2025年中考数学专题复习：三角形的证明

2025年中考数学专题复习:三角形的证明 一、单选题 1.如图所示,已知,,垂足分别为E,F,则在下列条件中选择一组,不可以判定的是( ) A., B., C., D., 2.如图,,,垂足为E,若,则的度数为( ) A.40 B.50 C.60 D.90 3.如图, ABC中,∠BAC=100 ,DF,EG分别是AB,AC的垂直平分线,则∠DAE等于( ) A.50 B.45 C.30 D.20 4.如图,的角平分线、、交于点,若,则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D.三条高的比为 5.如图,在 ABC中,小美同学按以下步骤作图:①以点C为圆心,以BC的长为半径画弧,交AC于点D,连接BD;②分别以点B,D为圆心,以大于BD的长为半径画弧,两弧交于点E;③作射线CE交BD于点F,连接AF.若 ABC的面积为10,则 ACF的面积为( ) A.2.5 B.5 C.7.5 D.8 6.如图,把剪成三部分,边放在同一直线l上,点O都落在直线上,直线.在中,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 二、填空题 7. 的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形是轴对称图形,顶角 是它的对称轴. 8.如图,在等腰中,,则 . 9.如图,在中,、的平分线交于O点,过O点作交AB、AC于点E,F.当,时,CF的长为 . 10.中,与的平分线交于D点,过D点作,分别交于点E、F,,那么的周长为 . 11.如图,中,,的垂直平分线交于点,交边于点,若,则的周长为 . 12.如图,CD是 ABC的角平分线, ABC的面积为12,BC长为6,点E,F分别是CD,AC上的动点,则AE+EF的最小值是 . 三、解答题 13.在解答“判断由长为,2,的三条线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中,小明是这样做的,你认为小明的解答正确吗?请说明理由. 解:设a=,b=2,c=. ∵a2+b2=()2+22=,c2=()2=, ∴a2+b2≠c2, ∴这三条线段组成的三角形不是直角三角形. 14.已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形,使,. 15.如图,∠AOP=∠BOP=15 ,PC//OA,PD⊥OA,若PC=4,求PD是多少? 16.如图,在中,是上一点,且.求的长. 17.如图,在中,,在的上方作,使,且,与交于点,连接. (1)若平分,求证:. (2)求的度数. 18.已知:如图,AD 是∠BAC 的平分线,∠B=∠EAC,ED⊥AD 于 D. 求证:DE 平分∠AEB. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B D B B C 1.D 【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解. 【详解】解:A:若,,则可利用“”判断,不符合题意; B:若,,则,可利用“”判断,不符合题意; C:若,,则可利用“”判断,不符合题意; D:与不是对应边,故不能判定,符合题意; 故选:D 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理.熟记定理内容是解题关键. 2.B 【分析】由题意易得,,然后问题可求解. 【详解】解:∵,, ∴, ∵, ∴, ∴; 故选B. 【点睛】本题主要考查平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余,熟练掌握平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键. 3.D 【详解】试题解析:根据线段的垂直平分线性质,可得AD=BD,AE=CE. 故∠EAC=∠ECA,∠ABD=∠BAD. 因为∠BAC=100 ,∠ABD+∠ACE=180 -100 =80 , ∴∠DAE=100 -∠BAD-∠EAC=20 . 故选:D. 4.B 【分析】根据三角形角平分线的性质,利用等积法即可求解. 【详解】解:∵的角平分线、、交于点, ∴点到三角形三边的距离相等, 设点到三角形三边的距离为x 故选:B 【点睛】本题考查角平分线的性质,解题的关键是明确角平分线的性质在几何证明中的作用. 5.B 【分析】证明DF=FB,推出S CFD=S CFB,S ADF=S AFB,可得结论. 【详解】解:由作图过程可知,CD=CB,且CE平分∠BCD, ∴点F是BD的中点, ∴S CFD=S CFB,S ADF=S AFB, ∴S ACF=S CDF+S ADF•S ABC10=5, 故选:B. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质,角平分线的作图,掌握“等腰三角形的三线合一”是解本题的关键. 6.C 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的角平分线的判定,利用平行线间的距离处处相等判定点O是的三个角平分线的交点是解题的关键. 首先利用平行线间的距离处处相等,得到点O是的三个内角平分线的交点,从而容易得到,再根据三角形内角和定理即可求解. 【详解】解:如图,过点O分别作于D,B于E,于F,如图, ∵直线, ∴, ∴点O是的三个内角平分线的交点, ∴, ∴. 故选:C. 7. 有两条边相等 角平分线所在直线 【分析】根据等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形,以及等腰三角形的对称轴,顶角角平分线所在直线,进行作答即可. 【详解】解:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形; 等腰三角形是轴对称图形,顶角角平分线所在直线是它的对称轴; 故答案为:有两条边相等;角平分线所在直线. 【点睛】本题考查等腰三角形的定义,以及等腰三角形的对称轴.熟练掌握等腰三角形的定义,是解题的关键.注意:对称轴是一条直线,不是线段. 8./65度 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出,根据垂线的定义得到,进而求出,最后根据平角的定义求解即可. 【详解】解:∵在等腰中,, ∴,, ∴, ∴, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理,垂线的定义,等腰三角形的性质,熟知三角形内角和定理是解题的关键. 9.3 【分析】利用平行的性质和角平分线的定义得到BE=OE,OF=CF,可得出结论EF=BE+CF,由此即可求得CF的长. 【详解】解:如图,∵BO平分∠ABC, ∴∠ABO=∠CBO; ∵EF//BC, ∴∠EOB=∠OBC, ∴∠EOB=∠EBO, ∴BE=OE;同理可证CF=OF, ∴EF=BE+CF, ∵EF=5,BE=2, ∴OF=EF−OE=EF−BE=3, ∴CF=OF=3, 故答案为3. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质,结合平行线的性质得到BE=EO,CF=OF是解题的关键. 10.34 【分析】根据角平分线的性质可得∠EBD=∠DBC,∠DCB=∠FCD,由平行线的性质,可得∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB,由等腰三角形的判定,可得BE=DE,DF=FC,则 AEF的周长转化为AB+AC. 【详解】解:如图: ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC, ∵EF∥BC, ∴∠EDB=∠DBC, ∴∠ABD=∠EDB, ∴BE=ED, 同理可得:DF=CF, ∴ AEF的周长=AE+ED+DF+AF =AE+BE+CF+AF =AB+AC =20+14 =34. 故答案为:34. 【点睛】本题考查了角平分线和平行线的性质,以及等腰三角形的判定,能够根据把 AEF的周长转化为AB+AC是解决问题的关键. 11.15 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定与性质,熟练掌握线段垂直平分线的性质,以及等边三角形的判定与性质是解题的关键. 根据线段垂直平分线的性质可,从而利用等腰三角形的性质可得,进而利用三角形外角的性质可得,然后结合已知可得是等边三角形,从而利用等边三角形的性质进行计算即可解答. 【详解】解:∵是的垂直平分线, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴是等边三角形, ∴, ∴的周长为15, 故答案为:15, 12.4 【分析】作关于的对称点,由是的角平分线,得到点一定在上,过作于,交于,则此时,的值最小,的最小值,过作于,根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论. 【详解】解:作关于的对称点, 是的角平分线, 点一定在上, 过作于,交于, 则此时,的值最小,的最小值, 过作于, 的面积为12,长为6, , 垂直平分, , , , 的最小值是4, 故答案为:4. 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题,解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线. 13.见解析 【详解】试题分析:根据勾股定理的逆定理,求出两小边的平方和和大边的平方,看看是否相等即可. 试题解析: 小明的做法不正确, 理由是:∵()2+()2=22, ∴这三条线段组成的三角形是直角三角形 14.见解析 【分析】根据尺规作图方法和步骤即可进行解答. 【详解】解:①在射线上,以点B为圆心,截取, ②分别以点B和点C为圆心,b为半径画弧,两弧相交于点A, ③连接,即为所求. 【点睛】本题主要考查了尺规作图,解题的关键是熟练掌握尺规作图的规则.注意尺规作图工具是没有刻度的直尺和圆规. 15.2 【分析】过点P作PE⊥OB于E,根据两直线平行,内错角相等可得∠AOP=∠CPO,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=30 ,再根据直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半得出PE,再由∠AOP=∠BOP,PD垂直于OA,PE⊥OB利用角平分线定理得到PE=PD即可. 【详解】 解:过P作PE⊥OB,交OB与点E,则∠CEP=90 ∵PC∥OA, ∴∠CPO=∠POD, 又∠AOP=∠BOP=15 , ∴∠CPO=∠BOP=15 , ∵∠ECP为 OCP的外角, ∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30 , 在直角三角形CEP中,∠ECP=30 ,PC=4, ∴ ∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE=2 【点睛】此题考查了含30 角直角三角形的性质,角平分线的性质定理,平行线的性质,以及三角形的外角性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.同时注意辅助线的作法. 16.8cm 【分析】先根据已知条件求得PA=PC,再含30度直角三角形的性质求得BP的长即可. 【详解】∵AB=AC,∠BAC=120 , ∴∠B=∠C=30 , ∵∠BAC=120 ,∠BAP=90 , ∴∠PAC=30 , ∴∠C=∠PAC, ∴PA=PC=4cm, ∵∠BAP=90 ,∠B=30 , ∴BP=2AP=8cm. 【点睛】考查了含30度直角三角形的性质,解题关键是根据已知条件求得PA=PC=4cm,再根据含30度直角三角形的性质求得BP的长. 17.(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质, (1)延长,交于点,由题意得,有,由垂直得,证得,有即可证明结论; (2)过点分别作于点,于点,有,得到,可得,即可求得角度. 【详解】(1)证明:延长,交于点,如图, ,,, , , . ,, . ,, , , . (2)解:过点分别作于点,于点,如图, . ,, , , ∵, ∴, . 18.见解析 【分析】延长AD交BC于F,由AD是∠BAC的平分线,∠B=∠EAC,易证得∠DFE=∠DAE,可得AE=FE,又由ED⊥AD,根据三线合一的性质,即可证得ED平分∠AEB. 【详解】证明:延长 AD 交 BC 于 F, ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠BAD=∠CAD, ∵∠DFE=∠B+∠BAD,∠DAE=∠EAC+∠CAD, ∵∠B=∠EAC, ∴∠DFE=∠DAE, ∴AE=FE, ∵ED⊥AD, ∴ED 平分∠AEB. 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$