精品解析：黑龙江省鸡东县职业技术学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题（实验班A卷）

鸡东县职业技术学校2023-2024年度上学期开学考试 高三数学试题A（实验班试题） 一、选择题 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似的服从正态分布.则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（ ） 附：随机变量服从正态分布，则，. A. 23 B. 46 C. 158 D. 317 4. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 6 B. 10 C. 24 D. 35 5. 若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 6. 设随机变量X的分布列为，a为常数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ， B ， C. ， D. ， 8. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知函数，，则（ ） A. 有一个零点 B. 在上单调递减 C. 有一个极值点 D. 若，则 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的极值点为 C. 的图像可由函数的图象向右平移个单位长度得到 D. 若，则 11. 已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，P为C上一点，下列说法正确的是（ ） A. C的离心率为 B. 的最小值为 C. 若A，B为C的左、右顶点，P与A，B不重合，则直线PA，PB的斜率之积为 D. 设C的左焦点为，若的面积为，则 12. 2022年9月19日，航天科技集团五院发布消息称，在法国巴黎召开的第73届国际宇航大 会上， 我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会 2022 年度世界航天奖.为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞赛活动， 竞赛规则:从10道选题中随机抽取3道题作答， 全部答对即可获奖.甲、乙两位同学参加知识竞赛，已知甲同学10道选题中只有2道题不会， 乙同学每道选题答对的概率都为.若甲、乙两位同学回答正确的题的个数的 期望分别为，方差分别为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 13. 的展开式中项的系数是_________. 14. 命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为____________． 15. 函数在上存在零点，则m的取值范围是__________. 16. 已知函数，若，则a的范围是_____________. 四、解答题 17. 某中学计划在学校开设劳动实践课程，为了解学生对劳动实践课程的赞同度，随机从高一、高二年级学生中一共抽取了100人进行调查，其中高一年级对开设劳动实践课程赞同的占，而高二年级有20人表示对开设劳动实践课程赞同.下表是部分列联表： 赞同 不赞同 合计 高一年级 a b 60 高二年级 20 d 合计 （1）求表中的值；能否有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关？ （2）为进一步了解学生对劳动实践课程认知，用分层抽样的方法随机从参与调查的高二学生中选取4人，若再从这4人中随机选取2人进行个别交流，求这2人中至少有1人不赞同的概率. 附表：. 0.150 0.100 0.050 0025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18. 已知椭圆的离心率为，右顶点. （1）求椭圆C标准方程； （2）M、N为椭圆C上的不同两点，设直线，的斜率分别为，，若，判断直线是否经过定点并说明理由. 19. 已知函数. （1）若的单调递减区间为，求实数a的值； （2）若函数在单调递减，求实数a的取值范围. 20. 某比赛前，甲、乙两队约定来一场热身赛，比赛采用三局两胜制. 据以往经验，甲、乙两队实力相当，但是若甲队前一场胜，则下一场胜的概率为，若前一场负，则下一场胜的概率为，比赛没有平局. 正式比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和 ；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和. （1）求热身赛中甲队获胜的概率； （2）设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为X， 求X的分布列与数学期望. 21. 快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y（单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量x（单位：千件）之间的关系，对该网点近7天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位：元）（）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值： 4 4.6 0.37 2.75 25.5 0.55 表中，. （1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为y关于x经验回归方程类型?并根据判断结果及表中数据求出y关于x的经验回归方程； （2）已知该网点每天的揽件量x（单位：千件）与单件快递的平均价格t（单位：元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的经验回归方程解决以下问题： ①预测该网点某天揽件量为2千件时可获得的总利润； ②单件快递的平均价格t为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大? 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 22. 已知函数，. （1）若（为的导函数），求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鸡东县职业技术学校2023-2024年度上学期开学考试 高三数学试题A（实验班试题） 一、选择题 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的运算定律求解. 【详解】∵, ∴ ∵ ∴ 故选:A. 2. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率公式易得答案. 【详解】因为函数在区间上的平均变化率为. 故选：C. 3. 某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似的服从正态分布.则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（ ） 附：随机变量服从正态分布，则，. A. 23 B. 46 C. 158 D. 317 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正态分布的对称性和原则，即可计算求解. 【详解】因为这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似的服从正态分布， 所以， 因为， 所以， 所以这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为人. 故选：A. 4. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 6 B. 10 C. 24 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】根据四个因式其中三个因式选相乘，剩下一个因式选常数相乘易得答案. 【详解】因为四个因式其中三个因式选相乘，剩下一个因式选常数相乘得到含的各项, 所以， 所以含的项的系数为. 故选：B. 5. 若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式可知，计算出，即可知二项式系数最大为，即为第6项. 【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和， 即，由二项式系数性质可得； 因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项. 故选：C 6. 设随机变量X的分布列为，a为常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的概率和为求出易得答案. 【详解】因为随机变量X的分布列为， 所以， 因为，故A错误， 所以， 所以，故B正确， 所以，故C错误， 所以，故D错误. 故选：B. 7. 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 8. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求出时，自变量x的取值范围，继而求得函数的值域. 【详解】由题意，因为， 所以， 因， 当时，； 当时，； 所以函数的值域为. 故选：B. 二、多项选择题 9. 已知函数，，则（ ） A. 有一个零点 B. 在上单调递减 C. 有一个极值点 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求函数的导函数，再求函数的单调性和极值点易得答案. 【详解】因为函数， 所以， 令， 所以，， 故，即， 当时，，即在上单调递减，故B正确， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以在没有零点，故A错误， 当，所以函数有一个极值点，故C正确， 若，设，则， 所以要证，只需证， 因为，当，单调递增，所以证， 因为，所以证， 令， ，因为在上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递减， 所以， 即， 所以成立，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的极值点为 C. 的图像可由函数的图象向右平移个单位长度得到 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图像和性质，结合题意，即可求解. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，故选项A错误； 令，则， 所以函数的极值点为，故选项B正确； 因为， 所以的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到， 故选项C正确； 因为， 令，则， 即的对称轴方程为， 所以若，则，即， 所以，故选项D错误； 故选：. 11. 已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，P为C上一点，下列说法正确的是（ ） A. C的离心率为 B. 的最小值为 C. 若A，B为C的左、右顶点，P与A，B不重合，则直线PA，PB的斜率之积为 D. 设C的左焦点为，若的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质求出，结合余弦定理，逐项判断即可求解. 【详解】对于A：由已知得，渐近线方程为，即， 右焦点到渐近线的距离为， 所以，则双曲线C的方程为， 离心率，所以A正确； 对于B：因为，所以B错误； 对于C：设，则，由题， 所以，所以C正确； 对于D：由题设， 可得，整理可得， 可得，得，， 则，所以D正确. 故选：ACD. 12. 2022年9月19日，航天科技集团五院发布消息称，在法国巴黎召开的第73届国际宇航大 会上， 我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会 2022 年度世界航天奖.为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞赛活动， 竞赛规则:从10道选题中随机抽取3道题作答， 全部答对即可获奖.甲、乙两位同学参加知识竞赛，已知甲同学10道选题中只有2道题不会， 乙同学每道选题答对的概率都为.若甲、乙两位同学回答正确的题的个数的 期望分别为，方差分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据离散型随机变量求出数学期望和方差和二项分布的数学期望和方差公式易得答案. 【详解】由题意得甲同学正确回答的题数可能取到， 所以，，， 所以， 所以， 因为乙同学符合二项分布， 所以， 所以， 所以. 故选：AD. 三、填空题 13. 的展开式中项的系数是_________. 【答案】380 【解析】 【分析】根据分类讨论求出指定项的系数易得答案. 【详解】因为， 因为的通项公式， 根据的次数易得分别为代入得， ， 所以的展开式中项的系数是. 故答案为：. 14. 命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合全称命题和特称命题的否定，利用含参数的二次不等式恒成立的问题的解法，分类讨论和两种情况，即可求解. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以命题“，使”是真命题， 当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，需满足， 即， 综上所述，， 即实数m的取值范围为. 故答案为：. 15. 函数在上存在零点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性以及零点存在性定理列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是连续增函数， 在上存在零点，所以， 即， 可得，即. 故答案为：. 16. 已知函数，若，则a的范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断复合函数的单调性，再解不等式易得答案. 【详解】因为函数， 因为在定义域上是增函数，在定义域上是减函数， 又因为增函数减减函数是增函数，所以在定义域上是增函数， 题目已知，所以， 所以a的范围是. 故答案为：. 四、解答题 17. 某中学计划在学校开设劳动实践课程，为了解学生对劳动实践课程的赞同度，随机从高一、高二年级学生中一共抽取了100人进行调查，其中高一年级对开设劳动实践课程赞同的占，而高二年级有20人表示对开设劳动实践课程赞同.下表是部分列联表： 赞同 不赞同 合计 高一年级 a b 60 高二年级 20 d 合计 （1）求表中的值；能否有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关？ （2）为进一步了解学生对劳动实践课程认知，用分层抽样的方法随机从参与调查的高二学生中选取4人，若再从这4人中随机选取2人进行个别交流，求这2人中至少有1人不赞同的概率. 附表：. 0.150 0100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）48；12；20；有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据高一年级抽样比值，结合表格数据，求出的值，利用利用独立性检验的公式，即可求解； （2）根据古典概型的概率公式，对立事件的概率公式，计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，，， ， 有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关. 【小问2详解】 用分层抽样的方法随机从参与调查的高二学生中选取4人，则赞同的有2人，记为， 不赞同的2人，记为， 若再从这4人中随机选取2人进行个别交流， 总的基本事件有：，则2人中均赞同的基本事件仅有， 所以这2人中至少有1人不赞同的概率为. 18. 已知椭圆的离心率为，右顶点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）M、N为椭圆C上的不同两点，设直线，的斜率分别为，，若，判断直线是否经过定点并说明理由. 【答案】（1） （2）直线经过定点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用求椭圆的方程即可； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，将直线代入椭圆的方程，结合韦达定理即可. 【小问1详解】 由题意可知，，， ，则， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 直线经过定点，理由如下， 若直线的斜率存在，设方程为， 椭圆方程为， 则将直线方程代入椭圆方程消去可得， ，得， 设、，则有，， ， ， ， 化简得，解得或， 当时，方程为，过定点，不合题意， 当时，方程为，过定点， 若直线的斜率不存在，设方程为， 设，，则， 即，解得， 此时方程为，显然过点 综上，直线经过定点. 19. 已知函数. （1）若的单调递减区间为，求实数a的值； （2）若函数在单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据的单调减区间为，可得、1是两根，即可求解. （2）由函数在单调递减，可得在上恒成立。即可推出在上恒成立，即可求解. 【小问1详解】 函数， 由题意得， 因为的单调递减区间为， 即的解集为， 故，1是的两根， 即，， 当时，，由，解得， 等号仅在，1时取得， 即的单调递减区间为，符合题意， 故. 【小问2详解】 函数在单调递减，即在上恒成立， 即在上恒成立，此时， 即在上恒成立，而，故， 经验证当时， 即， 等号仅在，1时取得，此时函数在单调递减，符合题意， 故. 20. 某比赛前，甲、乙两队约定来一场热身赛，比赛采用三局两胜制. 据以往经验，甲、乙两队实力相当，但是若甲队前一场胜，则下一场胜的概率为，若前一场负，则下一场胜的概率为，比赛没有平局. 正式比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和 ；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和. （1）求热身赛中甲队获胜的概率； （2）设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为X， 求X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）分析甲获胜情况，然后分别求出概率相加即可； （1）先求出甲、乙、丙进入决赛的概率，然后根据进入决赛的队伍数求出不同队伍数进入的概率，可列出分布列求出数学期望. 【小问1详解】 设热身赛中甲队获胜为事件A，则A包含胜胜、胜负胜、负胜胜三种情况， 所以. 【小问2详解】 甲队进入决赛的概率为 ；乙队进入决赛的概率为；丙队进入决赛的概率为； X的可能取值为0，1，2，3. ； ； ； . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 21. 快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y（单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量x（单位：千件）之间的关系，对该网点近7天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位：元）（）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值： 4 4.6 0.37 2.75 25.5 0.55 表中，. （1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程类型?并根据判断结果及表中数据求出y关于x的经验回归方程； （2）已知该网点每天的揽件量x（单位：千件）与单件快递的平均价格t（单位：元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的经验回归方程解决以下问题： ①预测该网点某天揽件量为2千件时可获得的总利润； ②单件快递的平均价格t为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大? 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）更适宜， （2）（ⅰ）17000元；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据散点图可确定回归模型，令，利用最小二乘法可求得，继而得到回归方程； （2）由题意，可设收发x千件快递获利z千元，继而得到，将代入即可求解该网点某天揽收2千块快递可获得的总利润；利用导数可求得的单调性，继而确定最大值点，即可求解. 【小问1详解】 由散点图可知更适宜作为y关于x的经验回归方程类型. 令，则，， 所以y关于x的经验回归方程为. 【小问2详解】 设收发x千件快递获利z千元 则 （ⅰ）当时，，即该网点某天揽收2千块快递可获得的总利润约为17000元. （ⅱ）因为，令，解得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，，此时， 所以单件快递的平均价格时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大. 22. 已知函数，. （1）若（为的导函数），求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求得，取得，分类讨论，即可求得函数的单调区间； （2）由（1）中的结论，分类讨论，求得在上单调性，进而求得函数的最小值. （3）根据题意转化为转化为和图象有两个交点，得到且，再利转化法与换元法将所证问题转化为证明，构造函数，利用导数即可得证. 【小问1详解】 由函数，则其定义域为，且， 可得，则， 若时，，单调递增； 若时，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 综上可得，当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上为递增函数，最大值为； 当时，即时，在上为递减函数，最大值为； 当时，即时，在上为递增函数，在上为递减函数， 所以最大值为； 当时，即时，在上为递增函数，最大值为， 综上可得，当时，最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为. 【小问3详解】 由，因为函数有两个极值点， 可得方程在上有两个不等的实根，不妨设， 即在上有两个不等的实根，即和的图象有两个交点， 又由，可得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 又由，且时，，所以且， 要证，可变形为， 因为，所以，即， 因为，可得， 即证，可变形为，即， 令，即证， 令，可得，所以在上单调递减， 所以，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$