精品解析：广东省梅州市职业技术学校（梅州市旅游职业技术学校、梅州市商业学校、梅州市财贸学校）2023-2024学年中职高一上学期开学数学试题

2023-2024学年度第一学期梅州职业学校中职高一开学测试 数学试题（中职部） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3.本卷满分为150分由单选题75分、填空题25分，解答题50分组成. 一、选择题（共15题，共75分） 1. 已知集合或，则 （ ） A. B. C. D. 2. 二元一次方程组 的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组对象，能构成集合是（ ） A. 某班所有高个子的学生 B. 著名的艺术家 C. 一切很大的书 D. 倒数等于它自身的实数 4. 已知集合 中的三个元素 ，， 分别是 的三边长，则 一定不是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 已知集合，则下列式子表示不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果集合满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 如果 ，， 满足 ，且 ，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 某人月收入x元不高于2000元可表示为“” B. 小明的身高为x，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C. 变量x不小于a可表示为“” D. 变量不超过a可表示为“” 9. 已知 ，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A 1 B. C. 0 D. 11. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 12. 函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 13. 的值为（ ） A. B. C. D. 14. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 15. 若函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，共25分） 16. 设 ，，则 ，， 三者的大小关系为____． 17. 已知幂函数 的图像经过点 ，那么 ____． 18. 函数 的定义域是____． 19. 已知 ，，则 ____． 20. 已知方程 的两个实根为 ，则 ____ 三、解答题（共5题，共50分） 21. 已知集合 ，． （1）若 ，求 取值范围． （2）若 ，求 的取值范围． （3）若 ，求 的取值范围（只需写出结果）． 22. 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形内建一座花坛，造价为 ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺花岗石地坪，造价为 ；再在四个空角（图中四个三角形）内铺草坪，造价为 ．设总造价为S（单位：元）， 长为（单位：）．当为何值时,总造价S最低？并求出最低总造价． 23. 已知函数 ， 实常数 （1）求证函数 区间 上单调递增． （2）求 在 上的最小值． 24. 设 ． （1）已知不等式 的解集为一切实数，求实数的取值范围． （2）关于的一元二次方程的两实根 ， 满足，求的值． 25. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）求函数的单调递减区间； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第一学期梅州职业学校中职高一开学测试 数学试题（中职部） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3.本卷满分为150分由单选题75分、填空题25分，解答题50分组成. 一、选择题（共15题，共75分） 1. 已知集合或，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集的定义即可得解. 【详解】因为集合或， 所以 . 故选：D. 2. 二元一次方程组 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二元一次方程组写出解集易得答案. 【详解】因为 二元一次方程组， 解得， 所以解集. 故选：B. 3. 下列四组对象，能构成集合的是（ ） A. 某班所有高个子的学生 B. 著名的艺术家 C. 一切很大的书 D. 倒数等于它自身的实数 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的概念易得答案. 【详解】选项A，B，D中集合对象不确定，某班所有高个子的学生，著名的艺术家，一切很大的书不能构成集合， 倒数等于它自身的实数对象确定，所以能构成集合. 故选：D. 4. 已知集合 中的三个元素 ，， 分别是 的三边长，则 一定不是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的互异性易得答案. 【详解】因为集合  中的三个元素 ，， 分别是  的三边长， 因为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三边可能都不一样，可能可以构成三角形， 等腰三角形有两边相等，根据集合互异性知道一定不能构成三角形. 故选：D. 5. 已知集合，则下列式子表示不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系可判断. 【详解】由，可得或， 所以. 由元素与集合的关系可知，，故A正确； 由集合与集合的关系可知，，，，故B错误，C、D正确. 故选：B 6. 如果集合满足，那么这样集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件确定集合中一定含有的元素和可能含有的元素，再根据子集个数公式求出集合的个数. 【详解】已知集合满足， 则集合为的子集，且集合中必有元素， 所以集合的个数等价于集合子集的个数， 因为中，有4个元素，所以有个子集， 所以集合的个数为， 故选：D. 7. 如果 ，， 满足 ，且 ，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意判断，，的符号，再结合不等式的基本性质逐个分析即可. 【详解】如果 ，， 满足 ，且 ， 则， A，，，则，故A正确， B，，，则，故B正确， C，若，则，故C错误， D，，，，所以，故D正确. 故选：C. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 某人月收入x元不高于2000元可表示为“” B. 小明的身高为x，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C. 变量x不小于a可表示为“” D. 变量不超过a可表示为“” 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的概念及表示方法即可判断. 【详解】某人月收入x元不高于2000元可表示为“”，故A错误， 小明的身高为x，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，故B错误， 变量x不小于a可表示为“”，故C正确， 变量不超过a可表示为“”，故D错误， 故选：C． 9. 已知 ，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式同向可加性易得答案. 【详解】因为，，所以，故A成立； 因为，，则有，故B不成立； 因为，，无法推出，故C不成立； 因为，，无法推出，故D不成立. 故选：A. 10. 若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入求解即可． 【详解】已知， ， 故选：A． 11. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数，幂函数，对数函数的图像和性质可知其单调递增区间. 【详解】解：由幂函数的图像和性质知， 函数的单调增区间为，函数无单调增区间， 由指数函数的图像和性质知，函数无单调增区间， 由对数函数的图像和性质知，函数无单调增区间. 故选：A. 12. 函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则满足 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 13. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的概念求值即可. 【详解】， 故选：D. 14. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理求解即可. 【详解】函数的定义域为， 其导函数为， 因为，所以有， 所以函数在其定义域内为增函数， 且， ， ， 所以函数零点所在区间是. 故选：C. 15. 若函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合对数函数的计算，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 二、填空题（共5题，共25分） 16. 设 ，，则 ，， 三者的大小关系为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合题意，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 17. 已知幂函数 的图像经过点 ，那么 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将已知点代入即可求解. 【详解】因为幂函数 的图像经过点 ， 所以，解得. 故答案为：3. 18. 函数 的定义域是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式的定义域易得答案. 【详解】因为函数 ， 所以， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 19. 已知 ，，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的运算，结合题意，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 20. 已知方程 的两个实根为 ，则 ____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再由的关系即可求解. 【详解】因为方程 的两个实根为 ， 所以，， 所以. 故答案为：. 三、解答题（共5题，共50分） 21. 已知集合 ，． （1）若 ，求 的取值范围． （2）若 ，求 的取值范围． （3）若 ，求 的取值范围（只需写出结果）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，再根据集合的并集运算结果易得答案； （2）先求集合的补集，再根据集合的交集运算结果易得答案； （3）根据集合的交集运算结果不是空集易得答案. 【小问1详解】 或， 若，则，因为， 所以，即 的取值范围为 ． 【小问2详解】 因为，而， 所以，所以，即的取值范围为． 【小问3详解】 因为，， 若，则 ， 即的取值范围为． 22. 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形内建一座花坛，造价为 ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺花岗石地坪，造价为 ；再在四个空角（图中四个三角形）内铺草坪，造价为 ．设总造价为S（单位：元）， 长为（单位：）．当为何值时,总造价S最低？并求出最低总造价． 【答案】；元． 【解析】 【分析】根据题意，可设，继而可得到，结合题意，可列出总造价S关于x的函数关系式，结合基本不等式，即可求得总造价的最小值及对于x的值. 【详解】由题意，设 ，则 ， 所以 ，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故当时，总造价S最低为元． 23. 已知函数 ， 为实常数 （1）求证函数 在区间 上单调递增． （2）求 在 上的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的开口方向和对称轴易证答案； （2）对进行分类讨论分别求出对应的最值. 【小问1详解】 因为 ， 所以 关于 对称，且开口向上， 故 在 上单调递增． 【小问2详解】 ① 时，， 所以 在 上最小值为 ， ② 时，， 所以 在 上最小值为 ， ③ 时， 在 上单调递减， 所以 ， ④ 时， 在 上单调递增， 所以 ， ⑤ 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以 ， 综上： 时，， 时，， 时，． 24. 设 ． （1）已知不等式 的解集为一切实数，求实数的取值范围． （2）关于的一元二次方程的两实根 ， 满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图像与性质即可求解. （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求解. 小问1详解】 由题意得，函数，图像开口向上. 则. 因为的解集为，则，即，解得 . 所以实数 的取值范围为． 【小问2详解】 由题意得，有两实根，且，则设两根分别为. 则， 解得 . 所以 . 解得 ，此时 成立，故 ． 25. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）求函数的单调递减区间； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角余弦公式和辅助角公式化简，再根据正弦型函数的性质易得答案； （2）根据正弦函数的单调性解不等式易得答案； （3）根据参变分离和反比例函数的最值问题易得答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 令，解得，， 因为，所以， 则函数的单调递减区间是. 小问3详解】 函数的值域为，于是得， 原不等式等价于， 由，得的最大值为， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$