精品解析：江苏省泰州中学2024-2025学年高三上学期模拟一考试数学试题

江苏省泰州中学高三模拟一考试数学试题 考试时间 120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式，二次不等式可化简集合M，N，然后由交集定义可得答案. 【详解】； . 则， . 故选：C 2. 已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点坐标分别为、，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的几何意义，除法运算和复数的模计算即可. 【详解】由题意，，， . 故选：D. 3. 已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率，从而可求解. 【详解】由题知曲线和曲线在交点处有相同的切线，即斜率相等， 所以对于曲线，求导得，所以在点处的切线斜率为， 对于曲线，求导得， 所以，得，故B正确. 故选：B. 4. 已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由题求得过且与圆相切的直线方程，即可判断命题关系 【详解】由题，圆是圆心为，半径为的圆， 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线距离为1，不等于半径，与圆不相切不符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，化为一般式即， 则圆心到直线距离为，解得, 所以“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的充要条件, 故选：C. 5. 在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式将展开，可求得，再利用正弦的二倍角公式，最后把转化成正、余弦的齐次分式形式，化成正切即可求解. 【详解】，， ， . 故选：A. 7. 已知抛物线的焦点为，坐标原点为，过点的直线与交于两点，且点到直线的距离为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，，根据点到直线的距离求出，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，进而可得出答案. 【详解】由题意， 可设直线的方程为，， 则，解得， 联立，消得， ， 则， 所以 ， 所以的面积为. 故选：B. 8. 某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则（ ） A. B. C. . D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题意得到第项为，然后利用累乘法求解. 【详解】解：设，由题意得，第项为， 则时，， 因为，， 所以， 解得， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用函数的单调性可判断B选项；利用函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为实数、满足， 对于A选项，取，，则，A错； 对于B选项，对于函数，该函数的定义域为，， 当且仅当时，等号成立，所以函数在上为增函数， 因为，则，则，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，对于函数，该函数的定义域为，， 当且仅当时，等号成立，所以，函数在上为增函数， 因为，则，即，D对. 故选：BD. 10. 在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A. 甲组中位数为3，极差为4 B. 乙组平均数为2，众数为2 C. 丙组平均数为3，方差为2 D. 丁组平均数为3，第65百分位数为6 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为4分，由中位数为3得到矛盾，A正确；C选项，根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，故C正确；BD选项，可举出反例. 【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分， 根据极差为4，得到最低失分为4分， 此时中位数不可能为3，故假设不成立， 则该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，A正确； B选项，假设乙组的失分情况为， 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误； C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为， 丙组平均数为3，方差为2， 即， 若，则，不合要求，故， 所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，C正确； D选项，，故从小到大，选取第7个数作为第65百分位数， 即从小到大第7个数为6， 假设丁组失分情况为， 满足平均数为3，第65百分位数为6，但不是“优秀小组”，D错误. 故选：AC 11. 已知菱形的边长为2，，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将沿着对角线AC折起至，连结，得到三棱锥.设二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当平面截三棱锥的截面为正方形时， C. 三棱锥的体积最大值为1 D. 当时，三棱锥的外接球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用线面垂直证线线垂直；对B，计算出的长度即可；对C，当为直角时体积最大；对D，先找到球心的位置，再进行计算. 【详解】对A，取AC中点H，则由，， 所以AC⊥，， 平面，， 所以AC⊥面，又平面， 所以AC⊥，A正确； 对B，取的中点I，易知EFGI为平行四边形(如下图)， 则截面为正方形时，EF=FG=1，由中位线，=2，又BH==， 所以∠不可能为，B错误； 对C，当面ABC时体积最大，最大为，C正确； 对D，过和的外心作所在面的垂线，则交点O即为外心， 又，所以，所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积． 【详解】在平面上的投影是，因为是正四棱锥， 所以是正方形对角线的交点，连结， ，， 所以，于是. 故答案为：. 13. 已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】由周期，及可得范围，据此可得答案. 【详解】因的最小正周期不小于，则，结合，则， 又，则在处取最大值，则，， ，取，则满足题意. 故答案为： 14. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得，再求的正切值，进而即可求得渐近线方程. 【详解】根据题意，作图如下： 依题意，为的角平分线，且， 设，由角平分线定理可得：，则； 在中，由余弦定理； 在中，由余弦定理可得，， 即，解得. 故，， 所以的渐近线方程是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法： ①直接求出，从而得解； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，从而得解； ③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解. 四、解答题: 本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式，正切公式，以及两角和的余弦公式求，并求，即可求解； （2）根据正弦定理，以及（1）的结果，求得，再结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得：， 由（1）知：，所以， 由余弦定理得： 即，所以， 所以的周长为． 16. 已知三棱柱的棱长均为. （1）证明：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【答案】（1） 如图，取AC的中点，连接， 由余弦定理，， 故有，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取AC的中点，连接由余弦定理和勾股定理证明，再证，推出平面，最后由线面垂直推出面面垂直即可； （2）由题意建系，根据题设条件，求出平面的法向量，借助于空间向量夹角公式求出的值，最后利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，故可分别以所在直线为轴 建立空间直角坐标系如图所示. 则， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则 不妨取， 可得是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 化简整理得解得，或（舍去），则， 又因为，可得. 设点到直线的距离为， 则，解得. 故点到直线的距离为. 17. 设等差数列的公差，且，记为数列的前项和. （1）若成等比数列，且的等差中项为，求数列的通项公式； （2）若且，比较的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项和等差中项的性质计算即可； （2）由等差数列的求和公式结合基本不等式计算即可； 【小问1详解】 由已知得，即，化简得， ，， 又，即，所以，故； 【小问2详解】 易知等差数列的首项，不妨设， ，， 又，所以，，， ， ，. 18. 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点. （1）设直线的斜率为，已知，求证：； （2）直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） 设， 由，得，变形得， 即，故，又，解得，故. （2） 【解析】 【分析】（1）利用点差法表示直线和直线的斜率关系，再利用点在椭圆内，建立不等式，即可求解； （2）首先设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，以及点的坐标，并得到直线的方程，并求解弦长，根据条件得到代入公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 可得. ， 则弦的中点的坐标为， 故的方程为.联立，得， 由对称性，不妨设，则，其中. 可得. 由题意， 且， 故，即 代入，得， 解得，故直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是将条件等式转化为，从而利用韦达定理表示弦长和. 19. 已知函数，证明： （1）在上单调递减，在上单调递增； （2）若的两个零点为，，则 （i）； （ii）. 【答案】（1）证明：，令， 则，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，； 当时，. 故在上单调递减，在上单调递增.； （2）（i）证明：，当时，， 故在内没有零点. 当；当时，， 根据函数零点存在定理，在区间和内各有一个零点. 因此，. 令，则， 令，则，，， 故在上单调递减，在上单调递增，. 因此，当时，， 即在上单调递增. 于是，即. 又因为在上单调递增，故，即.； （ii）证明：令，则. 当时，，故在上单调递减，，即. 因此，，即①. 当时，， 故，即②， 根据不等式的同向可加性①②得. 【解析】 【分析】（1）求导得，再次求导研究导函数的单调性，从而得到导函数的范围，即可判断原函数的单调性； （2）（i）根据零点存在性定理得到，构造函数，再次求导，利用同构思想得到，则； （ii）令，求导得其单调性，则得到，，两不等式相加即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是构造函数，再利用同构思想得到，最后根据的单调性得到即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学高三模拟一考试数学试题 考试时间 120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点坐标分别为、，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，坐标原点为，过点的直线与交于两点，且点到直线的距离为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则（ ） A. B. C. . D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A. 甲组中位数为3，极差为4 B. 乙组平均数为2，众数为2 C. 丙组平均数为3，方差为2 D. 丁组平均数为3，第65百分位数为6 11. 已知菱形的边长为2，，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将沿着对角线AC折起至，连结，得到三棱锥.设二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当平面截三棱锥的截面为正方形时， C. 三棱锥的体积最大值为1 D. 当时，三棱锥的外接球的半径为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为____________． 13. 已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为______________________． 14. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______． 四、解答题: 本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 16. 已知三棱柱的棱长均为. （1）证明：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 17. 设等差数列的公差，且，记为数列的前项和. （1）若成等比数列，且的等差中项为，求数列的通项公式； （2）若且，比较的大小. 18. 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点. （1）设直线的斜率为，已知，求证：； （2）直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 19. 已知函数，证明： （1）在上单调递减，在上单调递增； （2）若的两个零点为，，则 （i）； （ii）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $