精品解析：广东省珠海市香洲区珠海市理工职业技术学校（珠海市劳动技术实习学校）2023-2024学年高三上学期开学数学试题

珠海市香洲区珠海市理工职业技术学校2023-2024学年高三上学期开学 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3.本卷满分为150分由单选题75分、填空题25分，解答题50分组成. 一、选择题（共15题，共75分） 1. 集合，，则等于（ ） A B. C. D. 2. 如果函数 的图象经过点 ，那么实数 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，为钝角，则点（    ） A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限 4. 若，，且 ，则 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 若从平行四边形的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，，，，点 是 外接圆上任意一点，则最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在等差数列中，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 直线与圆相切，则m的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 点与圆的位置关系是（ ） A. 点圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 无法判定 10. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 11. 已知某圆柱底面半径为，高为，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 经过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 13. 若直线方程为 ，则直线在轴和轴上的截距分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 15. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，共25分） 16. 已知 ，则 ____ 17. 已知全集，，则 ____． 18. 某种分子分裂时，由 个分裂成 个， 个分裂成 个，，这样一个分子分裂___________以后，得到的细胞数是128个． 19. 已知 ，试用 表示 ____． 20. 设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点.若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为____． 21. 已知 ，． （1）求 的值； （2）求 的值． 22. 已知复数，，. （1）若是纯虚数，求a的值. （2）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围. 23. 已知点，是线段的中点． （1）求点和的坐标； （2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标． 24. 设集合，. （1）用列举法写出集合. （2）求和. 25. 某制造商要制造一种体积为立方厘米的圆柱体金属饮料罐（包含上下盖），设该圆柱体的高为（单位：厘米），底面半径为（单位：厘米）．当底面半径为多少厘米时，每个金属饮料罐所用的材料最少．（提示：圆柱体的体积） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 珠海市香洲区珠海市理工职业技术学校2023-2024学年高三上学期开学 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3.本卷满分为150分由单选题75分、填空题25分，解答题50分组成. 一、选择题（共15题，共75分） 1. 集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 2. 如果函数 的图象经过点 ，那么实数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把给定的点代入指数函数解析式求解即得. 【详解】由函数 的图象经过点 ，得，解得， 所以数 的值为2. 故选：A 3. 在中，为钝角，则点（    ） A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据钝角的范围确定三角函数的正负即可解得. 【详解】在中，为钝角，则为锐角， 则，点在第二象限， 故选：B 4. 若，，且 ，则 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的内积的定义求夹角即可. 【详解】若，，且 ， 则， 因为 ，所以 与 的夹角为， 故选：C. 5. 若从平行四边形的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，根据相等向量的定义找到符合条件的向量即可 【详解】如图，两两互不相等的有：、、、、、、、，共8个. 故选：B 6. 在 中，，，，点 是 外接圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的内积运算得到，分别求得与，从而得解. 【详解】因为在 中，，，，则， 设的外接圆圆心为，则为的中点，， 如图所示，， 则， 其中， 设与的夹角为，则， 所以， 即当时，， 则的最大值为. 故选：D. 7. 在等差数列中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算公差，再利用等差数列的通项公式可求. 【详解】因为，，则， 则； 故选：B. 8. 直线与圆相切，则m的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得到圆的圆心坐标和半径，再根据直线l与圆M相切，可知点M到直线l的距离为圆的半径，由点到直线距离公式列式即可求解. 【详解】因为圆， 所以圆心，半径为. 因为直线，即， 根据点到直线距离公式，点M到直线l的距离为， 因为直线l与圆M相切， 所以，解得或. 故选：B. 9. 点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 无法判定 【答案】A 【解析】 【分析】由点到圆心的距离和圆半径的大小关系进行判断. 【详解】圆半径，圆心 因为点到圆心距离：， 所以点在圆上， 故选：A. 10. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角等于方向向量的纵坐标比横坐标求解即可. 【详解】由题意可得， 即直线的倾斜角为， 故选：C. 11. 已知某圆柱底面的半径为，高为，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱的表面积公式求解. 【详解】由圆柱的表面积公式得：. 故选：C. 12. 经过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点，可以得到直线的斜率，再根据A、B任一点即可写出直线的点斜式方程，从而得解. 【详解】设经过点，的直线为l，斜率为k， 所以， 所以直线l的方程为，即. 故选：D. 13. 若直线方程为 ，则直线在轴和轴上的截距分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】分别令，，可求得直线在轴和轴上的截距. 【详解】在直线方程中， 令，可得；令，可得. 所以直线在轴和轴上的截距分别为. 故选：D 14. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点求出直线斜率，再由斜率的定义求出倾斜角即可. 【详解】已知直线经过两点， 则，设直线的倾斜角为， 则，且， 所以， 故选：A. 15. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的点横坐标互为相反数，其他坐标不变即可得出结果. 【详解】点关于平面对称的点横坐标互为相反数，其他坐标不变， 故对称点的坐标为. 故选：C. 二、填空题（共5题，共25分） 16. 已知 ，则 ____ 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，将弦化为切后可求解； 【详解】， 解得. 故答案：. 17. 已知全集，，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集运算的定义即可求解. 【详解】因为全集，， 所以根据集合补集的定义可得. 故答案为：. 18. 某种分子分裂时，由 个分裂成 个， 个分裂成 个，，这样一个分子分裂___________以后，得到的细胞数是128个． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，利用指数函数列方程可求解. 【详解】有题意知，次分裂后，共有个， 所以有，解得. 故答案:7. 19. 已知 ，试用 表示 ____． 【答案】 【解析】 【分析】由对数运算性质计算即可. 【详解】已知，则， 故， 故答案为：. 20. 设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点.若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为____． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用椭圆的定义与等腰直角三角形的定义得到的关系，从而利用椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】依题意，设，又， 因为 为等腰直角三角形，， 所以，则，即， 所以. 故答案为：. 21. 已知 ，． （1）求 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据同角三角函数基本关系式求出，代入两角和差的正弦公式即可得解. （）根据二倍角公式求出的值即可得解. 【小问1详解】 因为，，则， 则. 【小问2详解】 ， ， 则. 22. 已知复数，，. （1）若是纯虚数，求a的值. （2）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如果复数是纯虚数，则实部为零且虚部不为零，根据题中信息算出，找出复数的实部与虚部，即可列出方程求解. （2）根据题中信息算出，得到在复平面上对应的点的坐标，再根据该点在第二象限确定复数的实部和虚部的符号，列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为复数，， 所以. 因为是纯虚数， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为复数，， 所以， 所以在复平面上对应的点的坐标为. 因为在复平面上对应的点在第二象限， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 23. 已知点，是线段的中点． （1）求点和的坐标； （2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式可求出点的坐标，由向量的坐标表示可写出的坐标. （2）设坐标为，由向量共线的坐标运算列方程即可求解. 【小问1详解】 因为点，是线段的中点， 所以，即, 【小问2详解】 因为是轴上一点，可设坐标为， ，所以，， 又因为，可得，， 所以点的坐标. 24. 设集合，. （1）用列举法写出集合. （2）求和. 【答案】（1）. （2）， 【解析】 【分析】（1）因为A内集合是自然数且小于4，根据这两个条件即可写出集合A的所有元素. （2）根据交集并集的运算方法即可得出结果. 【小问1详解】 因为集合，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 25. 某制造商要制造一种体积为立方厘米的圆柱体金属饮料罐（包含上下盖），设该圆柱体的高为（单位：厘米），底面半径为（单位：厘米）．当底面半径为多少厘米时，每个金属饮料罐所用的材料最少．（提示：圆柱体的体积） 【答案】 厘米 【解析】 【分析】由圆柱的体积、表面积公式结合基本不等式求解. 【详解】由，则，即， 圆柱表面积为， 当且仅当，即 时等号成立， 所以，当底面半径为 厘米时每个金属饮料罐所用的材料最少. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$