第二章 专题强化三 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题（教师用书word）-【步步高】2024年高考物理大一轮复习讲义（ 粤教版 广东专用）

专题强化三　动态平衡问题　平衡中的临界、极值问题 目标要求　1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.2.会分析平衡中的临界与极值问题． 题型一　动态平衡问题 1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态． 2．做题流程 受力分析画不同状态下的平衡图构造矢量三角形 3．常用方法 (1)图解法 此法常用于定性分析三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况． (2)解析法 对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程或根据相似三角形、正弦定理，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化． 考向1　“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示． 2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示． 例1　(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A物体的半径为球B的半径的 3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是(　　) A．F1减小 B．F1增大 C．F2增大 D．F2减小 答案　AD 解析　以球B为研究对象，受力分析如图所示，可得出F1＝Gtan θ，F2＝，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，故A、D正确． 例2　(多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中(　　) A．斜面对球的支持力逐渐增大 B．斜面对球的支持力逐渐减小 C．挡板对小球的弹力先减小后增大 D．挡板对小球的弹力先增大后减小 答案　BC 解析　对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误． 考向2　“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 1.一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等． 基本矢量图，如图所示 基本关系式：＝＝ 例3　(2023·宁夏银川一中检测)如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，且O2在O1正上方，细绳跨过O2与O连接，水平外力F作用于细绳的一端．用FN表示铰链对杆的作用力，现在水平外力F作用下，θ从缓慢减小到0的过程中，下列说法正确的是(　　) A．F逐渐变小，FN大小不变 B．F逐渐变小，FN逐渐变大 C．F先变小再变大，FN逐渐变小 D．F先变小再变大，FN逐渐变大 答案　A 解析　受力分析如图所示，力三角形与几何三角形(△O2OO1)相似，则有＝＝，因为O2O1、OO1长度不变，故FN大小不变，OO2长度变短，故F变小，故A正确，B、C、D错误． 2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化． 基本矢量图，如图所示 例4　(2023·广东潮州市模拟)新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%的棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机将棉花打包成圆柱形棉包，然后平稳将其放下．放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动，使BP板由水平位置逆时针缓慢转动，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．棉包对AP板的压力一直减小 B．棉包始终受到三个力的作用 C．在AP板转到水平前，BP板与AP板对棉包的作用力的合力不变 D．当BP板转过60°时，棉包对BP板的作用力大小为mg 答案　C 解析　如图所示，设BP板转动的角度为θ(0＜θ＜60°)，棉包的重力为mg，根据正弦定理有＝＝，在θ从0增加到60°的过程中，AP板对棉包的支持力F2一直增大，则棉包对AP板的压力一直增大，故A错误；当BP板或AP板处于水平状态时，棉包受重力和支持力这两个力作用，故B错误；在AP板转到水平前，BP板与AP板对棉包的作用力的合力始终与棉包的重力平衡，所以合力不变，故C正确；当BP板转过60°时，AP处于水平状态，此时棉包对BP板的作用力大小为零，故D错误． 一力恒定，另外两力方向均变化时常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用两力夹角不变作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化． 考向3　“活结”的动态分析 如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Tsin θ1＝Tsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d不变，则上下移动绳子结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2Tcos θ＝mg，T＝也减小． 例5　如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力(　　) A．先变大后不变 B．先变大后变小 C．先变小后不变 D．先变小后变大 答案　A 解析　对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知 F1＝F2＝① 如图乙所示，设绳长为L，由几何关系得sin θ＝② 其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确． 题型二　平衡中的临界、极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力． (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0. (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0. 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题． 3．解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小． (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)． (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值． 例6　如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2) 答案　 N≤F≤ N 解析　设AB绳的拉力为F1，AC绳的拉力为F2，对物体受力分析，由平衡条件有 Fcos θ－F2－F1cos θ＝0， Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0， 可得F＝－F1，F＝＋. 若要使两绳都能伸直，则有F1≥0，F2≥0， 则F的最大值Fmax＝＝ N， F的最小值Fmin＝＝ N， 即拉力F的大小范围为 N≤F≤ N. 例7　如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动．已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2.求所需拉力F的最小值． 答案　2 N 解析　设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cos θ＋μsin θ＝，sin(α＋θ)＝(其中sin α＝)，当θ＝－α时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝＝2 N. 课时精练 1.(2023·广东韶关市模拟)元代《王桢农书》记载了戽斗，它是一种小型的人力提水灌田农具，形状像斗，两边系绳，靠两人拉绳牵斗取水．如图所示，两条绳子与竖直方向夹角相同，忽略绳子质量，戽斗处于平衡状态时，两人站得越远，则(　　) A．两边绳子对戽斗的合力越大 B．两边绳子对戽斗的合力越小 C．人对每边绳子的拉力越小 D．人对每边绳子的拉力越大 答案　D 解析　对戽斗受力分析，可知两条绳子与竖直方向夹角相同，提供大小相等的拉力．两边绳子对戽斗的合力与戽斗的重力平衡．所以两人站的远近不影响绳子对戽斗的合力，两人站得越远，两绳夹角越大，由F＝知人对每边绳子的拉力越大．故A、B、C错误，D正确． 2.(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球与墙壁的接触点为B.若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬绳对球的拉力F和墙壁对球的支持力FN，下列说法正确的是(　　) A．F和FN都增大 B．F增大，FN减小 C．F减小，FN增大 D．F和FN的合力不变 答案　D 解析　对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足Fcos θ＝mg，墙壁对球的支持力满足tan θ＝，所以当增大悬绳的长度时，夹角θ减小，则由几何关系知cos θ增大，tan θ减小，所以F和FN都减小，故A、B、C错误；因为足球始终保持静止状态，所以F和FN的合力始终与mg等大反向，故D正确． 3.(2023·广东省联考)如图所示，单肩电脑包的肩带是由一条长度可调节的尼龙纤维材料制成的．设电脑包装满时总质量不变，当单肩电脑包以不同的肩带长度悬挂在固定的光滑挂钩上时，下列说法正确的是(　　) A．肩带较长时，肩带的张力更大 B．肩带较短时，肩带的张力更大 C．肩带长度增大时，挂钩对肩带的作用力增大 D．肩带长度缩短时，挂钩对肩带的作用力减小 答案　B 解析　由于单肩电脑包的重力不变，设肩带与竖直方向夹角为θ，肩带的张力为T，包的质量为m，根据平衡条件得Tcos θ＝mg，肩带较长时，肩带间夹角小，肩带的张力较小，肩带较短时，肩带间夹角大，肩带的张力较大，A选项错误，B选项正确；肩带对挂钩的合力始终等于包的重力不变，所以挂钩对肩带的作用力与肩带的长短无关，C、D选项错误． 4.(2023·广东东莞市第四中学月考)如图所示，轻绳OA将一质量为m的小球悬挂于O点，力F作用于小球，OA与竖直方向的夹角为β＝30°，重力加速度为g，保持A点位置不变，现使力F沿逆时针方向缓慢旋转，则(　　) A．力F逐渐变小 B．力F一直增大 C．力F与水平方向夹角为30°时，有最小值为mg D．轻绳OA上的拉力先增大后减小 答案　C 解析　由平衡条件可知，轻绳OA的拉力T和力F的合力F′一定竖直向上，与重力平衡，力F按逆时针方向缓慢旋转的过程中，画出该过程的力的动态平行四边形，如图所示，由图可看出，力F先减小后增大，故A、B错误；当力F与水平方向的夹角α＝30°时，F最小，最小值为mg，故C正确；由图可知，轻绳OA上的拉力T一直减小，故D错误． 5.(2023·广东省开学摸底大联考)在没有起重机的情况下，工人要将油桶搬运上汽车，常常用如图所示的方法．已知油桶重力大小为G，斜面的倾角为θ.当工人对油桶施加方向不同的推力F时，油桶始终处于匀速运动状态．假设斜面与油桶的接触面光滑．在推力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，以下关于油桶受力的说法正确的是(　　) A．若力F沿水平方向，F的大小为Gsin θ B．若力F沿水平方向，斜面对油桶的支持力大小为Gcos θ C．F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，斜面对油桶的支持力逐渐变大 D．F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，推力F的最小值为Gsin θ 答案　D 解析　当力F沿水平方向时，由于油桶为匀速运动状态，因此受力平衡，则水平方向和竖直方向上有F＝FNsin θ，FNcos θ＝G，解得F＝Gtan θ，FN＝，故A、B错误；当力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，油桶的受力分析如图所示，故斜面对油桶的支持力逐渐变小，且推力F和支持力FN垂直时有最小值，此时最小值为Fmin＝Gsin θ，故C错误，D正确． 6.(2023·广东汕头市模拟)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿图示位置B水平缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中(　　) A．绳子的拉力逐渐增大 B．该健身者所受合力逐渐减小 C．该健身者对地面的压力逐渐减小 D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大 答案　D 解析　由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有Tsin θ＋FN＝Mg，又有T＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有Tcos θ＝f，当从B水平缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确． 7.(2023·广东梅州市田家炳实验中学月考)如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态．现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为f，则该过程中(　　) A．f变小，F变大 B．f变小，F变小 C．f变大，F变小 D．f变大，F变大 答案　D 解析　以小球乙为研究对象受力分析，设绳与竖直方向的夹角为α，根据平衡条件可得，水平拉力F＝mgtan α，夹角α逐渐增大，则水平拉力F逐渐增大，绳子的拉力为T＝，故绳子的拉力逐渐增大；以物体甲为研究对象受力分析，根据平衡条件可得，物体甲受到的地面的摩擦力与绳子拉力水平方向的分力等大反向，故摩擦力方向向左，f＝Tcos θ＝，逐渐增大．故选D. 8.如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上．开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)．在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A．大小不变 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 答案　A 解析　以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反． 根据三角形相似得＝＝，又F合＝G， 得F＝ G，FN＝ G ∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A. 9.(2023·广东深圳市调研)如图所示，某同学将细绳穿过光滑圆环，绳的一端固定，另一端拴在手上，该同学将拴绳的手竖直向上缓慢移动过程中，下列说法正确的是(　　) A．细绳与竖直方向的夹角θ变大 B．细绳与竖直方向的夹角θ变小 C．圆环所受合力变大 D．细绳对圆环的拉力大小不变 答案　D 解析　该同学将拴绳的手竖直向上缓慢移动过程中，细绳两端水平间距d不变，细绳长度l不变，由几何关系知sin θ＝，所以细绳与竖直方向的夹角θ不变，故A、B错误；缓慢移动过程中，圆环受力平衡，所受合力始终为零，故C错误；由平衡条件得2Tcos θ＝mg，因为细绳与竖直方向的夹角θ不变，所以细绳对圆环的拉力T大小不变，故D正确． 10.(2023·河北唐山市模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示．若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑，则木棍的长度最大为(　　) A．1.5 m B. m C．2 m D．2 m 答案　C 解析　设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力大小为F，则为使木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有Fcos θ≤μFsin θ，由几何知识有tan θ＝，两式联立解得L≤2 m，即木棍的长度最大为2 m，故A、B、D错误，C正确． 11.(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂质量为m的物块A，另一端系一位于固定光滑斜面上且质量为2m的物块B，斜面倾角θ＝45°，外力F沿斜面向上拉物块B，使物块B由滑轮正下方位置缓慢运动到和滑轮等高的位置，则(　　) A．细绳OO′的拉力先减小后增大 B．细绳对物块B的拉力大小不变 C．斜面对物块B的支持力先减小后增大 D．外力F逐渐变大 答案　BCD 解析　由题可知，物块缓慢移动，整体处于动态平衡状态，则绳OO′的拉力大小等于下面绳对A的拉力和绳对B的拉力的合力大小，由于绳对A的拉力和绳对B的拉力大小相等，都等于A物块的重力的大小，但是由于B物块上移，导致二者之间的夹角变大，则根据平行四边形定则可知合力变小，即绳OO′的拉力逐渐减小，故A错误，B正确；对物块B受力分析如图所示，当物块B上移时，α先减小后增大，在垂直斜面方向根据平衡条件可知，斜面对物块B的支持力先减小后增大，在沿斜面方向根据平衡条件可知，外力F逐渐变大，故C、D正确． 12．(2020·山东卷·8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示． 对A：T＝mgsin 45°＋μmgcos 45° 对B：2mgsin 45°＝T＋3μmgcos 45°＋μmgcos 45° 整理得，μ＝，选项C正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$