第九章 专题强化八 电场中功能关系及图像问题（教师用书word）-【步步高】2024年高考物理大一轮复习讲义（ 人教版 浙江专用第二版）

专题强化八　电场中功能关系及图像问题 目标要求　1.学会处理电场中的功能关系.2.能解决电场中各种图像问题，理解图像斜率、面积等表示的物理意义并能解决相关问题． 题型一　电场中功能关系的综合问题 电场中常见的功能关系 (1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变． (2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． (3)除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量． (4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量． 例1　(2023·浙江宁波市模拟)如图所示，固定的光滑绝缘斜面的底端固定着一个带正电的小物块P，将另一个带电小物块Q在斜面的某位置由静止释放，它将沿斜面向上运动．设斜面足够长，则在Q向上运动过程中(　　) A．物块P、Q的电势能和动能之和先增大后减小 B．物块P、Q的重力势能和电势能之和先减小后增大 C．物块P、Q的重力势能和电势能之和先增大后减小 D．物块P、Q的重力势能和动能之和先增大后减小 答案　B 解析　物块Q在沿斜面方向上受向上的静电力和重力沿斜面向下的分力作用，当物块Q向上滑动时，随静电力的减小，加速度先逐渐减小，然后反向增加，即速度先增加后减小；因系统只有重力和静电力做功，则系统的电势能、重力势能和动能之和不变，即Ep电＋Ep重＋Ek＝常数，则在Q向上运动过程中，随重力势能的增加，物块P、Q的电势能和动能之和逐渐减小，选项A错误；在Q向上运动过程中动能先增大后减小，故物块P、Q的重力势能和电势能之和先减小后增大，选项B正确，C错误；在Q向上运动过程中，电势能逐渐减小，故物块P、Q的重力势能和动能之和逐渐增大，选项D错误． 例2　(多选)(2023·浙江余姚市模拟)如图，水平向右的匀强电场中，一带电粒子从A点以竖直向上的初速度开始运动，经最高点B后回到与A在同一水平线上的C点，粒子从A到B过程中克服重力做功为2 J，静电力做功为3 J，则(　　) A．粒子在B点的动能比在A点多1 J B．粒子在C点的电势能比在B点少3 J C．粒子在C点的机械能比在A点多12 J D．粒子在C点的动能为6 J 答案　AC 解析　 从A→B根据动能定理可知静电力做的功WAB＝ΔEk＋mgh，即ΔEk＝1 J，即粒子在B点的动能比在A点多1 J，故选项A正确；设在A点初速度为v0，粒子在竖直方向只受重力作用，做加速度为g的匀变速运动，故从A→B和从B→C的时间相等，而水平方向只受到静电力作用，设从A→B的水平分位移为x1，从B→C的水平分位移为x2，则＝，则静电力做的功WBC＝3WAB＝9 J，由于静电力做正功，则粒子在C点的电势能比在B点少9 J，故选项B错误；根据功能关系可知，从A→C机械能增加量为ΔE＝WAB＋WBC＝12 J，由于重力势能不变，则从A→C粒子动能增加12 J，即粒子在C点的动能大于12 J，故选项C正确，D错误． 例3　(2023·江西省第二中学模拟)如图所示，倾角为α＝30°的绝缘斜面AB长度为3l，BC长度为l，斜面BC段上方有沿斜面向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为＋q的小物块自A端左上方某处以初速度v0＝水平抛出，恰好在A点与斜面相切滑上斜面，沿斜面向下运动，经过C点但未能到达B点，在静电力作用下返回，最终恰好静止在A点，已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝，不考虑运动过程中物块电荷量的变化，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)物块平抛过程中的位移大小； (2)物块在电场中的最大电势能． 答案　(1)l　(2)2mgl 解析　(1)物块落到斜面上A点时，速度方向与水平方向夹角为α，设此时速度为v，则v＝， 竖直速度vy＝vsin α，平抛运动时间t＝， 平抛过程中水平位移x＝v0t， 又有竖直位移y＝， 平抛的位移s＝，联立解得s＝l. (2)设物块沿斜面向下运动的最大位移为x′，自物块从A点开始向下运动到再次返回A点，根据动能定理有－2μmgcos α·x′＝0－mv2，解得x′＝2l.物块位于最低点时，电势能最大，物块自A点到最低点过程中，设静电力做功为W，根据动能定理有mgsin α·x′－μmgcos α·x′－W＝0－mv2， 解得W＝2mgl，即物块电势能的最大值为2mgl. 题型二　电场中的图像问题 考向1　电场中的v－t图像 根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化． 例4　(2018·浙江4月选考·11)一带电粒子仅在电场力作用下从A点开始以－v0做直线运动，其v－t图像如图所示．粒子在t0时刻运动到B点，3t0时刻运动到C点，下列判断正确的是(　　) A．A、B、C三点的电势关系为φB>φA>φC B．A、B、C三点的场强大小关系为EC>EB>EA C．粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少 D．粒子从A点经B点运动到C点，电场力先做正功后做负功 答案　C 解析　由v－t图像知带电粒子在0～t0时间内做减速运动，电场力做负功，电势能增大；在t0～3t0时间内反方向做加速运动，电场力做正功，电势能减小，所以C正确，D错误；因为不知道带电粒子电性，本题中无法判断电势的高低，所以A错误；v－t图像中斜率表示带电粒子的加速度，Eq＝ma，可知A、B、C三点中EB最大，所以B错误． 考向2　φ－x图像(电场方向与x轴平行) 1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零． 2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图) 3．电场中常见的φ－x图像 (1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图． (2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图． (3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图． 例5　(多选)(2023·贵州贵阳市一中高三检测)如图所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示，取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是(　　) A．a、c两点的电场强度相同 B．q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍 C．将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零 D．将一负电荷从c点移到d点，电势能增大 答案　BC 解析　φ－x图像的斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，由题图可知，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误；由题图可知，题图中d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而d点到两点电荷q1、q2的距离之比为2∶1，根据点电荷电场强度公式E＝可得，q1、q2电荷量之比为4∶1，故B正确；a、c两点电势相等，电势差为零，负电荷从a点移到c点，静电力做功为零，故C正确；c、d间电场方向向左，负电荷从c点移到d点，静电力做正功，电势能减小，故D错误． 考向3　E－x图像(电场方向与x轴平行) 1．E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向． 2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况． 3．电场中常见的E－x图像 (1)点电荷的E－x图像 正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示． (2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图． (3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图． 例6　(2023·浙江省联考)某半导体PN结中存在电场，取电场强度E的方向为x轴正方向，其E－x关系如图所示，ON＝OP，OA＝OB.取O点的电势为零，则(　　) A．A、B的电势相等 B．从N到O的过程中，电势一直升高 C．电子从N移到P的过程中，电势能先增大后减小 D．电子从N移到O和从O移到P的过程中，静电力做的功相等 答案　D 解析　由于电场强度为正值，则电场强度E的方向沿x轴正方向，沿着电场线方向电势逐渐降低，所以A点电势高于B点的电势，A错误；从N到O的过程中，电势一直降低，B错误；电子从N移到P的过程中，静电力一直做负功，电势能逐渐增大，C错误；由题图可知，图形的面积表示电势差大小，则有UNO＝UOP，再根据W＝qU可知，则电子从N移到O和从O移到P的过程中，静电力做的功相等，D正确． 考向4　Ep－x图像、Ek－x图像 1．Ep－x图像 由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝，其绝对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向． 2．Ek－x图像 当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝，斜率表示静电力． 例7　(2023·北京北师大实验中学高三检测)一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是(　　) A．x1处电场强度最小，但不为零 B．粒子在0～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动 C．若x1、x3处电势为φ1、φ3，则φ1<φ3 D．x2～x3段的电场强度大小、方向均不变 答案　D 解析　Ep－x图像的斜率表示粒子所受静电力F，根据F＝qE可知x1处电场强度最小且为零，选项A错误；粒子在0～x2段切线的斜率发生变化，静电力发生变化，所以加速度也在变化，做变速运动，x2～x3段斜率不变，所以做匀变速直线运动，选项B错误；带负电的粒子从x1到x3的过程中电势能增加，说明电势降低，即φ1>φ3，选项C错误；x2～x3段斜率不变，所以这段电场强度大小、方向均不变，选项D正确． 课时精练 1.如图所示，在电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场中，一质量为m、带电荷量为＋q的物体，以某一初速度沿电场方向做匀减速直线运动，不计空气阻力，其加速度大小为，物体运动距离s时速度变为零．则在此过程中(　　) A．物体克服静电力做功0.6qEs B．物体的电势能增加了qEs C．物体的重力势能增加了qEs D．物体的动能减少了0.6qEs 答案　D 解析　由于物体所受静电力和运动方向相同，故静电力做正功W＝Eqs，故A错误；静电力做正功，电势能减小，物体的电势能减小了qEs，故B错误；重力做功WG＝－mgs，重力做负功，重力势能增加，又由题可知，mg＝1.6qE，所以重力势能增加了1.6qEs，故C错误；物体做减速运动，所受合外力做负功，动能减小，由动能定理得：ΔEk＝－F合s＝－mas＝－0.6Eqs，所以物体的动能减少了0.6qEs，故D正确． 2.(2023·广东深圳市高三检测)如图所示，有一竖直固定放置的绝缘圆环，圆环上均匀分布着正电荷，一固定绝缘光滑细杆过圆心且沿垂直圆环平面方向穿过圆环，细杆上套有一个带正电的小环，小环从A点由静止释放，沿细杆运动．下列说法一定正确的是(　　) A．小环所受静电力逐渐变小 B．小环的加速度先向右后向左 C．小环的电势能逐渐增加 D．小环的动能逐渐增加 答案　D 解析　O点电场强度为零，由O点向右电场强度先变大后变小，小环所受静电力可能先变大后变小，A错误；小环从A点由静止释放，沿细杆向右运动，加速度方向一直向右，B错误；静电力对小环一直做正功，电势能逐渐减少，动能逐渐增加，C错误，D正确． 3．(2023·江西赣州市模拟)带电球体的半径为R，以球心为原点O建立坐标轴x，轴上各点电势φ随x变化如图所示，下列说法正确的是(　　) A．球体带正电荷 B．球心处电场强度最大 C．A、B两点电场强度相同 D．一带负电的试探电荷在B点的电势能比在C点的电势能大 答案　D 解析　从球出发向两侧电势升高，而沿着电场线电势降低，故球带负电荷，A错误；球是等势体，故内部任意两点间的电势差为零，故电场强度为零，B错误；A点与B点的电场强度大小相等，但方向相反，C错误；从B到C，电势升高，根据Ep＝qφ，故负电荷在B点的电势能比在C点的电势能大，D正确． 4．(多选)如图甲所示，a、b是点电荷的电场中同一条电场线上的两点，一个带电粒子在a点由静止释放，仅在静电力作用下从a点向b点运动，粒子的动能与位移之间的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是(　　) A．带电粒子与场源电荷带异种电荷 B．a点电势比b点电势高 C．a点电场强度比b点电场强度大 D．带电粒子在a点的电势能比在b点的电势能大 答案　CD 解析　粒子从a点向b点运动，Ek－x图像的切线斜率减小，根据动能定理，则有qEx＝Ek，电场强度减小，因此a点更靠近场源电荷，则a点电场强度比b点电场强度大，若场源电荷是正电荷，则粒子带正电，若场源电荷是负电荷，则粒子带负电，它们带同种电荷，故A错误，C正确；由于不能确定场源电荷的性质，所以也不能确定电场线的方向，不能确定a点电势与b点电势的高低，故B错误；带电粒子仅在静电力作用下从a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，所以带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D正确． 5.(多选)如图，竖直平面内有a、b、c三个点，b点在a点正下方，b、c连线水平．第一次，将一质量为m的小球从a点以初动能Ek0水平抛出，经过c点时，小球的动能为5Ek0；第二次，使此小球带正电，电荷量为q，同时加一方向平行于abc所在平面、电场强度大小为的匀强电场，仍从a点以初动能Ek0沿某一方向抛出小球，小球经过c点时的动能为13Ek0.下列说法正确的是(不计空气阻力，重力加速度大小为g)(　　) A．a、b两点间的距离为 B．a、b两点间的距离为 C．a、c两点间的电势差为 D．a、c两点间的电势差为 答案　BC 解析　不加电场时根据动能定理得mghab＝5Ek0－Ek0＝4Ek0，解得hab＝，故A错误，B正确；加电场时，根据动能定理得mghab＋Uacq＝13Ek0－Ek0，解得Uac＝，故C正确，D错误． 6.(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平．a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点由静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零．则小球a(　　) A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小 B．从N到P的过程中，速率先增大后减小 C．从N到Q的过程中，电势能一直增加 D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量 答案　BC 解析　小球a从N点由静止释放，过P点后到Q点速度为零，整个运动过程只有重力和库仑力做功，库仑力方向与小球a速度方向夹角一直大于90°，所以库仑力整个过程做负功，电势能一直增加，故C正确；小球a从N到Q的过程中，重力不变，库仑力增大，库仑力与重力的夹角减小，所以它们的合力一直增大，故A错误；小球a受力如图所示， 在靠近N点的位置，合力与速度夹角小于90°，在P点合力与速度夹角大于90°，所以小球a从N到P的过程中，速率应先增大后减小，故B正确；根据能量守恒可知，P到Q的过程中，动能的减少量等于重力势能和电势能的增加量之和，故D错误． 7.如图所示，竖直固定的光滑绝缘细杆上O点套有一个电荷量为－q (q>0)的小环，在杆的左侧O′处固定一个电荷量为＋Q (Q>0)的点电荷，杆上a、b两点与O′点正好构成等边三角形，c是ab的中点．使小环从O点无初速度释放，小环通过a点时的速率为v.若已知ab＝Oa＝l，静电力常量为k，重力加速度为g.则(　　) A．在a点，小环所受弹力大小为 B．在c点，小环的动能最大 C．在c点，小环的电势能最大 D．在b点，小环的速率为 答案　D 解析　在a点，小环所受的库仑力沿aO′方向，大小为，水平方向小球受力平衡，所以小球受到向右的弹力大小等于库仑力沿水平方向向左的分力，即sin 60°＝，A错误；在c点，重力与库仑力垂直，竖直方向合力向下且不为零，则小环在c点的动能一定不是最大，B错误；c点距离正点电荷最近，对应电势最高，故带负电荷的小环在c点电势能最小，C错误；从a点到b点，由点电荷形成的电场的分布特点及几何关系知，a、b两点电势相等，则静电力不做功，应用动能定理有mgl＝mv22－mv2，解得v2＝，D正确． 8．(2023·浙江杭州市长河高级中学月考)如图所示，在P1、P2处各放一个等量正点电荷，O点为P1、P2连线的中点，一带正电的试探电荷从M点由静止出发，沿直线MON运动到N点，M、N关于O点对称，以O为坐标原点，ON为x轴的正方向，下列各图关于试探电荷速度v、电势能Ep及x轴上各点电场强度E、电势φ的描述正确的是(　　) 答案　D 解析　O点的电场强度为零，从M到N，电场强度先减小后反向增大，电荷所受的静电力先减小后反向增大，则加速度先减小后反向增大，即v－t图像切线斜率绝对值先减小后增大，故A、C错误；根据对称性知，试探电荷在关于O点对称的位置电势能相等，图像应关于纵轴对称，故B错误；MO间的电场线方向由M→O，电势逐渐降低，根据φ－x图像切线斜率等于电场强度，知φ－x图像切线斜率绝对值逐渐减小，x＝0时φ－x图像切线斜率等于零，根据对称性知D选项是正确的． 9．(多选)在x轴上分别固定两个点电荷Q1、Q2，Q2位于坐标原点O处，两点电荷形成的静电场中，x轴上的电势φ随x变化的图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．x3处电势φ最高，电场强度最大 B．Q1带正电，Q2带负电 C．Q1的电荷量小于Q2的电荷量 D．电子从x1处沿x轴移动到x2处，电势能增加 答案　BD 解析　φ－x图像的斜率表示电场强度，所以由题图可知x3处电势φ最高，电场强度最小为0，则A错误；由于沿着电场线方向电势逐渐降低，则0～x3电场线方向指向x轴的负方向，x3～＋∞电场线方向指向x轴的正方向，并且在x3处电势φ最高，电场强度最小为0，根据点电荷电场强度公式E＝k，由近小远大规律可知，Q1的电荷量大于Q2的电荷量，并且Q1带正电，Q2带负电，所以B正确，C错误；电子从x1处沿x轴移动到x2处，静电力做负功，电势能增加，所以D正确． 10．(多选)(2023·浙江五校联考)为了测定某平行于纸面的匀强电场的电场强度，某同学进行了如下操作：取电场内某一位置O点为坐标原点建立x轴，选取x轴上到O点距离为r的P点，以O为圆心、r为半径作圆，如图甲所示；从P点起逆时针沿圆周测量圆上各点的电势φ和转过的角度θ；当半径r分别取r0、2r0、3r0时，绘制φ－θ图线如图乙所示．乙图中曲线①、②、③均在θ＝θ0时达到最大值，最大值分别为4φ0、3φ0、2φ0.下列说法正确的是(　　) A．O点为电势零点 B．曲线①、②、③的交点M和N在同一等势线上 C．电场强度方向与x轴正方向的夹角为θ0 D．电场强度的大小为 答案　BD 解析　电场强度方向从电势最高点指向电势最低点，根据题图乙可知，电场方向与x轴负方向成θ0角，选项C错误；由题图乙知曲线①、②、③的交点M和N电势相等，因为是匀强电场，所以交点M和N在同一等势线上，选项B正确；根据题图乙，曲线①的峰值最大，曲线①对应的r最大，取值为3r0，曲线③对应的半径为r0，电场强度的大小为E＝＝＝，选项D正确；根据曲线③的峰值为2φ0，最小值为0，因为是匀强电场，坐标原点O的电势为φ＝＝φ0，选项A错误． 11.(2023·黑龙江省高三检测)如图所示，放置在竖直平面内的粗糙直线轨道AB与光滑圆弧轨道BCD相切于B点，C为最低点，圆心角∠BOC＝37°，线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R，整个轨道处于匀强电场中，电场强度方向平行于轨道所在的平面且垂直于直线OD，现有一个质量为m、带电荷量为＋q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数μ＝0.25，电场强度大小E＝，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，忽略空气阻力．求： (1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小； (2)小物块第一次从D点飞出后上升的最大高度； (3)小物块在直线轨道AB上运动的总路程． 答案　(1)10.8mg　(2)1.2R　(3)15R 解析　(1)由几何关系知，轨道AB与水平面的夹角为37°，小物块从A点第一次到C点的过程，由动能定理知： (qE＋mg)(Lsin 37°＋R－Rcos 37°)－μ(qE＋mg)Lcos 37°＝mvC12－0 在C点由牛顿第二定律知：FN－qE－mg＝m ，联立解得：FN＝10.8mg 由牛顿第三定律知此时小物块对轨道的压力大小是10.8mg. (2)小物块从A第一次到D的过程，由动能定理知 (qE＋mg)(Lsin 37°－Rcos 37°)－μ(qE＋mg)Lcos 37°＝mvD12－0 小物块第一次到达D点后以速度vD1逆着电场线方向做匀减速直线运动， 由动能定理知－(qE＋mg)xmax＝0－mvD12 联立解得：xmax＝1.2R. (3)分析可知小物块到达B点的速度为零后，小物块就在圆弧轨道上做往复圆周运动， 由功能关系知(qE＋mg)Lsin 37°＝μ(qE＋mg)dcos 37°，解得：d＝15R. 12．(2023·浙江宁波“十校”联考)如图甲所示，一带电荷量为2×10－8 C的物块置于绝缘光滑水平面上，其右端通过水平弹性轻绳固定在竖直墙壁上，整个装置处于水平向左的匀强电场中．用力将物块向左拉至O处后由静止释放，用传感器测出物块的位移x和对应的速度，作出物块的动能Ek－x关系图像如图乙所示，其中0.40 m处物块的动能最大但未知，0.50 m处的动能为1.50 J,0.50～1.25 m间的图线为直线，其余部分为曲线．弹性轻绳的弹力与形变量始终符合胡克定律，下列说法正确的是(　　) A．该匀强电场的电场强度大小为1×107 N/C B．弹性绳的劲度系数为5 N/m C．弹性绳弹性势能的最大值为2.5 J D．物块会做往复运动，且全过程是简谐运动 答案　C 解析　在0.50～1.25 m范围内，动能变化量等于克服静电力做的功，则有ΔEk＝qEΔx，因此Ek－x图线的斜率绝对值为qE＝ N＝2 N，解得匀强电场的电场强度大小为E＝1×108 N/C，故A错误；根据题图乙可知，物块在0.50 m时不受弹性绳弹力作用，物块在0.40 m时速度最大，此时弹性绳弹力和静电力大小相等，所以物块在平衡位置处弹性绳伸长Δx′＝0.50 m－0.40 m＝0.1 m，根据胡克定律可得kΔx′＝qE，解得k＝20 N/m，故B错误；根据能量守恒定律可知，弹性绳弹性势能的最大值Ep0＝qEΔxm＝2×1.25 J＝2.5 J，故C正确；因物块不受弹性绳弹力后受恒定的静电力作用，可知物块在全过程中的运动不是简谐运动，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$