第一章 专题强化二 追及相遇问题（课件PPT）-【步步高】2024年高考物理大一轮复习讲义（ 人教版 苏京）

DIYIZHANG 第一章 运动的描述　匀变速直线运动的研究 大一轮复习讲义 追及相遇问题 专题强化 二 目标 要求 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会在图像中分析追及相遇问题.3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题. 内容索引 题型一　追及相遇问题 题型二　图像法在追及相遇问题中的应用 课时精练 3 题型一 追及相遇问题 4 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置.追及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例. 1.二者距离变化与速度大小的关系 (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙的距离就不断增大. (2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变. (3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离就不断减小. 2.分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”. (1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系.通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口. 3.常用分析方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图. (2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇. ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇. (3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像.位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系. 4.常见追及情景 (1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大. (2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值. 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上. 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动. 例1　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？ 答案　2 s　6 m 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at 解法二(二次函数法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远， 由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值为6 m 所以t＝2 s时两车相距最远，为6 m. 解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v1＝6 m/s 例2　汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时.求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离； 答案　16 m　 汽车A和B的运动过程如图所示. 当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即vB－at＝vA，解得t＝3 s 此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m 故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m. (2)经过多长时间A恰好追上B. 答案　8 s 汽车B从开始减速直到静止经历的时间 汽车A在t1时间内运动的位移 xA′＝vAt1＝20 m 此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m 故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s. [拓展延伸]　(1)若某同学应用关系式vBt－ at2＋x0＝vAt，解得经过t＝7 s (另一解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？ 答案　见解析 (2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？ 答案　见解析 例3　(2023·江苏扬州市高三开学考试)如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车均以36 km/h的速度在平直路面上匀速行驶，货车在甲车前面.若甲车司机发现附近无其他车辆后开始加速从货车左侧超车，加速度大小为4 m/s2.假定货车速度保持不变，汽车超过货车4 m后完成超车，不计车辆变道的时间.求： (1)若甲车要在4 s内完成超车，则货车最多在甲车前面多远处； 答案　28 m　 设甲车与货车之间的距离为d，由题意可得x甲＝d＋x货＋4 m x货＝v0t1 解得d＝28 m (2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，乙车速度为54 km/h.甲车超车的整个过程用时4 s，乙车速度始终保持不变，则开始超车时甲、乙两车之间的距离至少是多少. 答案　132 m 甲车位移x甲＝72 m 乙车位移x乙＝v乙t1＝60 m 则甲、乙两车之间的距离至少是L＝x甲＋x乙＝132 m. 题型二 图像法在追及相遇问题中的应用 23 1.x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算. (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解. 2.利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷. 3.若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为 a－t图像，可转化为v－t图像进行分析. 例4　(2023·山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间(x－t)或速度－时间(v－t)图像，t1时刻两车恰好到达同一地点.关于两车在t1～t2时间内的运动，下列说法正确的是 A.若是x－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距 离最大 B.若是x－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两 车间的距离最小 C.若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小 D.若是v－t图像，则两车间的距离不断增大 √ 考向1　x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题 若是x－t图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错误； 若是v－t图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t1～t2时间内，两车间的距离不断增大，故C错误，D正确. 例5　(2023·江苏省沭阳县潼阳中学高三阶段检测)入冬以来，雾霾天气频发，发生交通事故的概率比平常高出许多，保证雾霾中行车安全显得尤为重要；在雾天的平直公路上，甲、乙两汽车同向匀速行驶，乙在前，甲在后.某时刻两车司机听到警笛提示，同时开始刹车，结果两车刚好没有发生碰撞.图示为两车刹车后匀减速直线运动的v－t图像，以下分析正确的是 A.两车开始刹车时的距离为87.5 m B.甲刹车的加速度的大小为0.5 m/s2 C.t＝20 s时乙车的速度为5 m/s D.两车都停下来后相距25 m √ 两车刚好没有发生碰撞，此时两车速度相等，所经历的时间为20 s， 所以两车开始刹车时的距离为s＝x甲－x乙＝100 m，故A、B错误； 甲、乙在20 s时速度相等，所以v乙＝(15－0.5×20) m/s＝5 m/s，故C正确； 例6　假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶.甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示.取运动方向为正方向.下列说法正确的是 A.t＝3 s时两车相距最近 B.t＝6 s时两车速度不相等 C.t＝6 s时两车距离最近，且最 近距离为10 m D.两车在0～9 s内会相撞 √ 考向2　利用v－t图像分析追及相遇问题 由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移之差， 即两车在t＝6 s时距离最近，最近距离为x0－Δx＝10 m，故A、B错误，C正确； t＝6 s时，两车相距10 m，且甲车在前、乙车在后，在6～9 s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在0～9 s内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D错误. 三 课时精练 1.如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(x－t)图线，由图可知 A.在t1时刻，a车追上b车 B.在t1到t2这段时间内，a、b两车运动方向一直相同 C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大 D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 基础落实练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t1时刻，a、b两车的位置相同，此前a车在前、b车在后，此后b车在前、a车在后，因此在t1时刻是b车追上a车.由于x－t图像的斜率表示速度的大小及方向，因此a车速度不变，做匀速直 线运动，b车先做减速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动.t2时刻两图像的斜率一正一负，两车速度方向相反，选项A、B、D错误，C正确. 2.(2023·四川南充市模拟)某车型在红绿灯停启、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等方面都能无干预自动驾驶.某次试乘时，甲、乙两车同时并排出发，沿着同一平直路面行驶，它们的速度v随时间t变化的图像如图所示.则下列说法中正确的是 A.t1～t2时间内，甲、乙两车的加速度不可能相同 B.t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离始终增大 C.t1～t2时间内，甲、乙两车相遇两次 D.t1～t2时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题图可看出在0～t1时间内，乙的速度一直大于甲的速度，又根据题知甲、乙两车同时从同一位置出发，则二者距离先增大，且在t1时刻乙在甲前面，t1后甲的速度大于乙的速度，则二者越来越近，最后相遇，但甲的速度依然大于乙的速度，则二者的距离再增大，到t2时甲在乙前面，故在t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离先减小后增大，甲、乙两车相遇一次，B、C错误； 由于v－t图像的斜率表示加速度，则由题图可看出，图线甲的斜率先减小后反向增大，存在某一时刻图线甲的斜率与图线乙的斜率相同，故在t1～t2时间内，存在甲、乙两车加速度相同的时刻，A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由于v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则在t1～t2时间内，x甲 > x乙，则甲车的平均速度大于乙车的平均速度，D正确. 3.(2023·江苏省泰州中学阶段检测)甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示.两图像在t＝t1时相交于P点，P点在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S.在t＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为d，已知两车在运动过程中共相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下列四组t′和d的组合可能正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设甲追上乙的时刻为t′，则根据距离的关系得 s甲－s乙＝d， 所以将t′＝t1代入该式中，发现d＝S，但如果这样的话，两个物体将只相遇一次，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(2023·海南省模拟)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，0～5 s内甲、乙运动的v－t图像如图所示，下列说法正确的是 A.甲物体的初速度大于乙物体的初速度 B.5 s末甲、乙两物体相距最远 C.0～5 s内，甲物体先做匀速直线运动，后做匀减 速直线运动 D.5 s末甲、乙两物体相遇 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由v－t图像可知，甲物体的初速度小于乙物体的初 速度，A错误； 由v－t图像可知，在5 s时，甲、乙两物体速度相同， 在0～3 s内，甲、乙两物体运动方向相反，距离逐 渐变大，在3～5 s内，两物体运动方向相同，但甲的速度小于乙的速度，两物体的距离继续增大，故5 s末甲、乙两物体相距最远，B正确，D错误； 由v－t图像可知，0～2 s内，甲物体做匀速直线运动，2～3 s内，甲物体向正方向做匀减速直线运动，3～5 s内，甲物体向负方向做匀加速直线运动，C错误. 5.(2023·福建省三明一中模拟)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度v随时间t的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等(S1＝S2)，则 A.甲做直线运动、乙车做曲线运动 B.在0～t2时间内，甲、乙两车相遇两次 C.在0～t2时间内，甲的加速度先减小后增大 D.在0～t2时间内(不包括t2时刻)，甲车一直在乙车前面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲、乙两车均做直线运动，A错误； 从图像可知，在0～t2时间内，甲、乙两车图线与t轴所包围的“面积”相等，即两车的位移相等，所以t2时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在0～t2时间内，甲车的v－t图线斜率不断增大，所以加速度不断增大，C错误； 在0～t2时间内(不包括t2时刻)，甲车图线与t轴所包围的“面积”大于乙车图线与t轴所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，且甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲车一直在乙车前面，D正确. 6.(2023·湖南怀化市模拟)甲、乙两辆汽车同时同地出发，沿同方向做直线运动，两车速度的平方v2随位移x的变化关系图像如图所示，下列说法正确的是 A.汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时，甲车的 位移为8 m B.汽车甲的加速度大小为4 m/s2 C.汽车甲、乙在t＝4 s时相遇 D.汽车甲、乙在x＝6 m处的速度大小为3 m/s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 能力综合练 根据v2－v02＝2ax并根据题给图像可推知甲、乙两车的初速度大小分别为v0甲＝6 m/s，v0乙＝0，v2－x图像的斜率的绝对值表示汽车加速度大小的2倍，所以甲、乙两车的加速度大小分别为a甲＝2 m/s2，a乙＝1 m/s2，且甲做匀减速直线运动，乙做匀加速直线运动，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.(2023·浙江省模拟)甲、乙两名运动员在泳池里训练，t＝0时刻从泳池的两端出发，甲、乙的速度－时间图像分别如图甲、乙所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为质点，下列说法正确的是 A.泳池长50 m B.两运动员一定不会在泳池的两 端相遇 C.从t＝0时刻起经过1 min，两运 动员共相遇了3次 D.在0～30 s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为8∶5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据v－t图线与时间轴围成的面积表示位移，可知泳池长度L＝1.25×20 m＝25 m，故A错误； 如图所示，由甲、乙的位移－时间图线的交点表示相遇可知，甲、乙在t＝100 s时在泳池的一端相遇，故B错误； 在0～60 s内甲、乙相遇3次，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.(2023·广东省华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示.已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小. 答案　12 m/s　3 m/s2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在t1＝1 s时，A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得x1＝vBt1，解得B车的速度大小为vB＝12 m/s，图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝ ，其中t2＝5 s，解得A车的加速度大小为a＝3 m/s2. (2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　x0>36 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积， 因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离应满足条件为x0>36 m. 9.(2023·山东省实验中学月考)足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中，某标准足球场长105 m，宽68 m.攻方前锋在中线处将足球沿边线向前路踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为 12 m/s的匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2， 试求： (1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移 为多大； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　36 m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 依题意，足球做匀减速运动，到停下来，由速度与时间关系得v1＝a1t1，代入数据得t1＝6 s， (2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球.他的启动过程可以视为初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s，该前锋队员至少经过多长时间能追上足球. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　6.5 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动， 其位移为x3＝v2(t1－t2)＝16 m，由于x2＋x3<x1，故足球停止运动时，前锋队员没有追上足球，然后前锋队员继续以最大速度匀速运动追赶足球， 根据x1－(x2＋x3)＝v2t3，解得t3＝0.5 s，故前锋队员追上足球的时间为t＝t1＋t3＝6.5 s. 10.货车A正在该公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有64 m. (1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养提升练 答案　相撞　4 s　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在此10 s内A车的位移为xA＝vAt0＝20×10 m＝200 m， 此时A、B两车间的位移差为Δx＝xA－xB＝100 m＞64 m，所以两车必定相撞； 所以A车撞上B车的时间为4 s； (2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度a2至少多大才能避免事故发生.(这段公路很窄，无法靠边让道) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　1.125 m/s2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 已知A车的加速度aA＝－2 m/s2，初速度vA＝20 m/s； B车的加速度为a2，设B车运动经过时间为t′时，两车相遇， 要避免相撞，则上式无实数解，根据数学关系知a2＞1.125 m/s2，所以B的加速度的最小值为1.125 m/s2. 当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值. 所以t＝＝2 s，Δx＝vt－at2＝6 m. 则Δx＝vt－at2 代入已知数据得Δx＝6t－t2 所以有t1＝＝ s＝2 s， Δx＝＝ m＝6 m. 汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m t1＝＝5 s 运动的位移xB′＝＝25 m 汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s 这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动. 由位移时间关系公式有：vBt－at2＝x0＋vAt，解得t1＝(3－) s，t2＝ (3＋) s. x甲＝v0t1＋at12 此时乙车的位移为x乙＝v乙t＋a乙t2＝(15×20－×0.5×400) m＝200 m， 甲车的加速度a1＝＝ m/s2＝－1 m/s2，加速度大小为1 m/s2， 此时甲车的位移为x甲＝v甲t＋a甲t2＝(25×20－×1×400) m＝300 m， 乙车的加速度a2＝＝ m/s2＝－0.5 m/s2， 根据图像与横轴围成的面积表示位移大小可知，两车都停下来后相距为Δx＝×(30－25)×5 m＝12.5 m，故D错误. 即Δx＝[×30×3＋×30×(6－3)] m＝90 m<x0＝100 m， 根据平均速度的计算公式有＝， A.t′＝t1，d＝S B.t′＝t1，d＝S C.t′＝t1，d＝S D.t′＝t1，d＝S 由题图可知，乙的加速度为a＝，S＝， 故vt′－at′2＝d，整理得vt′2－2vt1t′＋2dt1＝0， 同理，将t′＝t1代入vt′2－2vt1t′＋2dt1＝0， 联立求得d＝S，将t′＝t1代入得d＝S， 将t′＝t1代入得d＝S，故B、C错误，D正确. 汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时二者速度相同，设共经历时间为t1，则a乙t1＝v0甲－a甲t1，解得t1＝2 s，此时甲车的位移为x甲＝v0甲t1－a甲t12＝8 m，故A正确； 所以甲、乙两车相遇一定发生在甲车停下之后，设相遇时刻为t，则有 a乙t2＝9 m，解得t＝3 s，故C错误； 甲车总运动时间为t2＝＝3 s，甲停下时位移为9 m， 而此时乙车的位移为x乙＝a乙t22＝ m<9 m， 汽车甲、乙在x＝6 m处的速度大小为v＝＝＝2 m/s，故D错误. 在0～30 s内，甲的位移大小为x1＝1.25×20 m－1.25×10 m＝12.5 m，乙的位移大小为x2＝1.0×25 m－1.0×5 m＝20 m，在0～30 s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为v1∶v2＝∶＝5∶8，故D错误. 则x＝vB(t1＋t2)，代入数据解得x＝36 m， 根据x1＝t1，代入数据得x1＝36 m. 前锋队员做匀加速直线运动达到最大速度的时间和位移分别为t2＝＝4 s，x2＝t2＝16 m， 当两车速度相同时，所用时间为t0＝＝10 s， B车的位移为xB＝at02＝×2×102 m＝100 m， 设两车相撞的时间为t，则相撞时有vAt－at2＝64 m，代入数据解得t＝4 s(另一值不合题意舍去) 则有vAt′＋aAt′2＝a2t′2＋L， 代入数据有t′2－20t′＋64＝0， $$