2025年中考数学压轴题训练——二次函数与面积问题

2025年中考数学压轴题训练——二次函数与面积问题 1．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．    (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)E为线段上方抛物线上一动点，求四边形面积最大时，E的坐标以及面积的最大值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线下方抛物线上一动点，连接， ，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移 个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点、，交y轴于点C．连结．点D在该抛物线上，过点D作，交直线于点E，连结．设点D横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求的最大值． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在y轴左侧的抛物线上，且满足，求点P坐标； (3)如图2，过点的直线与抛物线交于F，G两点，点D为抛物线的顶点，连接，，将分成两部分的面积之差为1，求直线的解析式． 7．如图，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点M，且，求点M的坐标； (3)如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作的平行线交抛物线于另一点F，直线，交于点P，若点P的纵坐标为t，的面积记为S，试探究S与t之间数量关系． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式： (2)点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点E，轴交于点E，当的周长最大时，求点P的坐标和周长的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，在新的抛物线上是否存在点H，使，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接和，点在抛物线上运动，连接和． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)点在抛物线上从点运动到点的过程中（点与点不重合），作点关于轴的对称点，连接，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，试探究在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，（在左侧），与轴交于点，点为新抛物线上的一点，连接，并延长交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与 轴交于点，作直线． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)在轴上是否存在点，使得以 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若是直线下方抛物线上一动点，则当点的坐标为_______时，面积最大． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)①是轴上一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 13．抛物线（，，是常数，）与轴交于A，B两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，． (1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标． (2)如图，若为线段上的一个动点（不与点B，D重合），过点P作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标． (3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点的坐标为 时，四边形是平行四边形． 14．如图，已知抛物线（是常数）与轴分别交于点，（点位于点的左侧），与轴的负半轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线对称轴上存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，求出点坐标； (3)点是轴下方的抛物线上的一个动点，点横坐标为，连接，设所得的面积为． ①求关于的函数解析式； ②探究：若的面积为整数，则这样的共有多少个． 15．如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且． (1)求该二次函数的表达式； (2)点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． (3)将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标． 17．如图，已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，已知． (1)如图1，求该抛物线的表达式； (2)如图2，P是直线上方抛物线上一点，与y轴、分别交于D，E． ①若，求点P的坐标； ②求的最大值． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线(其中)，交轴于、两点(点在点的左侧)，交轴负半轴于点． (1)若， ①分别求出、、三点的坐标； ②如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点，使得，求点的坐标； (2)如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年1月25日初中数学作业》参考答案 1．(1) (2)①当时，有最大值，最大值为16，；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线的解析式为：，设，则，用含t的代数式表示的面积，进而即可求解； ②分两种情况：①；②，讨论即可． 【详解】（1）解：把、代入得 解之得 该二次函数的解析式为； （2）解：①设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， 直线的解析式为 设，则， ， 对称轴， ，开口向下 当时，有最大值，最大值为16． ； ②当时，如图： 轴， 点的纵坐标为4， ， 解得（舍去）， ， 当时， ， 过点作于， ，，轴， ， 由①得，， ， 解得（舍去）， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论． 2．(1) (2)最大面积为，点E坐标为 (3)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求得点A坐标，进而得到，当最大时，最大，过E作轴交于D，设，，则，利用坐标与图形性质得，利用二次函数的性质求得的面积最大值即可求解； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； 【详解】（1）解：在中，令，得， ∴， 令，由得， ∴，   把两点的坐标代入中得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，由得，， ∴， ∴， 则，当最大时，最大， 设，，则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时四边形面积最大，最大值为， 由得点E坐标为； （3）解：存在． 将抛物线沿射线方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为， 设点M的坐标为， ， 要使点N与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ，； ②当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ，； ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到，； 当时，得到，， 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、坐标与图形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 3．(1) (2)8 (3)或或， 【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可； （2）先得出抛物线的对称轴，作轴交直线于E，设，用表示出的面积即可求出最大面积； （3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入得 ，解得：， ∴该抛物线的解析式为， （2）把代入中得：， ∴， 抛物线的对称轴l为， ∵点D与点C关于直线l对称， ∴， ∵， 设直线的解析式为； ∴，解得：， ∴直线AD的函数关系式为：， 作轴交直线于M，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即点时，的面积最大，最大值为：8 （3）∵直线的函数关系式为：， ∴直线与轴正方向夹角为， ∴抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∵，，平移后的坐标分别为，， 设平移后的抛物线的解析式为 则，解得：， ∴平移后， ∴抛物线y1的对称轴为：， ∵， ∴， 设，， ∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： ①当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ②当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ③当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ∴或或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想． 4．(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）利用二次函数解析式可得，进而可得直线的解析式为，设点，过点作轴 ，交直线于点，可得，即得，即可得到，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，又可知四边形是平行四边形，得，即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解； （）由题意可得抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，得， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵点与点关于直线的对称点， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值； （3）解：∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 当，与轴的交点为点时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．(1)， (2)或 (3)最大值为 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）分、、时，三种情况分别讨论即可求解； （3）证明的面积 的面积，则，即可求解； 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， ，， 则， 则， 解得：，； （2）解：由（1）可得：二次函数解析式为：， 当时，图象的最高点为原抛物线的顶点， 此时最高点的纵坐标为4，与无关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为，与有关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为0，与无关． 综上，当图象的最高点的纵坐标与无关时，的取值范围是或； （3）解：连接， ， 的面积 的面积， 过点D作轴，交与点F， 令，则，即， ∵， 设直线表达式为， 由题意得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴ ， 当 时， 有最大值，最大值为； 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算、平行线的性质等知识，分类求解是解题的关键． 6．(1)抛物线的解析式为 (2) (3)直线的解析式为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，两点间距离公式，二次函数的性质．懂得利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，根据，利用两点间的距离公式得出，求出，再代入二次函数解析式求出横坐标，即可得到答案； （3）设直线的解析式为：，联立得，则，求出，得到轴，，则， ，根据将分成两部分的面积之差为1，当 当时，则，当时，则，可得或，代入即可得出结论． 【详解】（1）解：已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点，把点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设点，因为在y轴左侧的抛物线上，所以， 已知，，， ， 又， ， 化简得：， 则 将代入得到， 解得（不合题意，舍去）， ∴ ． （3）解：过点的直线与抛物线交于F，G两点，点D为抛物线的顶点，设直线的解析式为：， 联立得， ， 抛物线解析式为：， ， ， 轴，， ， ， 将分成两部分的面积之差为1， 当时，则， ， ， ， 直线的解析式为：； 当时，则， ， ， ， 直线的解析式为：； 综上所述，直线的解析式为：或． 7．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解析式分别令，时，即可得出． （2）根据解析式代入得出，过点作，交的延长线于点，则，过点作轴的平行线分别交直线于两点，则可证得，得出，由，可求得直线，联立抛物线解析式得出的坐标，即可求解． （3）设直线的解析式为，当时，，设直线的解析式为，当时，，得到，设直线的解析式为，当时，，得到，从而得到方程，得到关系，当时，求出点，过点作轴的平行线交于点，可求，从而得到． 【详解】（1）解：由， 当时，， 当时，，解得：， ． （2）解：当时，， ， ， ， ， ， 过D点作，交的延长线于点N，则，过点N，C作y轴的平行线分别交直线于G，H两点， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入， 得， 解得：， ∴直线， 当时， 解得：或（舍去）， ． （3）解：∵， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， ， ， ， 当时，解得：， ， 过点作轴的平行线交于点， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，待定系数法求函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 8．(1) (2)， (3)存在，点H的坐标为或 【分析】本题为二次函数的综合题，涉及一次函数的图象和性质、待定系数法、二次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，进而可求出直线的表达式，由题意可得，推出，，则，求出的最大值即可求解； （3）求出新抛物线的表达式为：，分当点H在x轴上方时，延长交轴于点，当点H在下方时，过点B作直线，两种情况讨论，即可求出答案． 【详解】（1）解：将、点代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）令，则， 点， 设直线的表达式为：， 将点，点，代入得： ， 解得：， 直线直线的表达式为：， ∵， ∴， ∵轴交于点E，轴交于点E， ∴， ，， ∴ 设点，则， 则， 即， ， 有最大值为2，此时点； 则的周长有最大值，最大值为； （3）存在，点H的坐标为或 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，向上平移个单位， 则新抛物线的表达式为：， 连接， 当点H在下方时，过点B作直线，则点即为直线与抛物线的交点，    ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的表达式为：， 将点，点，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 设直线的解析式为， 把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或（舍去）， ∴点H的坐标为； 当点H在x轴上方时，延长交轴于点，   ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立得到， 解得或（舍去）， 此时两点重合， ∴点H的坐标为； 综上，点H的坐标为或． 9．(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、三角函数等知识点． （1）先运用待定系数法求出函数表达式，然后再化成顶点式即可解答； （2）由，同理可得：，然后求出点P的坐标，进而完成解答； （3）由，，得到，推出是等腰直角三角形，根据将原抛物线沿射线方向向下平移个单位长度，得求得新抛物线的解析式为，推出，得到直线的解析式为，解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和代入抛物线可得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为：． （2）解：∵， ∴点， 设点，则点， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：连接交于点E，则点， 同理由点B、P的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交y轴于点D，则点， 则， 同理可得：， ∴，解得：（舍去）或 ∴点， ∴的面积为． （3）存在，如图， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 将原抛物线沿射线方向向下平移个单位长度， 相当于把将原抛物线向下，向左各平移了个单位长度， 新抛物线的解析式为， ， ， ， 设直线交轴于点， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入 得 ∴, ∴直线的解析式为， 联立 解得：或 ， ∴或 10．(1) (2)面积的最大值为，点的坐标为； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可求解； （3）设原拋物线向右平移个单位，利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，进而得出，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，进而根据勾股定理得出；②过点作则根据勾股定理可得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； （2）解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 过点作交于点，记交于点，设直线交轴于点，则    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，，则点的坐标为； （3）解：设原拋物线向右平移个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式过点， ，解得，或（舍去） 平移后的拋物线解析式为， 当时， 解得：， 当时， ∴，，， ①连接，作的垂直平分线交于点，    ∴， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ∴ ， ∴ ②过点作 ∴    ∴ 解得：或 当时， ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与二次函数交点情况，等腰三角形性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，二次函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 11．(1) (2)存在，或 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解 （2）当是斜边时，根据勾股定理列出等式即可求解∶ 当或为斜边时，同理可解； （3）由即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 得即 解得 则该抛物线对应的函数解析式为． （2）答：存在． 理由：由抛物线的函数解析式知，当时， 点的 坐 标 为． 设点的坐标为， 则，，． 当是斜边时，则， 解得， 即点的坐标为或 (舍去，此时点和点重合，不能构成三角形)． 当或为斜边时，同理可得或 ， 解得或， 即点的坐标为或 ( 舍 去 ) ． 综上，点点的坐标为或． （3）解：如图，过点作轴交于点，连接，． 设直线的表达式为，将点，代入，得 解得． 则直线的表达式为：． 设点，则点， ． ， 当时 ，面积最大，最大值为8． 此时，点 12．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）运用待定系数即可求解； （2）先求出直线的表达式为，则，，那么，而，代入面积公式即可； （3）①设，则，，由四边形是平行四边形，得点与点的水平距离等于与点的水平距离，点与点的铅锤距离等于与点的铅锤距离，，解得，此时，，则，即，解得，即可求解H坐标； ②，而，故，当C，P，B三点共线时周长取得最小值，最小值为． 【详解】（1）解：将，代入中 得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 则代入点，得：， 解得：， 直线的表达式为， ∵， ∴当， 解得：， ， 当，， ∴， ， 而， ； （3）解：①设，则，， 如图： ∵四边形是平行四边形， ∴点与点的水平距离等于与点的水平距离， ， 解得， 此时， ∵四边形是平行四边形， ∴点与点的铅锤距离等于与点的铅锤距离， ∴， 即， 解得， 点的坐标为 ②∵点的坐标为，，如图： ∴， ∵，， ∴， ∵直线交轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C，P，B三点共线时周长取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数与四边形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，三角形的三边关系求最值，两点之间距离公式，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 13．(1)， (2)，； (3) 【分析】（1）把，，代入，再建立方程组求解解析式，再化为顶点式解题即可； （2）先求解直线的解析式为，求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形的面积加上的面积可得函数关系式，求得面积的最大值； （3）要使四边形是平行四边形只要即可，利用二次函数的对称性可得答案． 【详解】（1）解：把，，代入，得 ， 解得， ∴； ∴抛物线的顶点； （2）解：设直线的解析式为，将点、点的坐标代入得 ，解得， 所以直线的解析式为 设，而，． 由题意可知： ∴，，． ∴ ． ∵， ∴当时，； ∴； 故四边形的最大值为，点P的坐标为． （3）解：如图，过点作， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴关于抛物线对称轴直线对称， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键． 14．(1) (2)或 (3)①；3个 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，利用勾股定理列方程求解即可； （3）①过点P作轴，交于点M，由题意易求直线的解析式，然后可得点M的坐标及线段的长，根据可求出解析式； ②根据的面积为整数求解即可． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入，得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在点M，使得是以BC为直角边的直角三角形，理由如下： ∵， ∴对称轴是直线， ∴可设． 当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴， ∴，，． ①当时，如图所示： ， 解得： ∴点； ②当时，如图所示： ， 解得：， ∴点； 综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，点或； （3）解：①设直线的解析式为，把，代入，得 ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 过点P作轴，交于点M，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ②∵的面积为整数，， ∴m为整数． ∵， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 综上可知，则这样的共有3个． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 15．(1)二次函数的解析式为：； (2)； (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况点为直角顶点；点为直角顶点；点为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，， ，， ， ，                                       把和代入二次函数中得： ， 解得：，                                   二次函数的解析式为：； （2）解：如图1， 直线经过点和， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：，                    二次函数， 设点，则， ，       当时，的最大值为， 点的坐标为， ； （3）解：存在， ， 对称轴为直线，       设，分三种情况： 点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                  点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                            点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：或， 或， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、解二元一次方程、解一元二次方程等知识，熟练掌握待定系数法和分类讨论的思想是解答本题的关键． 16．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的关系式，函数最值问题，旋转问题相似三角形的判定与性质等知识． （1）令，求出，得点，，由得，， 把代入，求出，故可求出； （2）过点G作轴于点E，求出，设，得，，，根据得二次函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得结论； （3）证明，求出，得，运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组并求解即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得： ， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （2）解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， 过点G作轴于点E， 设，则，，， 又 ∴ ∴， ∴面积有最大值，最大值为； （3）解：设的延长线交轴于点， 根据题意得 又 ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把代入，得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或 ∵ ∴． 17．(1) (2)①；②最大值为 【分析】本题为二次函数综合题，求函数解析式，锐角三角函数，二次函数与面积问题等知识． （1）由点得，再结合正切的定义可分别求出，，即可得点，点，进而可得抛物线的表达式； （2）①由得，过点P作轴于点，证明得，进而得，将代入即可得点P的坐标； ②设，由得关于t的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∴，， ∴点，点， ∴； （2）解：①， ， 如图，过点P作轴于点， ， 又∵， ， ， ， 当时，，则； ②设， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 18．(1)①，，；②； (2)与的积是定值． 【分析】（1）①当时，，分别令，解方程即可求解； ②过点作，过点作轴，得到，再根据得到抛物线解析式，证明，得到的坐标为，再设直线的解析式为，根据坐标和建立方程求解，得到直线的解析式，即可解题； （2）设直线的解析式为，记，，联立，得到，，作轴，作轴，证明 ，利用相似的性质得到，，即可解题． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 当时，， 解得：或， ∴，，； ②如图1，过作交于点，作轴于点， ， ，即， ， ， ， ，， ， ，， 的坐标为， 设直线的解析式为：， 将和代入解析式有， ，解得， 直线的解析式为， 当时，解得（不合题意舍去）或， 当时，， 点D的坐标为； （2）解：与的积是定值，为2，理由： 抛物线（其中），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ，解得，， 即，， 过点作任意一条直线交抛物线于P、Q两点， 设直线的解析式为，记，， 有点在图象上， ，即， 直线的解析式为， 联立， 整理得， ，， 作轴，作轴，如图所示 ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，为定值． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判断，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，一元二次方程根与系数的关系，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$