第二章 §2.9 指、对、幂的大小比较[培优课]（课件PPT）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.9　指、对、幂的大小 比较[培优课] 第二章　函　数 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 命题点1　利用函数的性质 例1　设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是 A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 题型一 直接法比较大小 √ 所以 < ，即a<b， 又因为函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递增， 所以 < ， 所以b<c，故c>b>a. 命题点2　找中间值 例2　(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝ ，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a √ 命题点3　特殊值法 例3　已知a>b>1,0<c< ，则下列结论正确的是 A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc √ 则ac＝ ，bc＝ ， ∴ac>bc，故A错误； abc＝4× ＝ ，bac＝2× ＝ ， ∴abc>bac，故B错误； ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误. 利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0， ，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较. 思维升华 思维升华 跟踪训练1　(1)已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b √ 因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增， 所以1.60.6>0.60.6>0， 又b＝lg 0.6<lg 1＝0， 所以c>a>b. A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b √ 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，0<0.3<1， 所以a＝log20.3<log21＝0， 所以a<c<b. 例4　(1)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 √ a＝ ＝ ＝ ，b＝ ＝ ， 所以a<b， 所以a<b<c. (2)(2023·枣阳模拟)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，则a，b，c的大小关系是 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b √ ∴(lg 4)2－lg 3lg 5>0，lg 3lg 4>0， ∴a－b>0，即a>b， 同理可证b>c，故a>b>c. 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况. 思维升华 思维升华 跟踪训练2　(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3 ≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a √ c＝930＝360， a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c. (2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则 A.b<a<c B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c √ 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 所以log26<log28<log210， 所以a<b<c. 例5　(1)已知a＝e，b＝3log3e，c＝ ，则a，b，c的大小关系为 A.c<a<b B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 题型三 构造函数比较大小 √ ∴函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增， ∵e<3<5，∴f(e)<f(3)<f(5)， ∴a<b<c. (2)(2023·南宁模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为 A.b>c>a B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c √ 令f(x)＝(14－x)ln x， 所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0. 所以f(x)＝(14－x)ln x在(6，＋∞)上单调递减. 所以f(6)>f(7)>f(8)， 即8ln 6>7ln 7>6ln 8， 故68>77>86. 故a>b>c. 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. 思维升华 √ 由x，y，z为正实数， 设log2x＝log3y＝log5z＝k>1， 可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5. 令f(x)＝xk－1， ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(2)<f(3)<f(5)， √ ∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)min＝f(1)＝0， ∴c<b， 又c＝2ln 1.1>2ln 1＝0， ∴a<c<b. 课时精练 A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b √ 故c<a<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝ ，则下列判断正确的是 A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c √ 3.设a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，则 A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.a<c<b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝log32<log33＝1，c＝log3020<log3030＝1， 所以a>b，a>c， 所以c>b，所以b<c<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则 A.x>y>z B.y>x>z C.z>x>y D.x>z>y √ 因为3x＝4y＝10， 所以x＝log310>log39＝2；1＝log44<y＝log410<log416＝2， 则1<y<2，所以x>y>1， 而z＝logxy<logxx＝1， 所以x>y>z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.若e>b>a> ，m＝ab，n＝ba，p＝logab，则m，n，p这三个数的大小关系为 A.m>n>p B.n>p>m C.n>m>p D.m>p>n √ 所以n>m>p. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(2023·茂名模拟)已知a＝sin 2，b＝ln 2，c＝ ，则a，b，c的大小关系是 A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴a>c，∴b<c<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a √ 令f(x)＝sin x－x， 则f′(x)＝cos x－1≤0， 所以f(x)为减函数， 所以当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即sin x<x， 所以b<c<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知a＝22.1，b＝2.12，c＝ln 2.14，则a，b，c的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 构造函数f(x)＝x2，g(x)＝2x， 如图所示，当x∈(2,4)时，x2>2x， 所以f(2.1)>g(2.1)， 所以2.12>22.1>22＝4，即b>a， 又因为ln 2.14＝4ln 2.1， 且函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 所以ln 2.1<ln e＝1， 即ln 2.14＝4ln 2.1<4ln e＝4，故b>a>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.已知a＝5ln 4π，b＝4ln 5π，c＝5ln π4，则a，b，c的大小关系是 A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c √ 可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减， ∴5ln 4π>4ln 5π，∴a>b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴4ln π>πln 4， ∴π4>4π， ∴5ln π4>5ln 4π， ∴c>a，∴b<a<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.(2022·赣州模拟)已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则 A.a>c>b B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c √ 由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1， 令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)， 所以f′(x)在[－1,1]上单调递减， 所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，所以f(x)在[－1,1]上单调递增， 所以f(1)>f(0)>f(－1)，即a>b>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为函数y＝x是增函数， b＝ >20＝1,7－0.5＝ < ＝， 即0<c<，所以b>a>c. 因为1＝log55>log53>log5＝log5 ＝， 即<a<1， logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2， 取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝， (2)(2023·安阳模拟)已知a＝log20.3，b＝0.3，c＝，则 所以0<c＝<， 又因为函数y＝x是减函数，0.3<1， 所以b＝0.3>， 而<2.5， 因为y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，且<， c＝ > ＝1， 又 <0＝1，即b<1， ∵a＝log34＝，b＝log45＝，c＝log56＝， ∴a－b＝－＝， ∵lg 3lg 5<＝<＝＝(lg 4)2， 则>>， 由题意得，a＝log63＝log6＝1－log62＝1－， b＝log84＝log8＝1－log82＝1－， c＝log105＝log10＝1－log102＝1－， 设f(x)＝，x≥e， 则f′(x)＝≥0恒成立， 又a＝f(e)，b＝3log3e＝＝f(3)，c＝＝f(5)， 而f′(5)＝－ln 5＋－1>0，f′(6)＝－ln 6＋－1<0， 则f′(x)＝－ln x＋－1. 因为y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，y＝－1在(0，＋∞)上单调递减， 所以f′(x)＝－ln x＋－1在(0，＋∞)上单调递减. 跟踪训练3　(1)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>1，则，  ，的大小关系是 A.<< B.<< C.<< D.＝＝ ∴＝2k－1>1，＝3k－1>1，＝5k－1>1， 即<<. (2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 令f(x)＝2－2－ln x， ∴f′(x)＝－＝， ∵(e1.3)2＝e2.6<e3<33，(2)2＝28>33， ∴e1.3<2，∴a<0； b－c＝4－4－2ln 1.1＝2(2－2－ln 1.1)， ∴f(1.1)>0，即2－2－ln 1.1>0， 又c＝log2<log22＝1. 1.设a＝ ，b＝2，c＝log2，则a，b，c的大小关系是 a＝ ＝ >1，且 <2＝b， a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b. b－c＝log32－log3020＝－＝<0，   n＝ba＝2＝＝6.25，  p＝logab＝log2∈(1,2)， 因为e>b>a>， 所以取a＝2，b＝， 则m＝ab＝ ＝＝∈(5,6)， 即b<，∴a>b； ∵ ＝＝，3＝， a＝sin 2>sin ＝>， ∴ >，∴c>b； ＝e3>24⇒ >2⇒ ＝>ln 2， ∵6＝， ＝＝， ∴> ， 7.设a＝，b＝9sin ，c＝，则 所以b＝9sin <9×＝<1， 又a＝>＝1，c＝>＝1，且a45＝105，c45＝39＝3×94<105， 同理可得>， 令f(x)＝(x≥e)， 则f′(x)＝， ∴>， 则f′(x)＝ln(10.1－x)＋＝ln(10.1－x)＋1＋， 又f′(1)＝ln 9.1＋1－＝ln 9.1－>0， $$