精品解析：江苏省南京市玄武区某校2023-2024学年高一上学期12月考试数学试题

2023—2024学年第一学期十二月考试试卷 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分．第Ⅰ卷1页至X页，第Ⅱ卷X页至X页．两卷满分150分．考试时间150分钟． 第Ⅰ卷（共40分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、准考证号等项目． 2．用铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑．答案不涂写在答题卡上，成绩无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置）． 1. 设集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中哪个与函数是同一函数（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若，则自变量的值为（ ） A 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或 4. 已知函数，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 一元二次方程有两个不相等实数根，则（ ） A. 或 B. C D. 或 6. 若偶函数在上增函数，则下列关系式中成立是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 9. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则的值为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卷相应的横线上）． 11. 已知集合{水浒传，三国演义，西游记，红楼梦}，则集合的非空真子集有______个． 12. 2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击全球，造成了各种医用物资的短缺，为此某公司决定大量生产医用防护服．已知该公司每天生产（件）防护服的利润为（千元），且，若要使该公司每天不亏本，则每天生产的防护服数量最多不能超过______件． 13. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则______． 14. 已知，则的值是________. 15. 设，，均为实数，若，则的值为______ 三、解答题（本大题共8小题，共90分，要求写出必要的解题步骤和推理过程） 16. 已知集合，，设全集． （1）求集合的补集； （2）若，求实数的取值范围． 17. 计算与化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 18. 已知，，不等式的解集为. （1）求实数的值 （2）解不等式 19. 已知二次函数满足，，且函数的图象经过原点，求： （1）； （2）指出的单调递增区间. 20. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 已知（），求和的值． 22. 若，且为第四象限角，求和的值． 23. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 24. 为了响应国家关于“提升中国创造竞争力”的号召，某共有60名员工的公司，为了提高员工业务技术水平，公司聘请专业人进行培训．培训费用分为两个部分；一部分给每位参加员工支付每人400元的培训材料费，另外一部分给培训机构缴纳培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元，若参加培训员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训人员人数为人，此次培训总费用为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）公司此次培训的总费用最多需要多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第一学期十二月考试试卷 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分．第Ⅰ卷1页至X页，第Ⅱ卷X页至X页．两卷满分150分．考试时间150分钟． 第Ⅰ卷（共40分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、准考证号等项目． 2．用铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑．答案不涂写在答题卡上，成绩无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置）． 1 设集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的运算求解. 【详解】，，则. 故选：C. 2. 下列函数中哪个与函数是同一函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的概念,要求两函数定义域相同,且对应关系也相同,依次分析四个选项,即可求出. 【详解】对A：的定义域为的定义域为，定义域不同， A选项错误， 对B：的定义域为的定义域为R，但两个函数的对应法则不同， B选项错误， 对C：和的定义域和对应关系一致， C选项正确， 对D：的定义域为的定义域为， D选项错误. 故选：C. 3. 已知函数，若，则自变量的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数值求自变量易得答案. 【详解】因为函数，， 当时，，所以， 当时，，所以无解， 综上：， 所以自变量的值为. 故选：B. 4. 已知函数，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求得，代入即可. 【详解】因为， 所以，可得， 则. 故选：C. 5. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式解一元二次不等式易得答案. 【详解】因为一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以根的判别式， 所以，解得或. 故选：D. 6. 若偶函数在上增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质与单调性求解即可. 【详解】因为函数是偶函数. 所以. 因为函数在上是增函数，且. 所以. 故选：D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系齐次式化简求，再根据齐次式化简求值易得答案. 【详解】因为， 解得， 所以 . 故选：D. 8. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系齐次式化简求值易得答案. 【详解】因为， 所以 故选：D. 9. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和诱导公式易得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 10. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式化简，再根据诱导公式分解并计算即可. 【详解】∵ ∴ 故选：C. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卷相应的横线上）． 11. 已知集合{水浒传，三国演义，西游记，红楼梦}，则集合的非空真子集有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的非空真子集个数公式易得答案. 【详解】因为集合{水浒传，三国演义，西游记，红楼梦}，所以元素， 所以集合的非空真子集有个. 故答案为：. 12. 2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击全球，造成了各种医用物资的短缺，为此某公司决定大量生产医用防护服．已知该公司每天生产（件）防护服的利润为（千元），且，若要使该公司每天不亏本，则每天生产的防护服数量最多不能超过______件． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数利润问题转化成一元二次不等式，解不等式易得答案. 【详解】因为已知该公司每天生产（件）防护服的利润为（千元）， 且，若要使该公司每天不亏本， 所以， 解得， 所以每天生产的防护服数量最多不能超过件． 故答案为：. 13. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数值，再根据奇函数性质易得答案. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数， 所以， 当时，， 所以， 因为函数为定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 14. 已知，则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的商数关系得出，再将化为，再分子分母同时除以，得，再将代入求值即可. 【详解】由，所以， 则 . 故答案为：. 15. 设，，均为实数，若，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再根据整体法易得答案. 【详解】因为，，均为实数，， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分，要求写出必要的解题步骤和推理过程） 16. 已知集合，，设全集． （1）求集合的补集； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集的计算即可解得； （2）分为，两种情况，根据交集的运算列不等式即可解得. 【小问1详解】 集合或， 又全集，则. 【小问2详解】 ，，， 当，即时，，符合题意； 当，即时，，则有或，解得. 综上，实数的取值范围是. 17. 计算与化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）1 （6） 【解析】 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解法求解； （3）（4）（5）利用三角函数的基本关系式化简即可； （6）利用三角函数的诱导公式化简即可. 【小问1详解】 由，得，即，解得， 所以不等式解集为. 【小问2详解】 由，得，即，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 . 【小问4详解】 . 【小问5详解】 . 【小问6详解】 18. 已知，，不等式的解集为. （1）求实数的值 （2）解不等式 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集转化成一元二次方程的根易得答案； （2）利用（1）中结论，解一元二次不等式易得答案. 【小问1详解】 因为，，不等式的解集为， 所以的两个根是或， 所以，解得； 【小问2详解】 当时，可化为， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 19. 已知二次函数满足，，且函数的图象经过原点，求： （1）； （2）指出的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数类型设方程，根据待定系数法易得答案； （2）根据二次函数的单调性易得答案. 【小问1详解】 因为二次函数的图象经过原点， 所以设，满足，， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为的图象开口向上，对称轴为， 所以的单调递增区间为. 20. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数齐次式化简求值易得答案； （2）根据二倍角正弦公式同角三角函数齐次式化简求值易得答案. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以 . 21. 已知（），求和的值． 【答案】，. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数的符号法则求解即得. 【详解】由，得，即， 解得，而，则， 因此， 所以，. 22. 若，且为第四象限角，求和的值． 【答案】； 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和各象限三角函数符号易得答案. 【详解】因为，且为第四象限角， 所以， 所以. 23. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简易得答案； （2）根据诱导公式和同角三角函数关系易得答案； （3）根据诱导公式和特殊角三角函数值易得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 当是第三象限角，且，则， 所以， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以. 24. 为了响应国家关于“提升中国创造竞争力”的号召，某共有60名员工的公司，为了提高员工业务技术水平，公司聘请专业人进行培训．培训费用分为两个部分；一部分给每位参加员工支付每人400元的培训材料费，另外一部分给培训机构缴纳培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元，若参加培训员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训人员人数为人，此次培训总费用为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）公司此次培训的总费用最多需要多少元？ 【答案】（1） （2）公司此次培训的总费用最多需要元. 【解析】 【分析】（1）根据培训人数的不同列出分段函数易得答案； （2）根据二次函数和一次函数的单调性求出最值易得答案. 【小问1详解】 因为若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元， 当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，是一次函数在定义域上是增函数， 所以当时，元， 当时，， 当时，元， 综上所述，公司此次培训的总费用最多需要元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$