专题突破 特殊四边形相关模型问题-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

专题突破：特殊四边形相关模型问题 常用方法 熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质及判定，了解垂美四边形模型、半角模型、中点四边形模型、一线三垂直模型、十字架模型、对角互补模型等解题技巧，并能够适当变通运用。 题型一 垂美四边形模型 【例1】（八年级下·江西宜春·期中）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________； （4）【性质应用】如图3，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长． 【答案】（1）③④；（2）是，理由见解析；（3）AD2+BC2＝AB2+CD2，理由见解析； （4） 【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可； （3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案； （4）证明△GAB≌△CAE，进而得出CE⊥BG，根据（3）的结论计算即可． 【详解】解：（1）∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形， ∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形， 故答案为：③④； （2）四边形ABCD是垂美四边形， 理由如下：如图2，∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （3）AD2+BC2＝AB2+CD2， 证明如下：如图①，∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； （4）如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∴CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AB＝10，AC＝8， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝36，CG2＝AC2+AG2＝128，BE2＝AB2+AE2＝200， ∴GE2＝128+200﹣36＝292， 则GE＝2． 【变式1-1】（2024八年级下·全国·专题练习）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 　　 (2)性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系： 　　． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②求出四边形的面积． 【答案】(1)菱形、正方形 (2) (3)①证明见解析；② 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）根据列式求解即可； （3）①连接，，证出，由SAS证明，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可； ②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、和正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形； （2）解：； （3）①证明：连接和，设与相交于点，与相交于点，如图2所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； ②解：∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形为垂美四边形， ∴四边形的面积． 【变式1-2】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长． (3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）分别对运用勾股定理，再根据等式的性质即可求证； （2）先证明，得到四边形为“垂美四边形”，则，再运用勾股定理求得，，代入即可求解； （3）①当时，对中，由勾股定理求得，，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，可证明，则，，在中，由勾股定理得；②当时，同上． 【详解】（1）解：数量关系为： 记交于点O， ∵， ∴在中， 由勾股定理得：， ∴， 同理可得：， ∴； （2）解：如图， ∵四边形是正方形，为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为“垂美四边形”， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 同理可求, ∴， 解得：； （3）解：①当时， 则， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 过点P作延长线的垂线，垂足为点D， 由题意得，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ②当时， 同上可求此时， 过点P作于点D， 同上可证：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理求得， 综上：或． 【变式1-3】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）②④；（2）猜想正确，理由见解析；（3） 【分析】本题考查四边形中新定义的问题，熟练掌握勾股定理与几何问题的结全是解题的关键， （1）利用垂美四边形的定义结合菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）利用垂美四边形的定义可得到，再根据勾股定理即可得到答案； （3）结合垂美四边形的结论，代入即可得到答案． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线相互垂直， ∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义， 故答案为：②④； （2）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-4】（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料分析题： 我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． 如图1．已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 一、探索证明“垂美四边形”的性质： （1）性质1：如图1，由勾股定理可知，中，，中，，同理，，则，即． （2）性质2：． 二、结合上述学习，解答下列问题： ［学以致用］：（1）如图1．若，，则______．若，则四边形的面积______． ［变式思考］：（2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用a表示______． ［拓展应用］：（3）如图3，在长方形中，E为中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求：的长．    ［知识延伸］： （4）如图4，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①若，，，则______． ②在①的条件下，若的面积等于5，则______． 【答案】［学以致用］：（1），；［变式思考］：（2）；［拓展应用］：（3）；［知识延伸］：（4）①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，二次根式的性质；掌握定理内容并熟练运用是解题关键； ［学以致用］：（1）根据“垂美四边形”的性质，，即可求解； ［变式思考］：（2）由（1）可得：，结合即可求解； ［拓展应用］：（3）证明得出，由题意可得，结合即可求解； ［知识延伸］：（4）①先证明，可得，再证，得出四边形是垂美四边形，进而即可求解； ②过点作且，证明得出，证明得出，进而根据，得出，根据，即可求解． 【详解】解：［学以致用］：（1）∵，，， ∴， 若，则四边形的面积=； 故答案为：，． ［变式思考］：（2）∵，是的中线， ∴， ∵， ∴四边形为“垂美四边形”， ∴， ∵，， ∴， 即：， 整理得：， 故答案为：． ［拓展应用］：（3）由题意得：， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴； 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为“垂美四边形”， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ［知识延伸］：（4）①∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得，（舍去），， 故答案为：． ②如图所示，过点作且，连接交于；    ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 题型二 正方形半角模型 【例2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证，进而证明，推出，可得． （2）在上取，连接．依次证明，，可得． （3）将绕点A逆时针旋转得，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得，进而可得． 【详解】（1）解：．理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， ∴， ∴E，B，C三线共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转得， ∴． ∵， ∴， ∴E，D，C三点共线． 由（1）同理可得， ∴． 【变式2-1】（江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【变式2-2】（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】（1）DF；（2）见解析；问题应用： 【分析】[问题发现]（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； [问题应用]根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴五边形的周长为 故答案为：． 【变式2-3】（山东济宁·期中）半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) (3)8 【分析】（1）由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）由（1）的全等得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． （3）拓展延伸：如图，在正方形中，、分别在边、上，且，连接，同（2）可得结论仍然成立，再结合，即可作答． 【详解】（1）证明：逆时针旋转得到， ，， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则． ∴； （3）解：如图②，将绕点顺时针旋转角度为的度数，得到， 由旋转可得，，，，， ， ， ， ， 点、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， ； ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 则的周长为． 【变式2-4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为12，点E为中点，则________． (2)如图3，等腰直角三角形，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在中，，点在边上，且，当时，则的长为_________． 【答案】(1)①；②①② (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）①利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明；②利用①中的结论，结合勾股定理即可求解； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知， ， ， ，在中， ，可求得，所以，证，利用得到； （3）同(2)方法，把绕点顺时针旋转得到，连接．可证明∶ ．在中，，，，过点作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：①， 理由如下：由旋转可得，，，， 四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②正方形边长为12，点E为中点， ， 设， 则， 在中，， ， 解得， 在中，， 故答案为：； （2）解：猜想∶， 理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接， 如图3 ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （3）解：把绕点顺时针旋转得到，连接， 如图4 ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中， ， ， ， 过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-5】（八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【变式2-6】（广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； (2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)210海里 (4) 【分析】（1）延长到点G，使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）延长到点G．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）连接，延长、相交于点C，根据题意得到，，，根据图2的结论计算； （4）作，使，连接，，先证明，再证明，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：；理由如下： 如图1，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，即．理由： 如图2，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，连接，延长、相交于点C， ∵，， ∴， ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）． ∴此时两舰艇之间的距离为210海里． （4）解：如图4，作，使，连接，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【变式2-7】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 题型三 中点四边形模型 【例3】（八年级·安徽淮南·期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：      反思交流： (1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据　 ；依据　 　； ②连接，若时，则中点四边形的形状为　 ；并说明理由； 创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究： (2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由； (3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为　 　． 【答案】(1)①三角形的中位线定理；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②菱形，理由见解析； (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)正方形 【分析】（1）①根据三角形中位线定理解答即可； ②根据菱形的判定方法进行解答即可； （2）连接，，证明，得出，再根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （3）连接，，交于点O，交于点K，交于点J，证明，再证明，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明． 【详解】（1）解：①依据1：三角形的中位线定理； 依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ②菱形；理由如下： 如图1中，    根据题意可知，四边形为平行四边形， ，， ， ∵，， ， ∵， ， 四边形是菱形． （2）解：结论：四边形是菱形． 理由：如图，连接，，   ， ， 即：， ，， ∴， ， ， 由问题情境可知：四边形是平行四边形 四边形是菱形． （3）解：结论：正方形． 理由：如图，连接，，交于点O，交于点K，交于点J．    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【变式3-1】（八年级下·甘肃金昌·期中）如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是_____________； (2)当四边形的对角线满足_____________条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足_____________条件时，四边形是菱形； (4)当四边形的对角线满足_____________条件时，四边形是正方形，证明你的结论． 【答案】(1)平行四边形 (2)互相垂直 (3)相等 (4)垂直且相等 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理，即可得出四边形是平行四边形； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得到当对角线垂直的时候，四边形是矩形； （3）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到当对角线相等的时候，四边形是菱形； （4）根据有一个角是直角的菱形是正方形，得到当对角线相等且垂直时，四边形是正方形． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、、、， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形的形状是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）解：连接，当时： 由（1）知四边形的形状是平行四边形， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 即：当四边形的对角线满足互相垂直时，四边形为矩形； 故答案为：互相垂直； （3）解：当时： 由（1）知四边形的形状是平行四边形， 同理可得：， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形； 即：当四边形的对角线满足相等时，四边形为菱形； 故答案为：相等 （4）当，且时， 由（3）知当时，四边形为菱形， 由（2）知当时，， ∴当，且时，菱形为正方形； 即当四边形的对角线满足垂直且相等时，四边形为正方形； 故答案为：垂直且相等． 【变式3-2】（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，进行判断即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，进行判断即可； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当四边形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）当四边形满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】 （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】 （2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】 （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质． （1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； （3）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故答案为：④； （2）解：； 理由如下：如图1， ∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴， 故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”． 【变式3-4】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】： （3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由． （5）若，求的最小值．    【答案】（1）D；（2），；（3）证明见解析；（4），理由见解析；（5）的最小值为 ． 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （5）如图，记、的中点分别为E、F，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）（4）的结论即可求得答案． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； （5）如图， 连接交于O，连接、，    当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究（1）知：， 又∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 由拓展应用（4）知：； 又∵， ∴， ∴的最小值为． 题型四 一线三垂直模型 【例4】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；②3 （2）8 （3）16或40 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键． （1）①根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案，②同理①证明即可得到答案； （2）过作于E，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）①解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：当作直角边，时，如图4-1所示，作高线，过作于F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图4-2所示，作高线，过作于 F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 综上所述：的面积是或． 【变式4-1】（八年级上·河北石家庄·期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，则与的数量关系是______． (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），根据，，，可得，，，可得，结合，即可得到，即可得到答案； （2）根据，，可得，，，可得，结合可得，结合，，即可的得到答案； （3）过B作轴，过A作轴，过C作轴，、、分别交于点E、D，根据（1）可得，易得，根据，，可得，，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （3）过B作轴，过A作轴，过C作轴，、、分别交于点E、D， ∵轴，轴，轴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴点坐标为 【变式4-2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)不成立，见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2）成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3）不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【变式4-3】（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)全等，见解析 (3)，与的夹角为，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解； 【详解】（1）解：（1），， ，， 又， ， ， 在和中，， （2）和全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中，， （3），与所成夹角为，理由如下： ， ，且， ， 和均为等边三角形， ， 在和中，， ， ，， 又在等边和等边中， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述：，与的夹角为． 题型五 十字架模型 【例5】（八年级下·安徽淮南·期中）数学活动：探究正方形中的十字架 （1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系： ． （2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗?如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由． （3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为 ． 【答案】（1）AE=BF；（2）HF=EG，证明见解析；（3） 【分析】（1）利用AAS证明△ABF≌△DAE，即可得到结论； （2）过点E作EM⊥CD，垂足为M，过点H作HN⊥BC，垂足为N，利用ASA证明△HFN≌△EGM，即可得到结论； （3）连接NE，作NP⊥AD交AD于点P，根据折叠的性质，利用勾股定理就可以列出方程，从而解出DM的长，在Rt△EFN和Rt△NEC中，得到EF2+FN2=CE2+CN2，求出FN，再利用勾股定理即可求出MN． 【详解】解：（1）AE=BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAF=∠ADE=90°， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∵BF⊥AE， ∴∠AFB+∠DAE=90°， ∴∠AED=∠AFB， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF=AE； （2）EG=HF，理由是： 如图，过点E作EM⊥CD，垂足为M，过点H作HN⊥BC，垂足为N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴EM=HN， ∵∠EPQ=90°， ∴∠PEQ+∠PQE=90°，又EM∥BC， ∴∠PQE=∠HFN， ∴∠PEQ+∠HFN=90°，又∠HFN+∠FHN=90°， ∴∠PEQ=∠FHN， 在△HFN和△EGM中， ， ∴△HFN≌△EGM（ASA）， ∴HF=EG； （3）如图，连接NE，作NP⊥AD交AD于点P， 由四边形ABCD是正方形及折叠知，FN=BN，EM=AM，EF=AB，∠EFN=∠B=90°， 在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2， ∵AB=BC=CD=DA=4，E为BC的中点， ∴DE=2， ∴DM2+22=（4-DM）2， 解得DM=， 在Rt△EFN中，EF2+FN2=EN2， 在Rt△NEC中，CE2+CN2=EN2， ∴EF2+FN2=CE2+CN2， ∴42+FN2=22+（4-FN）2， 解得，FN=， ∴BN=AP=， ∴MP=AD-DM-AP=4--=2， 在Rt△MPN中，MN==． 【变5-1】（2023·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： 由一道习题引发的思考−−“十字架模型”的拓展研究 在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面问题，我是这样思考的： ∵四边形是正方形，∴，．   又∵，∴ ∴，（依据*） ∴，∴． 有趣的是对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，若点M、N、P、Q分别是、、、上的任意四点，且，垂足为O，则仍然与相等．理由如下： 过点M作，垂足为E，过点P作，垂足为F．则容易证明四边形和均为矩形， ∴，．∵，∴ 在四边形QOND中，∵， … 任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题： (1)画横线部分的“依据*”是__________________________． (2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：_______．（从下面选项中填出两项）． A．转化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程． 【答案】(1)同角的余角相等 (2)A、C (3)见解析 【分析】（1）根据证明过程分析即可； （2）在小论文的分析过程，体现了转化思想和由特殊到一般的思想； （3）通过等量代换和全等三角形的判定得到，即可得到． 【详解】（1）∵ ∴ ∴， ∴ 根据同角的余角相等即可得到 故答案为：同角的余角相等． （2）在小论文的分析过程，体现了转化思想和由特殊到一般的思想 故答案为：A、C． （3）∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ 【变5-2】（24-25八年级上·广西防城港·期中）【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形的对角线交于点，试探究筝形的性质，并填空：对角线的位置关系是：______；与的数量关系是：______． 【知识应用】 秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周． （2）①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______． ②借助图2以及①中所写条件，说明四边形是个“筝形”． 【应用拓展】 （3）在“筝形”风筝中，已知，，求“筝形”风筝的面积． 【答案】（1），；（2）①垂直平分；②见解析；（3） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的面积，正确地理解筝形是解题的关键． （1）由，可得出点B和点D都在的垂直平分线上，所以，； （2）①根据题意直接确定和时应满足的条件，即可；②根据线段垂直平分线的性质，可得，，即可解答； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴垂直平分， ∴，， 故答案为：，； （2）①秀秀确定“十字架”和时应满足的条件是垂直平分； 故答案为：垂直平分； ②证明：∵垂直平分， ∴，， ∴四边形是个“筝形”； （3）∵四边形是筝形， ∴， ∴“筝形”风筝的面积的面积的面积 ． 题型六 对角互补模型 【例6】（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)3 (3)16 【分析】（1）根据角平分线的性质及垂直的定义可得，，进而得四边形是正方形，再根据角的等量代换得，利用可证得，进而可求解． （2）过点P作于M，于N，根据角平分线的性质可得，利用证得，进而可得，再利用证得，进而可得，设，则，，在中，利用直角三角形的特征即可求解． （3）延长到，使，连接，根据正方形的性质可得，，利用得，进而可得，．设，利用勾股定理求得，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，，且平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点P作于M，于N，如图：    平分， ． ， ． ． 在四边形中，， 且，， ． ， ． 又 ． ． ，，设，则，． ， 解得，． ． 在中，，， ． （3）如图，延长到，使，连接．如图：    在四边形中，，且． 四边形是正方形， ，． ． 又， ． ． ，． ， ． 是等腰直角三角形． 由勾股定理，． 在中，，设，由勾股定理，， ． ． ． ． ． 【变式6-1】（23-24八年级下·四川达州·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如图，，平分，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，且始终保持，连接，，下列给出的四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】过点P作于M，于N，通过证明即可判断①；根据，含30度角的直角三角形特征可得出②的结论正确；判定出为等边三角形，即可求出的度数；通过，结合勾股定理，全等三角形性质可以求出结论④． 【详解】解：过点P作于M，于N， 平分， ， 在四边形中， ， 且， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， 在中，， ， ， ，故②正确； ，， 为等边三角形， ，故③错误； ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【变式6-2】（23-24九年级下·江苏连云港·自主招生）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①4；② 【分析】（1）由旋转性质得，再证明，便可； （2）①过点作于点，证明得，设，在中，则勾股定理列出的方程解答便可； ②延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，求出便是的最小周长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ， 将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上， ，， ， ， 四边形为“直等补”四边形； （2）解：①过作于点，如图1， 则， 四边形是“直等补”四边形，，，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， 解得，，或（舍， ； ②如图2，延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，过作，与的延长线交于点． 则，， ， ，， 的周长的值最小， 四边形是“直等补”四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 周长的最小值为． 【变式6-3】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题． (1)试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”． ①平行四边形（    ）；②矩形（    ）；③菱形（    ） (2)如图（1），在四边形中，对角线平分，，．求证：四边形是“互补四边形”； (3)如图（2），若是“互补四边形”，点是内部一个动点，且不与四边重合，过动点作，的平行线，交的边于点，，，，连接，，，，，，当点运动时，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)四边形周长的最小值为． 【分析】（1）①由平行四边形的对角不一定互补，可判断平行四边形不是“互补四边形”，于是得到问题的答案； ②由矩形的四个角都是直角，可判断矩形的对角互补，则矩形是“互补四边形”，于是得到问题的答案； ③由菱形的对角不一定互补，可判断菱形不是“互补四边形”，于是得到问题的答案； （2）在上截取，连接，可证明，得，，而，则，所以，则，所以，即可证明四边形是“互补四边形”； （3）由是“互补四边形”，推导出，则四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，连接、交于点，连接、、、，则，，，，所以，由，，求得，则，，可证明，求得四边形周长的最小值为． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， 平行四边形不是“互补四边形”， 故答案为：． ②矩形的四个角都是直角， 矩形的对角互补， 矩形是“互补四边形”， 故答案为：． ③菱形的对角相等，但对角不一定互补， 菱形不是“互补四边形”， 故答案为：； （2）证明：如图（1），在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“互补四边形”； （3）解：如图（2），四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵，， ∴，， 四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， 是“互补四边形”， ，， ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， 连接、交于点，连接、、、，则，，，， ， ，， ， ，， ，， ， ， 当点与点重合时，， 的最小值为， 四边形周长的最小值为． 【变式6-4】（23-24八年级上·江苏·周测）定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四边形． 如图1，四边形，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用 （填序号）一定可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形， ②两个全等的等边三角形； （2）如图1，余缺四边形，平分，若，，则＝ ； 【初步应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于P点，连接、． （3）求证：四边形为余缺四边形； （4）若，，则的值为 ． 【迁移应用】 （5）如图，，等腰的B、C两点分别在射线、上，且斜边（P、A在两侧），若B、C两点在射线、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？若不变化，请说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值． 【答案】（1）①（2）（3）证明过程详见解答（4）45（5）四边形的面积是变化的，最大值是50 【分析】（1）画出图形直观得出结果； （2）过点作交的延长线于点，作于点，根据角平分线的性质得出，进一步得出结果； （3）过点作于点，作，交的延长线于点，证明，进而得出，从而得出结论； （4）在（3）的基础上得出，，进而求得，进一步得出结果； （5）连接，作，交于，证明，从而，进而得出，故，取的中点，连接，，当、、共线时，最大，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图1， ，， 四边形为余缺四边形， ，， 四边形不是余缺四边形， 故答案为：①； （2）解：如图2， 过点作交的延长线于点，作于点， 平分， ， ， 故答案为：； （3）证明：如图3， 过点作于点，作，交的延长线于点， ， 平分， ， ∵， ， ∴， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，且平分， 四边形为余缺四边形； （4）解：如图3， 由（3）得：， ， ， ， ， ， ； 故答案为：45； （5）解：如图4， 四边形的面积是变化，理由如下： 连接，作，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接，， ， ， ， 当时，． 【变式6-5】（八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．    (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． (2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)正方形 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可； （2）①通过证明可得，由得出，证出即可；②从两方面分析：当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，；当点E在的延长线上时，连接，由，得，由正方形性质可得，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”； 矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”； 菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”； 正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”； （2）证明：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴且， ∴四边形为“郡外四边形”； 证明：② ； ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （i）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，， 则由勾股定理有：； （ii）当点E在的延长线上时，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，如图，    ∵且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴； 综上，有． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：特殊四边形相关模型问题 常用方法 熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质及判定，了解垂美四边形模型、半角模型、中点四边形模型、一线三垂直模型、十字架模型、对角互补模型等解题技巧，并能够适当变通运用。 题型一 垂美四边形模型 【例1】（八年级下·江西宜春·期中）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________； （4）【性质应用】如图3，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长． 【变式1-1】（2024八年级下·全国·专题练习）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 　　 (2)性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系： 　　． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②求出四边形的面积． 【变式1-2】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长． (3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长． 【变式1-3】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【变式1-4】（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料分析题： 我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． 如图1．已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 一、探索证明“垂美四边形”的性质： （1）性质1：如图1，由勾股定理可知，中，，中，，同理，，则，即． （2）性质2：． 二、结合上述学习，解答下列问题： ［学以致用］：（1）如图1．若，，则______．若，则四边形的面积______． ［变式思考］：（2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用a表示______． ［拓展应用］：（3）如图3，在长方形中，E为中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求：的长．    ［知识延伸］： （4）如图4，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①若，，，则______． ②在①的条件下，若的面积等于5，则______． 题型二 正方形半角模型 【例2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】（江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【变式2-2】（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【变式2-3】（山东济宁·期中）半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【变式2-4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为12，点E为中点，则________． (2)如图3，等腰直角三角形，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在中，，点在边上，且，当时，则的长为_________． 【变式2-5】（八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【变式2-6】（广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； (2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 【变式2-7】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 题型三 中点四边形模型 【例3】（八年级·安徽淮南·期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：      反思交流： (1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据　 ；依据　 　； ②连接，若时，则中点四边形的形状为　 ；并说明理由； 创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究： (2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由； (3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为　 　． 【变式3-1】（八年级下·甘肃金昌·期中）如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是_____________； (2)当四边形的对角线满足_____________条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足_____________条件时，四边形是菱形； (4)当四边形的对角线满足_____________条件时，四边形是正方形，证明你的结论． 【变式3-2】（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】 （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】 （2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】 （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【变式3-4】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】： （3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由． （5）若，求的最小值．    题型四 一线三垂直模型 【例4】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【变式4-1】（八年级上·河北石家庄·期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，则与的数量关系是______． (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【变式4-2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【变式4-3】（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 题型五 十字架模型 【例5】（八年级下·安徽淮南·期中）数学活动：探究正方形中的十字架 （1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系： ． （2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗?如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由． （3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为 ． 【变5-1】（2023·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： 由一道习题引发的思考−−“十字架模型”的拓展研究 在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面问题，我是这样思考的： ∵四边形是正方形，∴，．   又∵，∴ ∴，（依据*） ∴，∴． 有趣的是对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，若点M、N、P、Q分别是、、、上的任意四点，且，垂足为O，则仍然与相等．理由如下： 过点M作，垂足为E，过点P作，垂足为F．则容易证明四边形和均为矩形， ∴，．∵，∴ 在四边形QOND中，∵， … 任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题： (1)画横线部分的“依据*”是__________________________． (2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：_______．（从下面选项中填出两项）． A．转化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程． 【变5-2】（24-25八年级上·广西防城港·期中）【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形的对角线交于点，试探究筝形的性质，并填空：对角线的位置关系是：______；与的数量关系是：______． 【知识应用】 秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周． （2）①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______． ②借助图2以及①中所写条件，说明四边形是个“筝形”． 【应用拓展】 （3）在“筝形”风筝中，已知，，求“筝形”风筝的面积． 题型六 对角互补模型 【例6】（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【变式6-1】（23-24八年级下·四川达州·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如图，，平分，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，且始终保持，连接，，下列给出的四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ． 【变式6-2】（23-24九年级下·江苏连云港·自主招生）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【变式6-3】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题． (1)试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”． ①平行四边形（    ）；②矩形（    ）；③菱形（    ） (2)如图（1），在四边形中，对角线平分，，．求证：四边形是“互补四边形”； (3)如图（2），若是“互补四边形”，点是内部一个动点，且不与四边重合，过动点作，的平行线，交的边于点，，，，连接，，，，，，当点运动时，求四边形周长的最小值． 【变式6-4】（23-24八年级上·江苏·周测）定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四边形． 如图1，四边形，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用 （填序号）一定可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形， ②两个全等的等边三角形； （2）如图1，余缺四边形，平分，若，，则＝ ； 【初步应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于P点，连接、． （3）求证：四边形为余缺四边形； （4）若，，则的值为 ． 【迁移应用】 （5）如图，，等腰的B、C两点分别在射线、上，且斜边（P、A在两侧），若B、C两点在射线、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？若不变化，请说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值． 【变式6-5】（八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．    (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． (2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$