2025年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2025年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（特殊三角形问题） 1．如图，已知二次函数的图象与轴相交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点在二次函数的图像上，且∥轴．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)证明：△BOC是等腰直角三角形； (2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值． 3．如图1，已知二次函数（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为，直线l的解析式为y=x． （1）求二次函数的解析式； （2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式； （3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标． 4．如图1，已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)过点A的直线与二次函数图象的另一交点为B，与y轴交于点C，若的面积是的两倍，求直线AB的解析式； (3)如图2，已知，是x轴上一动点（E，O不重合），过E的两条直线，与二次函数均只有一个交点，且直线，与y轴分别交于点M、N．对于任意的点E，在y轴上（点M、N上方）是否存在一点，使恒成立．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 5．定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数． （1）写出的“N”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值； （3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标． 6．如图，抛物线y =ax2+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y =x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C． （1）求点B、C的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）求抛物线的顶点M的坐标； （4）在直线y =x-3上是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点为抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标． （3）若将沿射线方向平移，平移后的三角形记为，连接，直线交抛物线于点，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点横坐标，若不存在，请说明理由． 8．抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B． (1)求k，b的值； (2)如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交AB于点E，，垂足为点F，当时，求点F的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点M，直接写出的面积． 9．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过A(－1，0)，B(1，1)两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)阅读理解： 在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1(k1，b1为常数，且k1≠0)，直线l2：y＝k2x＋b2(k2，b2为常数，且k2≠0)，若l1⊥l2，则k1·k2＝－1. 解决问题： ①若直线y＝3x－1与直线y＝mx＋2互相垂直，求m的值； ②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，二次函数的关系式为y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）． （1）说明：二次函数的图象过B点，并求出二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标； （2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求a的取值范围； （3）若二次函数的图象过点C，则在此二次函数的图象上是否存在点D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别相交于，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②若是的中点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 12．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．    （1）求直线l和抛物线的解析式； （2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标； （3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C． （1）求出二次函数的解析式； （2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； （3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 15．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式； （2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（特殊三角形问题）》参考答案 1．存在，点或或． 2．(2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为． 3．（1）；（2）y=x﹣3；（3）P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）． 4．(1) (2)或 (3)存在， 5．（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）． 6．（1）B（3，0），C（0，-3）．（2）y =x2-2x -3．（3）M（1，-4）；（4）P1（1，-2）和P2（-1，-4） 7．（1）直线的解析式为：；（2）；（3）或或或． 8．(1)， (2)或 (3)或4 9．(1)y＝－x2＋x＋1(2)①m＝－②存在．当点P的坐标为(6，－14)或(4，－5)时，△PAB是以AB为直角边的直角三角形． 10．（1）A（-1，0）；（2）；（3）存在，点D的坐标为(0,2)或（3,2） 11．(1) (2)①9；②或 12．（1），；（2）；（3）符合条件的点P的坐标为． 13．(1)； (2)； (3)． 14．（1）y＝﹣x2+5x；（2）当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4；（3）存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）． 15．（1）；（2）存在，点P，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$