精品解析：广东省珠海市香洲区珠海市理工职业技术学校（珠海市劳动技术实习学校）2023-2024学年高二上学期开学数学试题

珠海市香洲区珠海市理工职业技术学校2023-2024学年高二上学期开学 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．本卷满分为150分由单选题75分、填空题25分，解答题50分组成． 一、选择题（共15题，共75分） 1. 已知集合或，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集的定义即可得解. 【详解】因为集合或， 所以 . 故选：D. 2. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再根据集合交集运算易得答案. 【详解】因为， 所以集合 ，， 所以. 故选：C. 3. 已知 ，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式和命题的推出关系易得答案. 【详解】因为已知 ，， 所以，所以充分性成立， 当时，当时，无法推出，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 4. 已知 ，令 ，，，那么 ，， 之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数、正弦函数、指数函数的的单调性及值域，分别判断范围，进而比较大小. 【详解】已知， 则，，， ， 故选：A. 5. 若是奇函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，结合题意，即可求解. 【详解】因为是奇函数， 令，则， 所以， 所以， 又时，， 所以， 所以. 故选：C. 6. 已知双曲线的渐近线过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线过的点可求解渐近线方程，再由双曲线离心率公式代入求解即可. 【详解】由双曲线标准方程可得双曲线焦点x轴， 所以双曲线的渐近线方程为， 又因为过点，所以代入中可得， 所以，即，又有， 所以，所以离心率. 故选：D. 7. 已知数列是公差为的等差数列，且各项均为正整数，如果，，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式，得出，根据，即可求得d的取值集合，继而求解. 【详解】因为数列是公差为的等差数列，且各项均为正整数， 又，， 所以， 所以， 因为， 所以d的取值集合为， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 故的最小值为14. 故选：B. 8. 已知，是第一象限角，且角的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的终边关于轴对称可得角的关系，结合同角三角函数的平方关系和商数关系和诱导公式求解即可. 【详解】因为，且是第一象限角， 所以， 所以， 因为是第一象限角，且角的终边关于轴对称， 所以可得，所以. 故选：D. 9. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集以及交集求解即可. 【详解】因为全集，集合， 所以，所以. 故选：A 10. 数列是等差数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过等差数列的性质和对化简即可求出. 【详解】根据等差数列的性质，可得， 再对进行化简可得， 所以可得. 故选：B 11. 已知直线与圆相交于，两点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相交的弦长、点到直线的距离公式和充要条件的概念即可得解. 【详解】由圆可知圆心，半径为， 圆心到直线即的距离为， 直线l与圆O相交于，两点， 其弦长为， 因为， 即，解得， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 12. 某校安排高一年级班共个班去四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一班被安排到A基地的排法总数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论A基地有一个班还是两个班，由组合和排列的计算公式计算即可. 【详解】因为高一班被安排到A基地， 当A基地只有一个班时，则剩下的4个班去四个劳动教育基地， 先从4个班中选出2个班进行捆绑，方法数为， 则去到四个劳动教育基地，方法数为； 当A基地有两个班时，则剩下的4个班去四个劳动教育基地， 即剩下的4个班进行全排列，方法数为， 所以排法总数为. 故选：C. 13. 已知抛物线，圆，直线（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则的周长可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得，，从而得到的周长为，结合的范围即可求解. 【详解】由题意知：抛物线焦点恰为圆心，抛物线准线， 圆半径为2，可得圆与相切，设直线与准线交于， 因为与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，所以， 由抛物线定义知：，又， 故的周长为， 所以，即， 结合选项，可知的周长可能为5. 故选：B. 14. 已知直线被圆所截的弦长不小于，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定直线一定经过圆面内的点，结合图象判断圆锥曲线与圆面的关系. 【详解】已知直线被圆所截的弦长不小于， 圆的圆心为，设弦长为，圆的半径为，圆心到直线距离为， 则，且，可得， 即直线上有一点到原点的距离小于等于， 因此直线一定经过圆面内的点， 对于选项A，联立抛物线与圆的方程，可得， 解得或，图象如下所示， 存在直线经过圆面内一点，但不与抛物线相交，该选项错误； 对于选项B，圆的圆心为，半径为， 则圆和圆的圆心距为，图象如下所示， 存在直线经过圆面内一点，但不与圆相交，该选项错误； 对于选项C，已知椭圆，则，，， 因此圆面都包含在椭圆内，则直线与椭圆一定有公共点，该选项正确； 对于选项D，已知双曲线，则，，， 因此圆面在双曲线外， 则存在直线经过圆面内一点，但不与双曲线相交，该选项错误； 故选：C. 15. 已知直线和圆，若存在三点，，，其中点在直线上，点和在圆上，使得四边形是正方形，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出正方形的边长为1，对角线为，把题意转化为存在点A使，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由圆可知圆心，半径为1， 所以，即正方形的边长为1，对角线为，即， 设点C到直线l的距离为d， 存在点在直线上，点和在圆上， 使得四边形是正方形，相当于存在点使， 所以，即，解得， 实数的取值范围为. 故选：C. 二、填空题（共5题，共25分） 16. 已知，均为实数．若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 【详解】因为， 所以，， 所以. 故答案为：. 17. 已知角终边上有一点，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义可求解. 【详解】由题可得， . 故答案为： 18. 的最小正周期为，则实数____． 【答案】或 【解析】 【分析】由正弦函数的最小正周期公式，直接计算得到答案. 【详解】对于函数， 则最小正周期， 解得或， 故答案为：或. 19. 函数零点个数为____． 【答案】 【解析】 【分析】将其转化为关于的二次等式，然后求解即可. 【详解】函数中 ，， 令， 则，即，， 即（舍去）或， 即函数的零点个数为， 故答案为：. 20. 在中，，，，则等于____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以，即， 即，所以， 因为，所以或. 故答案为：或. 三、解答题（共5题，共50分） 21. 已知不等式的解集． （1）求实数，的值； （2）若集合，求，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集即可求解a和b； （2）根据集合交并补的混合运算计算即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根． 则有，解得； 【小问2详解】 因为，， 所以， ，． 22. 已知：，：（其中实数）． （1）分别求出，中关于的不等式的解集和； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可. （2）根据必要不充分条件的概念得，列不等式求解即可. 【小问1详解】 由得， 解得，所以， 由， ， 因为，所以， 即． 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件， 所以，故或， 解得或， 即，又， 所以． 23. 甲乙两站相距公里，一列慢车从甲站开出，每小时行公里，一列快车从乙站开出，每小时行 公里． （1）两车同时开出，背向而行，多少小时后两车相距公里？ （2）两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距公里？ 【答案】（1） 小时． （2） 小时或 小时 【解析】 【分析】（1）设小时后两车相距公里，再由题意列方程求解即可. （2）设小时后两车相距公里，再由题意列方程求解即 【小问1详解】 设小时后两车相距公里， 则小时后，慢车行驶公里，快车行驶公里， 则有，解得， 所以 小时后两车相距公里. 【小问2详解】 设小时后两车相距公里， 则小时后，慢车行驶公里，快车行驶公里， 则有， 解得， 或， 解得， 所以 小时或 小时后两车相距公里. 24. 手工产品每件成本元，售价元，每星期卖出件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比．已知商品单价降低元时，一星期多卖出件． （1）将一个星期的商品销售利润表示成关于的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 【答案】（1） （2）定价为元 【解析】 【分析】（1）由题解出正比例系数，得到每星期多卖商品数，由此写出函数； （2）利用导数研究函数的单调性，求出极大点的函数值，比较得到最大值. 【小问1详解】 设一星期多卖出的商品件数为件， 设，由题意知，解得． 由题可知， 则. 【小问2详解】 已知，对函数求导可得 ， 且， ，由此得到如下表格， x - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 因为， 所以当时，商品销售利润最大，此时定价为元． 所以当定价为元时，一个星期的商品销售利润最大． 25. 如题图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． （1）求面积以为自变量的函数关系式，并写出其定义域． （2）求面积的最大值． 【答案】（1）其定义域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程以及梯形的面积公式求解即可, （2）根据导数求解最大值即可. 【小问1详解】 依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图）， 则点的横坐标为． 点的纵坐标满足方程， 解得， 其定义域为． 【小问2详解】 记 ， 则 ． 令 ，得． 因为当 时， ； 当 时， ， 所以 是的最大值， 因此，当 时， S 也取得最大值，最大值为． 即梯形面积 S 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 珠海市香洲区珠海市理工职业技术学校2023-2024学年高二上学期开学 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．本卷满分为150分由单选题75分、填空题25分，解答题50分组成． 一、选择题（共15题，共75分） 1. 已知集合或，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则“”是“”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 ，令 ，，，那么 ，， 之间大小关系为（ ） A B. C. D. 5. 若是奇函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知双曲线的渐近线过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是公差为等差数列，且各项均为正整数，如果，，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是第一象限角，且角的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 9. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 数列是等差数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线与圆相交于，两点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 某校安排高一年级班共个班去四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一班被安排到A基地的排法总数为（ ） A. B. C. D. 13. 已知抛物线，圆，直线（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则的周长可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 14. 已知直线被圆所截的弦长不小于，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知直线和圆，若存在三点，，，其中点在直线上，点和在圆上，使得四边形是正方形，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，共25分） 16. 已知，均为实数．若，则____． 17. 已知角终边上有一点，则___________. 18. 的最小正周期为，则实数____． 19. 函数零点个数为____． 20. 在中，，，，则等于____. 三、解答题（共5题，共50分） 21. 已知不等式的解集． （1）求实数，的值； （2）若集合，求，． 22. 已知：，：（其中实数）． （1）分别求出，中关于的不等式的解集和； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 23. 甲乙两站相距公里，一列慢车从甲站开出，每小时行公里，一列快车从乙站开出，每小时行 公里． （1）两车同时开出，背向而行，多少小时后两车相距公里？ （2）两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距公里？ 24. 手工产品每件成本元，售价元，每星期卖出件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比．已知商品单价降低元时，一星期多卖出件． （1）将一个星期的商品销售利润表示成关于的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 25. 如题图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． （1）求面积以为自变量的函数关系式，并写出其定义域． （2）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$