6.1.1向量的实际背景与概念 2.C解析：0,0元，d起点并不全相同，故A错误：O成，0元，4d的方向 +6.1.2向量的几何表示 均不相同，也不相反，故B,D错误；1O1=IO1=A1=园的半径， +6.1.3相等向量与共线向量 故C正确，故选C 白题 封础过关 3.C解析：对于A,1Ci1=1D心1，故A正确；对于B,1,2是单位向 1.C解析：是数量的有①质量：⑥路程：①密度，这些量只有大小，没有 量，则1e,1=1e21=1,故B正确：对于C,向量A店，Ci不能比较大小， 方向，故不是向量：是向量的有②速度：③位移：④力：⑤加速度故 故C错误：对于D,两个相同的向量的模相等，故D正确.故选C. 选C. 4.D解析：由Ad=O,B动=0O币，1A心1=1i1,知四边形ABCD的对角 2.A解析：向量不能比较大小，故说法①②③都不正确 线相互平分且相等，所以四边形ABCD为矩形.故选D. 3.ACD解析：既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有 5.O元Dt,E市0成，O元，D元，E,市解析：0是正三角形ABC的中 方向，故A错误：由于A市与B方向相反，长度相等，故B正确：因为零 心，.OA=OB=OC,,平行四边形AOCD和AOBE均为菱形，.题图 向量的模为0，故C错误；A与线段BA的长度相等，故D错误故 中高出的向量中，与⑦相等的向量为0元，与0共线的向量为D元，E或： 选ACD. 与O的模相等的向量为0,0元，D成，E,A市 四易错提醒 6.11解析：马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有 向量由大小与方向两个要素组成，向量的大小是代数特征，方肉是 八条路可走如图，以点B为起点作向量，共3个；以点C为起点作向 几何特征 量，共8个，所以共有11个故填11. 4.√4T√5解析：画出所有的向量AC,如图 所示 ①当点C位于点C,或C,时，成取得最小 值，此时B戒=+2=5： ②当点C位于点C,或C。时，B配1取得最大 值，此时B武=√+5=√T 7.(1)证明：由题意知，在△BED中，BD=5,DE=3,BE=4,.DE2+ ·武的最大值是√4④，最小值是5. BE2=BD2,△DEB是直角三角形，∠DEB=90°，又，点C为半圆上 5.D解析：对于A,共线向量大小不一定相等，方向不一定相问，A错 一点，AB是直径，∠ACB=90,÷AC∥DE,A花/D成 误：对于B,单位向量的模相等，但方向不一定相同，B错误：对于C。 平行向量一定是共线向量，C错误：对于D,模为0的向量是零向量， (a)篇：由4c/nE知△4 D,.能侣号-gAC: 它与任意一个向量是平行向量，D正确故迹D, 18 6.C解析：O,0心为相反向量，故A错误：A,C方向相反，故B错误： 5,即a花1=18 Oi,Bd方向相反，故O品∥B配，C正确：因为平行四边形ABCD不一定 6.2平面向量的运算 为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误故选C. 6.2.1向量的加法运算+6.2.2向量的减法运算 7.3解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向最ō相等 白题基础过关 的向量有心，C成，E成，共3个故答案为3 8.解：(1)如图，A店，成，Ci卿为所求 1.C解析：由平面向量加法的平行四边形法则可知A+市=花，所以 A+At+A市1=21A花1=2√3+4=10.故选C (2)如图，作向量D,由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， Di=1B武1=10013m 2.AD解析：由向量加法的平行四边形法则可知A市+A市=A花，故A正 确：M花+C市+Dd=A市+D=Ad≠O,故B不正确：店+花+C=A店+ 北 市=花，故C不正确：A花+B+耐=B威+花+D=B配+D=0,故D正 确故选AD. 3.A解析：原式=A-A心-C+成=C市-C市+B成=D成+B成=D硫故选A 4.C解析：由题图可知，励=B心+C=A花-店+C市=b-a+c.故选C 1012东 5.BCD解析：对于A,A应-（武+C)=A成-B=2应，A错误； 对于B,成-A花+B励-C市=C+B励+D成=C成+B成=0，B正确： 对于C,0耐-0+市=D+A币=0，C正确： 应用提优 对于D,N市+O币+M-M=+P=0,D正确故选BCD. 1.ABC解析：对于A,取=0，则对于任意的向量a,c都有a∥b, 6.解：(1)A市-A店=(0i-0i)-(0成-0)=0币-0i=d-b. b∥c,故A符合题意：对于B,直角坐标平面上的x轴、y轴都有方向. 但是没有长度，即直角坐标平面上的x轴、y轴不是向量，故B符合 (2)Ai+C亦=(o成-0i)+(o亦-0)=b-a+f-c=b+a-e 题意：对于C,若a与b是平行向量，则它们的方向可能相反，长度也 (3)Ec市=(o-0)-(0i-0)=0成-0i=c-. 不一定相等，即a与b不一定相等，故C符合题意：对于D,海拔，温：7.A解析：当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a,b的方 参考答案黑白题001 向都不相同，则la+b1<a+lb1:当向量a与b同向时，a+b的方向与： 行于OD的直线上运动，由图可得，当OE⊥AE,即点E在点F处时， a,b的方向都相同，则1a+b|=1al+1bI:当向量a与b反向且la|< 1a+cl最小.向量a,b的夹角为120°且1a1=|b1=1,.∠0AF= 1b时，a+b的方向与b的方向相同（与a的方向相反），则1a+b1= 1b1-lal.故选A. 60°，解得0F= 故选D 2 8.A解析：①当a与b不共线时成立：②当a=b=0或b=0,a≠0或 7.20解析：：1F,1=1F21=10w2N,根据平行四边形法则，作出F,+ a=0,b≠0时成立：③当两个非零向量a与b共线，且方向相反时成 F2,如图，1F1+F21=102×√2=20(N),,物体的重力大小 立：④当两个非零向量a与b共线，且方向相同时成立.故选A 为20N.故答案为20. 9.C解析桥：由题意得B成=A心-A,所以1B成1=A花-AL,所以1A心1 A11≤A-A1≤1A花+A,则3≤1B就≤9.故选C. 10.123N竖直向上解析：如图，以0,0 为邻边作平行四边形BOAC,则F,+F2=F, 即Oi+0i=0:∠04C=60°，1Oi1=24, 10i1=12,.∠AC0=90°，10C1=125, (第7题) (第8题) F,与F2的合力大小为12尽N,方向为 竖直向上 3 解析：如图，当1al=1b1=la-b1时，△ABC为等边三角形，则Ia+ 巴方法总结 利用向量加、减法解决失际应用问题的主要步： b1为线段D的长度所以侣的如30放答案为 (1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量： 9.解：A店+A花=矿+成.证明：由向量加法三角形法则知A店=AM+M店， (2)利用三角形法则和平行四边形法划对向量的加、减法进行运算： A花=不+N,所以A+A花=A+M+A+Nd因为BM=CN,所以 (3)构造三角形（一般是直角三角形），利用三角形的边、角关系解题 市=-N戒，所以A店+A花=A+正+不+N元=成++-N戒=A应+成 黑题 应用提优 压轴挑战 1,B解析：对于A:A+(P成+B)=P+A花+B或=P,故A不合题意； A解析：因为a,b,c为单位向量，所以lpl=|a+ 对于B:P+店-戒=P市-戒，故B满足题意： b+l≤3，当且仅当a,b,c方向都相同时，等号成 立.作O=a,0=b,OC=e,当LA0B=∠B0C= 对于C:0心-+d=+Cd+P=P,故C不合题意； 对于D:(A+P元)+(B成-O)=成+成+P元+C=P戒，故D不合题意 上0=时，如图所示 故选B. 以OA,OB为邻边作平行四边形OAEB,则该四边 2.D解析：由于1Ai1=lal=1,1BC1=b1=1,AC1=1a+b1=2,则 形为菱形，且L40B=牙，所以△A0E为等边三角形，且1O=1.又因 1a2+1b12=1a+b12,即A12+1BC12=A12,所以△ABC为等腰直 角三角形故选D. 为L40c-,0d11,由图可知，0成00，即p1=0+0i40d1 3.BCD解析：菱形中向量A店与配的方向是不同的，但它们的模是相 0,综上所述，0≤p1≤3.故选A 等的，所以B结论正确，A结论错误： 6.2.3向量的数乘运算 因为1A店-C=A店+D元1=21A店1,1A市+B武1=21B武1，且A1= 白题 基础过关 B武，所以店-1=+B武，即C结论正确： 1.C解析：由于A≠0，所以A2>0.因此a与A2a的方向相同.故选C. 因为1市+C1=戒+C1=B励1，C-C1=1C+B1=1i,所以 2.AB解析：对于A,根据数乘向量的原则可得m(a-b)=ma-mb, D结论正确.故选BCD. 故A正确；对于B,根据数乘向量的原则可得(m-n)a=ma-na,故 4.B解析：如图，可表示河水自西向东的流速，0 B正确：对于C,由ma=mb可得m(a-b)=0,当m=0时也成立，所以 表示某人在静水中游泳的速度，则心即表示他的 不能推出a=b,故C错误：对于D,由ma=na可得(m-n)a=0,当a= 0时命题也成立，所以不能推出m=n,故D错误，故选AB 实际前进方向，由题意可知1O1=1,10成1=3， 则在R△0AC中，tan ZAOC= IACI 3.AB解桥：由题图可得P,Q两点把线段AB三等分，故市：店， =√了，故 10i1 ∠AOC=60,即他的实际前进方向与水流方向的 动：号应A,B正确：励子动，动=-励，故C.D错误，故选AB 夹角为60°，故选B. 4.D解析：根据向量运算公式可知，10(a+b)-(a-b)=9a+11b.故 5.ACD解析：对于A:非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b 选D. 的方向必与a或b的方向相同或为零向量，故A说法错误：对于B: 5.B 解析：因为四边形BCD为平行四边形，则有正=花 在△ABC中，必有+心+C=0,故B说法正确：对于C:若+B武+ =0,则A,B,C可以为一个三角形的三个顶点，当A,B,C三点共线 动…感店-店动-应故 时，也成立，故C说法错误：对于D,在平行四边形ABCD中，一定有 选B A店+市=A心，但普通四边形中该结论不成立，故D错提故选ACD, 6.C解析：如图，由点E是AB上靠近A的三 6.D解析：如图，设O=a,Oi=b,以0A,OB 等分点，F是CE上靠近C的三等分点，得 为邻边构造平行四边形OACB,则a+b=O 办花花成戒号成-d 3 又c与a+b共线，在直线OC上取一点D, 2花1x1应=1+2花赦选c 设0i=c,以OA,0D为邻边构造平行四边 43×3 9 3 形OAED,则a+c=OE,点E在过点A且平 7.B解析：a+b=3e1-e2,.c■-2(a+b),a+b与c共线.故选B. 必修第二册·RJ黑白题002 8.A解析：对于A中，由向量店=e1+e2,A花=3e,-2e2,Cd=4e1-6e2, 可得成-=花-=24，-3所以武=本，所以B,C0三点共线， 所以A正确：对于B中，由向量Ad=3e1-2e2,Ci=4e1-6e2,所以不 所以SA0m55A4c,所以SA2故选C 存在实数A,使得A心=ACi成立，所以A,C,D三点不共线，所以B错 误：对于C中，由向量A=e1+e2,A花=3e1-22,C=4e1-6e2,可得 市=A心+C=7e1-8e2,所以不存在实数4，使得A=4市成立，所 以A,B,D三点不共线，所以C错误；对于D中，向量市=e1+62,A花= (第5题) (第6题) 31-22,所以不存在实数m,使得A=m花成立，所以A,B,C三点6.C解析：连接AB,如图所示：因为AC1BC,则AB为圆0的一条直 不共线，所以D错误故选A. 径，故0为AB的中点，所以Mi+M市=(M心+Oi)+(M心+0)=2M市， 9.B解析：由30i+0元=30+0成，得3(0-0币)=0市-0元，所以3耐= 所以1Mi+Mi+2M成1=12Md+2(Md+0元)1=14Md+20元1≤ Ci,可得AD∥BC且AD≠BC.所以四边形ABCD一定是梯形.故选B. 41Md+210元1=4×2+2x1=10.当且仅当M,0,C共线且Md,0元铜向 10.A解析：因为c与d同向共线，所以存在4(4>0)使得Aa+b=4(a+ (2A-1)b]=a+μ(2A-1)b,即(a-4)a=(2u-u-1)b,又向量a,b 时，等号成立，因此.M+M+2M心1的最大值为10.故选C 不共线.所以1。（香到不A0用2三 1.12解析：因为励=2元，所以动=子成，所以市=+励= 3 与a,6不共线矛盾），解得A=之（合去）或A1故选九 +子成子（花-）=号+子花又花A,亦=μ花， 11.A解析：由题意得0成-O=A(O成-Oi),即AM=AA店，又Ae(0, 所花，花上市所以市号号花正+品 3 1),点M在线段AB上，故选A 四方法总结 则团=动-证=(1应+成因为几，B,F三点共线，可设 若A,B,C三点共线，0是平面内不在A,B,C所在直线上的任意一 点，则有O记=mOi+n0i,其中m+n=1. 动成，床成-症所以(1]应*是亦4〔-应，即 黑题 应用提优 (负1店=（录)成因为应，不共线，则员+-1= 1.D解折：当a=0时，后无意义，A错误：当a=0时，BCD均正确：当 a≠0时，由a∥e知，a与e同向或反向，知BC不全面，D正确.故 录-0（香，不给设-10，则应 亚应，与应，市不共 1 选D. 2.BCD解析：由题意画出示意图如图：对 于选项A,A-B武=A+C成=2E≠C, 线子质）所以京名1，结合已知可知A>0,故Aa: 即选项A箭误；对于选项B,点G为 △4Bc的重心，则花：子市：子× .1+√2 ()-号（感d,即选项B正 A=- 货合 3A34 =1(A,4>0),即 时，取等号，即 确：对于选项C,+励：（配+d=0,即选项C正确；对 2+W2 = 3 于选项D,d-2励-2×（成+，即++=0，即选项 红的最小值为1,2，放答案为1, 3 D正确，故选BCD 压轴挑战 3.AD解析：对于A,C或+T市=P+7市=T=成，A正确： 对于B,感-戒=戒-戒=0心=-P,B错误； BCD解析：对于A,衣=号+ 对于c市话动店励城，c错 号花即3戒-硒2花故戒-。 对于D,成不市不花态5+尽.D正确故选AD 2花-2花，则成=20成，故0.1 BO 2 5济 2 故A错误：对于B,由P+P币=C得，P+P+P元=0，枚P为△ABC的重 4.B解折：由条件知，办--号-衣，则成：号店，所以CP,心，则Q为△BC的重心，故衣=号应，花，故B正确：对于C,D, B三点共线且点P在线段CB的延长线上，且能号故法良 取AC的中点D,则Ad=x店+2yd,由点Q在△PBC内（会边界），过点 Q作MN∥BD,与线段CD交于点M,与射线AB交于点N,如图所示，设 5.c解折：因为市+号花所以d（0成-耐)+号（元 Ai=kAi,ke[1,2],则A=kA应，设N=ANi(A>0),则Ad=AA+ 0i),即oi+2O+20元=0， (1-A)A成=k·AA市+k(1-A)A,因为Ad=x店+2y市，所以MA币+ 取AC中点为点D,则O+0记=20品，即40品=-O凉，所以0在中线 (1-A)庙=x+2y市，即（从-2）A市=[x-k(1-A)]店，因为市，A店 D上，且0B=子D,如图，过0，D分别作边AB上的商，垂足 不共线，所以M-2y=-k(1-A)=0否则，不坊设从-2y≠0，则石 参考答案黑白题003 1-入店，与市，店不共线矛盾 14.B解析：a1(a+3b),-a·(a+3b)=0,即a2+3g·b=0,a ,则x+2y=ke[1,2],故C和D正 kA-2y 确，故选BCD s=1a=a6子1-写2S故 6.2.4向量的数量积 选B. 15.C解析：由题意，得a·(2a+b)=2a2+a·b=0,即a·b=-22,所 白题 基础过关 1.B解析：由平面向量数量积的定义可得a·b=1al·1b1o4120°= 以a)流-器子所以a-停放话C x26x(）-3放选B 16, 8 ,解析：因为(3a+5b)⊥(ma-b),所以(3a+5h)·(ma-b)=0, 2.A解析：因为单位向量©1,2的夹角为120°，所以(2c1-3）· =246号=216,1161m12m-62=2x1x1x(）】 即3a24(5m-3ab-w=0,即3m+1x2x宁5m-3)-5x2=0。 12=-2,故远A 即3a+5m3-20=0,解得网=是放答案为受 23 3.CD解析：对于A、B,根据向量的运算法则及分配律，易知A、B说 17.C解析：由1o成-0元1=1O成+0元-2Oi1得1C1=+AC1,则1店 法正确：对于C,当b,c反向且都与a垂直时满足题设，但b≠c,故C A花=店+A花，所以A话-A花12=1+A花2，则店12+1A花12 说法错误：对于D,(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a 2A店.A花=a2+A12+2A店.A花，所以A店.A花=0，则AB⊥AC, 共线的向量，故D说法错误故选CD. 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.故选C. 4.A解析：向量b在向量a上的投影向量为：力、4三-3 =-a, lal lal 3x/3 187解桥动=宁(d),励成=之（花-），则市. 故选A 6.2 9 b 解析：设a与b的夹角为8，”1a1co062, 励衣-应)（国-）=×(36-6)-7故答 案为-7 3 .1a1cos8=2,.1 lcos 8=2,a·b=1a11b160s8=3×2= 18.（)解耐=}成=店}成-)=花 号故答案为号 (2)证明：成-花-花，成，(2-花)·店 6.C解析：因为1a+b12=a2+2a·b+b2=4+2+3=9,所以1a+b1=3.故 选C. 迹-应.花=子-花10=子 7.A解析：因为a,b方向相同.且1a1=2,1b1=4,所以b=2a,所以 12a+3b1=14b1=16,故选A 2·子p-子=0d成1应 8.C解析：1a-b1=27两边平方得a2-2a·b+b2=28,即4-2× 重难聚焦 21b1c05120°+1b12=4+21b1+1b12=28,故1b12+21b1-24=0,解得 1b1=4或-6（舍去）.故选C 20.C解析：已知1a1=√3,1b1=2,a与b的夹角为30°，a·b= g.A解桥：因为1a1=5,b1=6,a·b=6,所以cos(a,b)=ai:1b a·b 1a1·1b1·es30°=5×2x5 =3,由题意(Aa-b)·(a+b)= Aa2+(A-1)a·b-b=3A+3(A-1)-4=6-7<0Ac 6,又A=-1 10.C解析：由已知得1e11=lc21=1,设e1,e2的夹角为(0°≤0≤ 时，Aa-b与a+b反向，A<石，且A-1放选C. 180°)，又a=e1+2e2,且1a1=√7，la12=7=(e1+2e2)2=le112+ 41e,12+4e,·马3=1+4+4x1x1xcs0,解得co0=子，则0=60.枚 21(号，})儿(？，+）解折：1与为互相垂直的单位向 选C. 量，∴.2=1.子=1，t·jm0.,a与b的夹角为锐角，，a·b>0 a=2i+3j,b=i+2j,∴.a·b=22+62+(4A+3)i·j=2+6A>0, 解析：1a-2b1■√(a-2b)2=√/a2-4a·b+4b2■ 3 六A>子当a=2b时，则3=4从，故A=子，所以a与b的夹角为能 1 /4+36-4x2×3× ■27， 角时A的取值范图是（号，）U(?,+）故答案为 所以cs(a-2b,a=a-2b）·0.2-2a·b 2-2x2x0x (g)u(经*）月 la-2b1lal la-2b1lal 2w7×2 黑题 品故答案为各 应用提优 1.A解析：由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方得a2+b2+2a·b=c2, 12.B解析：对于选项A,a·(b+a)=a·b+a2=51b12≠0，所以该选项 面al=b1=1cl=1,所以ab=子放选A 不正确：对于选项B,b·(b-a)=b2-b·a=b2-b2=0,所以b⊥(b a),所以该选项正确：对于选项C,b·(b+a)=b2+a,b=21b12≠0. 2.B解析：，a在b方向上的投影与b在4方向上的投影相等，设这 所以该选项不正确：对于选项D,a·(b-a)=a·b-a2=-3引b12≠0， 两个向量的夹角为8alm=b1m0om0=2am0,则0=号 所以该选项不正确.故选B. 13.C解析：a,b为非零向量，当a⊥b时，有a·b=0,则a+b12= 又.la-bl=√(a-b)2且Ial=4,1b1=2..1a-b1=√(a-b)2= a2+2a·b+b2=a2+b2,1a-b12=a2-2a·b+b2=a2+b2,有1a+b12= √a-2a·b+b=2W5,故选B. 1a-b12,得1a+b1=1a-b1,充分性成立：当1a+b1=|a-b1时，有1a+ b12=1a-b12.即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,得a·b=0,则有a⊥ 38将折：由后女0科后 =布，所以向量a与b方向相反 b,必要性成立.所以a⊥b是|a+b1=la-b1成立的充要条件.故选C.: 对于A:由4=b得向量a与b的方向相同，故A错误： 必修第二册·RJ黑白题004 对于B:由a+b=0得向量a与b的方向相反，故B正确： 向量，由 A店A花 对于C:由a·b=0得a⊥b,故C错误： ,B戒=0，可得∠A的平分线与BC垂直，所 IABI IACI 对于D:由a·b=|al·1b1得向量a与b的方向相同，故D错误故 以△ABC为等腰三角形，且AB=AC.因为2店.A花=21A市！， 选B. 4.BCD解析：正△ABC中，D为BC的中点，如图所示，(，A)=T A且庄·产=所以@A又上AE(0,),所 ati·cosA且 后名A销误，店花，成心」 副 以∠LA:号，所以∠B=∠C=∠A:号，所以△MBC为等边三角形放 A的 (停了 (停 选D. 10.10解析：如图，过圆心0作AB,CB的垂线，则 子则店.花号办，B正确：动=成=瓜花=成-d,c正确 垂足D,E分别为AB,CB的中点，A1=2, 励在成上的投影向量为励威.武.励威·s6心 Bt1=4,B1=1,B=2,(+B).Bd= IBAI IBAI 1B12 B威，Bd+B成.Bd=1B成11Bd1cs∠0BD+ IBCI1BOICOSLOBE=1ABIIBDI+IBC1IBEI= 风R·:威，D正确旅法D 2×1+4×2=10,故答案为10. 1.5据指迪(）小o6=1,得+e1,而 0b1=1,a·b=1,即G+3*1-5 2=1,解得1a1=反，1a+b1: √a+2a·b+b=5,所以a在a+b上的投影向量的模为 (第4题) (第5题) ,0之号学数落案号 la+bl 5 5.C解析：如图，连接EF,延长AD交EF于点M,延长BC交EF于 12.(-48,16)解析：如图所示，廷长04 点N则由题意和图形的对称性，可知AM⊥EF,BN⊥EF,且AM= 至点M,作HM⊥AM,延长OE至点N N=2+2=3,ME=p=2x×号2x号5-2， 作DN⊥EN,过点P作PQ⊥AE,垂足为 22 22 Q,则M=EN=4,1O1=4.O.币= 由题意可知，花.亦=（立+正）·（酥+）=成.酥+成.+ 0·(A0+Q)=Oi·A0当点Q与 证.B+M壶.市=.酥+i,市=11·11cs0+ 点M重合时，0耐.币=16：当点Q与 M正1·1W1casm=9-4=5.故选C. 点N重合时，O.市=-48.故O.币 6.C解析：因为1a+b=1a-2b1.所以1a+b12=1a-2b2,则1a2+2a· 的取值范围是(-48,16).故容案为(-48,16) b+1b12=|a2-4a·b+41b12,即1b12=2a·b≤21al1bl.又b为非零 13.解：(1)因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC,所以∠DAB=120 向量，b1=子所以1a≥宁61=所以a的最小值为子，a1 又AD=2AB,所以AD=2BC,因为E是CD的中点，所以A正= 无最大值故选C 之而成市成)=市+应又励=市-成，所 7.C解析：因为平面向量a,b,c两两的夹角相等，所以平面向量a, 成励（任动+）（励-市游 b,c两两的夹角为0或120°，又1al=1,1b1=2,1e1=3, ①当夹角为0时，即向量a,b,c同向，则1a+b+cl=1a1+1b1+lcl= 市.应×1644ox(）n 1+2*3=6,@当夹角为120时，则a=1x2x(）-ae (2)因为AB=AC,AB=2,所以4C=2因为花，励=号，所以花， 1x3x(）-子，。e=2x3x()-3,则1a+b*e (市-)=手，所以花，市-花店=年又花应 √a+b2+e2+2a·b+2a·c+2h·c=√1+4+9-2-3-6=√5， 综上所述，la+b+el=6或Ia+b+el=√3.故选C m∠c=4号号所以ad.动子花.。 8.A解析：若平面向量m,n,P均是非零向量， 所以1成2=花-12=衣+办-2花.市=4+16-2x6.6 55 ①充分性：当(m·n)p=m(n·p)时，若m·n=0,则n·p=0,有 m⊥n且n⊥P,所以向量m与p共线：若m·n*0,则有p= 故成1=2v85 (日）m,有m与p共线，充分怪成立 14.解：(1)C=2,1C1=2,威/Ci.M=1. ②必要性：当向量m与p共线时，设向量m方向上的单位向量为e, :BA.BC=1,..cos LABC=- B·B戒1 (m,n)=6,若向量m与p方向相同，有m=Imle,p=ple,(P, ·1配2 n〉=0，则(m·n)p=ImlInllplecos8,m(N·p)=ImlInl lplecos8, 满足(m·n)P=m(n·p):若向量m与P方向相反，有m=1me, Ce0.∠Ac=号 p=-ple,(p,n）=T-8,则(m·n)p=-ImlInl lplecos8,m(n· (2)设d=:B武(0∈≤1)，则od=(1-)武 P)=Imlinllp|ecos(T-8)=-mlln|Ipl ecos 8,满足(m·n)p= ÷Oi=成-动=B-B武，0币=0成+C=(1-t)B就+2威 m(n·p),必要性成立所以“(m·n)p=m(n·p)”是“向量m与p .oi.0i=(B-tC)·[2B+(1-t)BC]=2B亦+(1-3)ai 共线”的充要条件故选A AA花 威(1-=2x1+(1-3)x1-4(1-0x4=4-3,当1= 9.D解析：因为 和 分别表示向量花和向量花方向上的单位 AB1A元I ! 时，即d=70时，O.0i最小 参考答案黑白题005 压轴挑战 号动，由圆0的半径为6，则励-等于号x6=4,为定值，所以 0解析：如图，连接AC,取AC的中点E,连 接E,NE,则ME,NE分别为△ADC,△CMB的 C正确：对于D,由=2F市，可得F元=4F市=2(F市+F),因为元 中位线侧成，成成，成破+ A下μF正，所以2Fi+2F店=AF市+μF克，即(2-A)下=(u-2)F成， 因为F店F币不共线，可得2-A=4-2=0否期，不妨设2-A≠0，则 成：子（成）.由成与共线得成=A (aeR),故戒.(-成)=A.(d-成)=(+成)·( 市克，与成，市不共线茅唐)），所以A=4,所以D正确故 选ACD. =分(-心)=0 7.B解析：因为(0成-0)·(0成+0元-20)= 6.1-6.2阶段综合 C市.(a+A心)=0，如图，取BC中点D,又A+ 花=2A市.所以C,(2市)=0，即BC⊥AD,结 黑题 阶段强化 合平面向量数量积的几何意义成，成=励， 1.B解析：依慝意@，6为非零向量，品表示与a同向的单位向量， Bt,又BC=8,得到减.B戒=B励.B戒=4x8=32,放选B. 8.B解析：因为1a+b1=1a-b1=21b1,两边平方，得到1a+b1=1a-b1 表示与6同向的单位向量，则。一名表示与a,6同向的单位向 b →1a12+2a·b+1b12=la12-2a·b+1b12→a…b=0,1a+b1=21b1→ 量相等，所以能推出4，b共线，所以充分性成立： la2+2a·b+1b12=41b12,即1a12=31b12,即1a|=51b1①，又 a,b共线可能同向共线，也可能反向共线，所以a,b共线得不出 a la+b1=2b1②，la-b1=21b1③，并且(a+b)·(a-b)=1a12- 1b12=a+b11a-b1cos0,则cas0=a+b1ab,将①②网代人， 名所以必要性不度立放选B 得cms0=21b2.1 2.C解析：四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，∴∠DCG+ 46分又0e(0,).则9=子故选B ∠CCE=180°，即D,C,E三点共线，.AB=EF,CD=FG,AB∥DC∥ : 9.外心解析：由(0+0)·A=0得(Oi+0)·(0市-0)=0，即 HF,即A1=E.C=F花A与供线，ABD正确： O亦-O=0,则有101=1O1,由(O+0元)·A花=0，同理可得 对于C,若B面与E共线，则必有∠BDC=∠HED,即∠GCE= 1O1=OC1,因此1OA1=O1=1O心1，所以0是△ABC的外心 2∠BDC=2∠HED,该条件不一定成立，如∠GCE=90°时.∠HED+ 四重难点拨 45°，故励与E供线不一定成立，故选C 三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交 3.A解析：由题意知，点上满足武=号花，可得证=子花则成。 点，外心到三角形三个顶点的距离相等.者点M是△ABC内一点，满 店-市号花-动子动-市子子故选A 足I=1M1=M心1，则点M为△ABC的外心. 4.A解析：因为c·(b-c-a)>0,所以店.(+B元-Cd)=店.2花 10.解：(1)：1a|=√2,1b1=1,a与b的夹角为45°，.1 al cos45°· 0,即A.2AC=21A1·1A元1co8A<0,可得co8A<0,又因为0<A<m. 合-厅号合在b方消上的极影物提为 所以<m,所以角A为能角放选A (2)1a+2b12=1a12+41al·1b1co%45°+41b12=2+4+4=10, la+2bl=/10. 5.C解桥：连接B,C,如图，可知=(+ (3),向量(2a-Ab)与(Aa-3b)平行，.2a-Ab=(Aa-3b), 就)=之[（威+）+（励+心）]=(+ 2=A·,解得= 6 {-A=-3, 3 成.所以亦.市-之（成+，成， A=6(a=-6. √6 即-2-应，成=-4，可得店.成=4从面1亦=亦。 当了时，2a66=5(,6a-0).方向相同： A=6 4(+成)'（迹+2店.成+恋）=7，所以=万.故 选C. 时，24n6:(-60-边，方向不同，故含去 6 A=-√6 6.ACD解桥：对于A,由破=2市，可得成：子动=成，即成 A=√6 号（成4武），整理得成=元，所以A正确：对于B,由圆0的半径 11.解：(1)若2a+Ab与4a+3b共线，则存在实数k,使得2a+Ab=k(4a+ 3b),即(2-4k)a+(A-3k)b=0. 为6，因为∠C0E=60°，则0成.0正=10心1·0i1c0s60°=18，且店 因为向量a与6不共线，所以位8解得A= 3 (2-4k=0. 市+0成=}成+，成=2应，可得成.成=（号心+成) (②为a-b=lalb1ms(a,b)=22x3x(号） √2 =-6,la+b1= (20)=子0元.0成+210证2=12+72=84，所以在证上的投影向 √a+2a·b+b▣√8-I2+9=5,所以c0%(a+b,b）= 量为店·应.庄，应，成成，所以B不正确：对于C, (a+b)·ba·b+b29-65 IDEIIDEI IDE12 12 1a+b1·1b11a+b1·Ib355 因为△DEF中，F0是DE边上的中线，所以F市+下市=2F市==：12.解：(1)由B成=kA市，得BC∥AD,因为A存.BC=1,∠B=120, 必修第二册·RJ黑白题006