精品解析：四川省自贡职业技术学校本科班2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

自贡职业技术学校22级本科班月考试卷 2023至2024学年第一学期学科 数学 本试卷共三个大题，26个小题，满分150分，答题时间120分钟. 一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分.请把答案写到后面表格中） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知数列：，按此规律第7项为（ ） A. B. C. D. 3. “小明是优秀班干部”是“小明是班干部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 数列的通项公式为，则数列的第四项为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 6. 设等差数列前项和为，若，则（ ） A. 60 B. 70 C. 120 D. 140 7. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 8. 下列说法正确的是（ ） A. 数列可表示为 B. 数列可记为 C. 数列的通项公式为 D. 数列的第项为 9. 已知非零数列的递推公式为，则等于（ ） A. B. C. D. 1 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 12. 若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A. B. C. D. 13. 已知非零数列的递推公式为，则等于（ ） A. B. C. D. 1 14. 若为数列的前项和，且，则等于（ ） A. B. C. D. 30 15. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（共5小每小题4分，共20分） 16. 已知函数，则函数的定义域为______． 17. 计算______． 18. 已知数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为______． 19. 设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是______ ． 20. 为培养学生的劳动技能和环保意识，某学校组织40名学生在一条自西向东的笔直公路一侧的40个植树点处植树，相邻两个植树点相距10米，每名学生各站在一个植树点处，40株树苗集中放置在自西向东第20个植树点处，此植树点处的同学可直接领取树苗，其余同学从各自植树点出发前去领取树苗然后回到自己的植树点处，则所有同学从各自植树点出发领取树苗后再返回到自己植树点处，所走最短路程的总和是______. 三、解答题（共6个小题，有5个小题，共70分） 21 已知向量，且. （1）求值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 22. 已知数列的首项为2，且．求： （1）和的值； （2）数列的通项公式． 23. 在中，已知，，．求： （1）角的大小； （2）的面积． 24. 在数列中，已知．其中，，为其前项和． （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求与的值． 25. 已知等差数列满足，，且数列的前n项和为． （1）求及； （2）令，求数列的前n项和． 26. 设数列满足：．求数列通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 自贡职业技术学校22级本科班月考试卷 2023至2024学年第一学期学科 数学 本试卷共三个大题，26个小题，满分150分，答题时间120分钟. 一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分.请把答案写到后面表格中） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合之间的关系，结合二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 2. 已知数列：，按此规律第7项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列规律求解第7项即可. 【详解】由数列：，可知， 该数列是正负相间，奇数项为正，偶数项为负， 所以第7项为负， 该数列的分母为项数加2，且分子比分母少1， 所以可知，按此规律第7项为. 故选：B. 3. “小明是优秀班干部”是“小明是班干部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可解得 【详解】小明是优秀班干部能推出小明是班干部，故充分性得证； 小明是班干部不能推出小明是优秀班干部，因为班干部不一定能评上优秀班干部，故必要性不得证. 故选：A 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量内积的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，解得. 故选：D. 5. 数列的通项公式为，则数列的第四项为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入数列的通项公式中求值即可. 【详解】数列的通项公式为， 则， 故选：C. 6. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 60 B. 70 C. 120 D. 140 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质和前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，， 所以， 所以. 故选：B. 7. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，解得， 又因为，所以， 所以. 故选：C. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 数列可表示为 B. 数列可记为 C. 数列的通项公式为 D. 数列的第项为 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的概念，结合数列的规律及通项公式，结合题意，即可判断求解. 【详解】因为是一个集合，其中的元素无序，不是数列，故选项A错误，不符合题意； 因为数列表示的数列首项为2，而数列的首项是0， 故数列不可记为，故选项B错误，不符合题意； 因为数列的通项公式为，故选项C错误，不符合题意； 数列的第项为，即，故选项D正确，符合题意. 故选：D. 9. 已知非零数列的递推公式为，则等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】通过对递推公式中依次赋值，逐步计算出，最终得出 【详解】因为， 所以当时，； 当时，； 当时， 故选：C. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合两角和的正切公式，先求出的值，利用正切的二倍角公式，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 所以， 所以. 故选：C. 11. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求出等差数列的公差和首项，结合等差数列的前n项和公式，代入即可求解. 【详解】设等差数列的公差为中， ，所以， 所以， 又， 所以， 所以，, 所以. 故选：B. 12. 若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义判断即可. 【详解】设等差数列的公差为d，所以有， 对于A，为常数， 因此是等差数列，故A正确； 对于B，，不为常数， 因此不是等差数列，故B错误； 对于C，，为常数， 因此是等差数列，故C正确； 对于D，，为常数， 因此，是等差数列，故D正确. 故选：ACD. 13. 已知非零数列的递推公式为，则等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】通过对递推公式中依次赋值，逐步计算出，最终得出。 【详解】因为， 所以当时，； 当时，； 当时， 故选：C. 14. 若为数列的前项和，且，则等于（ ） A. B. C. D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】先求出数列的通项公式，再计算的值。 【详解】当时，因为为数列的前项和，所以. 已知，， 则. 所以. 故选：C. 15. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，先求出，结合等比数列的通项公式和等比中项的性质，求出的值，代入即可求解. 【详解】因为数列成等差数列，设公比为， 所以， 因为成等比数列，设公比为， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 二、填空题（共5小每小题4分，共20分） 16. 已知函数，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域以及分式函数、根式函数的定义域求解即可. 【详解】函数的定义域为. 故答案为：. 17. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式和指数幂的运算计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 18. 已知数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】先判断数列的单调性，根据通项公式可知这是一个等差数列，通过分析公差来确定数列的增减情况，进而找出使得前项和最大时的值。 【详解】对于数列，其通项公式，那么. 因为，所以该数列是一个递减数列. 令，解得. 因为是项数，为正整数，所以当时， 当时，. 这意味着从第13项开始，数列的项都为负数，那么前12项的和是最大的. 故答案为：12. 19. 设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数图像关于轴对称可求. 【详解】由偶函数图像关于轴对称可作函数在区间的图像，如图； 由原图可知偶函数在时， 则偶函数在时， 综上当时， 故答案为：. 20. 为培养学生的劳动技能和环保意识，某学校组织40名学生在一条自西向东的笔直公路一侧的40个植树点处植树，相邻两个植树点相距10米，每名学生各站在一个植树点处，40株树苗集中放置在自西向东第20个植树点处，此植树点处的同学可直接领取树苗，其余同学从各自植树点出发前去领取树苗然后回到自己的植树点处，则所有同学从各自植树点出发领取树苗后再返回到自己植树点处，所走最短路程的总和是______. 【答案】8000 【解析】 【分析】本题是等差数列的实际应用，运用等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】树苗放在从西向东第20个植树点，则其西侧有19棵，东侧有20棵， 则左侧， 右侧， 所以. 故答案为：8000 三、解答题（共6个小题，有5个小题，共70分） 21. 已知向量，且. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入向量数量积坐标公式求解即可. （2）结合向量模长坐标公式和数量积公式求解即可. 小问1详解】 由可得：， 解得，即的值为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则，， 设与的夹角为，则， 即向量与的夹角的余弦值为. 22. 已知数列的首项为2，且．求： （1）和的值； （2）数列的通项公式． 【答案】（1）,． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知的递推公式，将代入可求得，再将代入可求得。 （2）由可知该数列为等差数列，根据等差数列通项公式可求得最终答案。 【小问1详解】 首项,且, ,, 故,. 【小问2详解】 由得 数列是首项,公差的等差数列． 由得. 故数列的通项公式为. 23. 在中，已知，，．求： （1）角的大小； （2）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理和三角形的性质，即可求解； （2）根据题意，结合三角形的内角和，及三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理知，即， ， 由于， ，故． 【小问2详解】 因为，， ， 的面积． 24. 在数列中，已知．其中，，为其前项和． （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求与的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合数列的递推公式，化简即可证明结论成立； （2）根据题意，结合等差数列的通项公式及前n项和公式，即可求解. 【小问1详解】 ，， ， ， 数列是公差为1的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可知数列是公差为1的等差数列， ， ， 即通项公式为， ． 25. 已知等差数列满足，，且数列的前n项和为． （1）求及； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式,前项和公式即可得解； （2）化简，每一项拆分为两项的差，再相加后即可. 【小问1详解】 由题意得解得. ∴. . 【小问2详解】 ∵. . . . . ∴. . . ． 所以. 26. 设数列满足：．求数列的通项公式． 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的递推关系，分类讨论与求解即可. 【详解】①， 时，②， 得，， 在上式中，若，则， 而在①中，令，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$