专题04 分式运算与分式方程70道计算题专训（7大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题04 分式运算与分式方程70道计算题专训（7大题型） 【题型目录】 题型一 分式乘除混合运算 题型二 同分母分式加减法 题型三 异分母分式加减法 题型四 整式与分式相加减 题型五 分式加减混合运算 题型六 整数指数幂的运算 题型七 解分式方程 【经典例题一 分式乘除混合运算】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）计算：． 2．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）计算：   3．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）分式计算： (1)； (2)． 4．（23-24八年级下·广西百色·阶段练习）计算题 (1) (2) 5．（23-24八年级下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值． (1)，其中，； (2)，其中． 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： (1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 8．（22-23八年级下·河南开封·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 9．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 但老师最后说，结果是错的，请你确定接力中出错的同学，并写出正确的过程． 10．（23-24八年级下·吉林长春·期末）阅读下面的解题过程，然后回答问题： 计算 解：=…………① =………………………② =1 …………………………………………………③ 解题过程中，第 步出现错误，写出正确的解答 【经典例题二 同分母分式加减法】 11．（北京市石景山区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题）计算： 12．（24-25八年级下·四川眉山·阶段练习）计算： (1) (2) 13．（24-25八年级下·广西桂林·开学考试）计算： (1)； (2)． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）计算． (1) (2) (3) (4)． 15．（2024·四川·模拟预测）（1）计算∶； （2）计算∶ 16．（2024·吉林长春·一模）下面是国际数学日当天刘芳提出的问题，请你写出解答过程．    17．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)化简代数式，再从、2、0、1四个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 18．（2024·河南·模拟预测）观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 19．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 20．（23-24八年级下·河南开封·期中）阅读材料： 分式（）的最大值是多少？ 解：， ∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是． ∴的最大值是．∴（）的最大值是． 解决问题： (1)分式（）的最大值是 ； (2)求分式的最大值； (3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值． 【经典例题三 异分母分式加减法】 21．（北京市朝阳区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）计算：． 22．（24-25八年级下·河南开封·期末）化简： (1)； (2)． 23．（2024八年级下·全国·专题练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 24．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）计算： (1)整式化简：； (2)分式化简：． 25．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）观察下面的变形规律，解答下列问题： ， (1)若为正整数，猜想_________ (2)根据上面的结论计算：． 26．（23-24八年级下·河南开封·期末）观察下列各等式： ①；②；③；…… (1)按照以上等式规律，写出第4个等式是： ； (2)写出第个等式（用含的代数式表示），并说明等式成立的理由； (3)计算： ． 27．（23-24八年级下·河南南阳·期末）下面是小芳同学化简的过程 解： =（第一步） =（第二步） =（第三步） =（第四步） 小芳化简过程的第一步依据的是_____________（填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程的第_____________步开始出现错误．请你写出正确的化简过程及结果． 28．（2024·吉林长春·一模）老师留的作业中有这样一道计算题：，小明完成的过程如下：   第一步   第二步   第三步 老师发现小明的解答过程有错误． (1)小明的解答从第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 29．（2024八年级下·全国·专题练习）对于正数，规定． 例如：，，． (1)求值： ______ ； ______ ． (2)猜想： ______ ． (3)应用：请结合（）的结论，计算下面式子的值：． 30．（23-24八年级下·广西来宾·期末）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式、的大小，只要作出差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则________0（填、或）； (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【经典例题四 整式与分式相加减】 31．（23-24八年级下·北京·期中）计算：． 32．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）化简： (1)； (2)． 33．（24-25八年级下·河南周口·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 34．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）以下是圆圆的解题过程中 先化简，再求值： ，其中． 解：原式…① 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 35．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）观察下面的计算： ，； ，； ，； ，﹔ 根据上面的计算，你能作出什么猜测？你将用什么方法来判断你的猜想是正确的？ 36．（23-24八年级下·河南开封·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数的值． 37．（23-24八年级下·四川·期末）按条件求值： ①若分式的值是整数，求非负整数x的值． ②已知分式可以写成，利用上述结论解决；若分式表示一个整数，求整数x的值． ③化简：，再从0，，五个数中，选择一个你最喜欢的数代入并求值． 38．（23-24八年级下·福建莆田·期中）阅读下列材料：通过以前的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：； 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式． 39．（23-24八年级下·山西长治·期中）阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 和谐分式我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式． 对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．     40．（23-24八年级下·江苏南京·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格： 无意义 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式； = ，= ． (2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是 ． 【经典例题五 分式加减混合运算】 41．（2024八年级下·全国·专题练习）化简：． 42．（2024·吉林长春·一模）（1）计算：． （2）化简：． 43．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 44．（23-24八年级下·全国·课堂例题）计算： (1)． (2)． 45．（23-24八年级下·四川眉山·期末）在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， (1)用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． (2)当，求的值． 46．（23-24八年级下·北京·期末）已知：． (1)当时，计算的值； (2)当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； (3)设，若x、y均为非零整数，求的值． 47．（23-24八年级下·河南周口·期中）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下： ① ② ③ ④ (1)请你分析小明的解答从第_____步开始出现错误（填序号），错误的原因是______； (2)请写出正确解答过程，并求出当时此式的值． 48．（23-24八年级下·四川遂宁·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 49．（23-24八年级下·福建厦门·期中）小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………………………………① …………………………………………② ……………………………………………………③ ……………………………………………………④ (1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）． (2)请完整地写出正确的解答过程． 50．（23-24八年级下·北京延庆·期中）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： =   第一步 =             第二步 =             第三步 乙同学： =   第一步 =             第二步 =                  第三步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误． (1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______； (2)请重新写出完成此题的正确解答过程： 【经典例题六 整数指数幂的运算】 51．（2024·海南海口·一模）计算： 52．（24-25八年级下·吉林长春·期末）解决下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 53．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2)． 54．（24-25八年级下·全国·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 55．（24-25八年级下·四川巴中·期末）先化简再求值： (1)；其中 (2)，其中 56．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 57．（2024八年级下·全国·专题练习）如果等式恒成立， (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 58．（2024八年级下·天津·专题练习）（1）分解因式：． （2）计算：； （3）计算：． （4）先化简，再求值：，其中，． 59．（23-24八年级下·陕西汉中·期中）计算 (1)计算： ① ② ③ ④ (2)简便计算 ① ② 60．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）a﹣p＝（a≠0），即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数．例：4﹣2＝ （1）计算：5﹣2＝　 　；（﹣2）﹣2＝　 　； （2）如果2﹣p＝，那么p＝　 　；如果a﹣2＝，那么a＝　 　； （3）如果a﹣p＝，且a、p为整数，求满足条件的a、p的取值． 【经典例题七 解分式方程】 61．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）解方程： 62．（24-25八年级下·北京延庆·期末）解分式方程： (1)； (2) 63．（24-25八年级下·山西临汾·期末）（1）解方程：；     （2）先化简，再求值：，其中． 64．（2025八年级下·全国·专题练习）解分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 65．（24-25八年级下·山西晋城·期中）已知分式（，为常数）满足表格中的信息： 的取值 2 分式的值 无意义 0 3 (1)则的值是______，的值是______； (2)求出的值．    66．（2024八年级下·全国·专题练习）一般地，形如（是已知数）的分式方程有两个解，通常用，表示．请你观察下列方程及其解的特征： （1）的解为； （2）的解为； （3）的解为； 猜想：方程的解为，___________； 关于的方程的解为___________；___________． 67．（24-25八年级下·海南海口·期中）按要求解答下列问题． 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： (1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简； (2)原代数式的值能等于吗？请说明理由． 68．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 69．（24-25八年级下·四川乐山·期中）（1）解方程：； （2）下面是一道例题及其解答过程的一部分． 化简：． 解：原式 =…… ①若是一个单项式，则这个单项式是_____． ②将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写． 原式 = 70．（24-25八年级下·吉林长春·期末）综合与探究 我们把形如 （a，b不为零），且两个解分别为 的方程称为“十字分式方程”． 例：为“十字分式方程”，可化为 ． 为“十字分式方程” 可化为 ． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若 为“十字分式方程”，则______；______． (2)若十字分式方程，的两个解分别为 求 的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式运算与分式方程70道计算题专训（7大题型） 【题型目录】 题型一 分式乘除混合运算 题型二 同分母分式加减法 题型三 异分母分式加减法 题型四 整式与分式相加减 题型五 分式加减混合运算 题型六 整数指数幂的运算 题型七 解分式方程 【经典例题一 分式乘除混合运算】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式化简，先把除法变乘法，再运用平方差公式、完全平方公式把分子分母分解因式，最后约分即可． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）计算：   【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解题的关键；先把负整数指数幂变为正整数指数幂，按照运算顺序先计算乘方与乘法，再计算除法即可． 【详解】解：原式 ． 3．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）分式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可； （2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解∶ 原式 ； （2）解：原式 ． 4．（23-24八年级下·广西百色·阶段练习）计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的乘除混合运算，注意计算的准确性． （1）利用整式的混合运算法则即可求解； （2）将各分式的分子、分母进行因式分解后，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（23-24八年级下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的乘方及乘除运算．掌握相关运算法则是解题关键． 6．（24-25八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值． (1)，其中，； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，5 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值、分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）根据整式的混合运算法则化简原式，然后代值求解即可； （2）根据分式的乘法运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 当，， 原式； （2）解： ， ∵， ∴， 原式． 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： (1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 【答案】(1)， (2)约分 (3)二， 【分析】先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解：第一步使用的公式是完全平方公式和平方差公式， 即，； 故答案为：，； （2）解：第二步所使用的运算方法是约分； 故答案为：约分； （3）解：第二步出现错误， ， 故答案为：二，． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 8．（22-23八年级下·河南开封·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】（1）将分式的分子、分母的公因式或公因数直接约分化简即可； （2）先将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可； （3）两个分式相乘，先分子、分母约分，再相乘即可； （4）先将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可； （5）两个分式相乘，先将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可； （6）两个分式相除，先将除法变为乘法，再将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可； （7）两个分式相除，先将除法变为乘法，再将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可； （8）两个分式相乘，先将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可． 【详解】（1）解： =； （2）解： = = =； （3）解： = =； （4）解： = =； （5）解： = = =； （6）解： = = =； （7）解： = = =； （8）解： = =． 【点睛】此题考查了分式的化简与分式的乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则、因式分解是解此题的关键． 9．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 但老师最后说，结果是错的，请你确定接力中出错的同学，并写出正确的过程． 【答案】乙、丁同学在接力中出错，正确答案为 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的乘除法法则、分式的约分法则是解题的关键． 根据分式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：乙、丁同学在接力中出错． 正确的过程： ． 10．（23-24八年级下·吉林长春·期末）阅读下面的解题过程，然后回答问题： 计算 解：=…………① =………………………② =1 …………………………………………………③ 解题过程中，第 步出现错误，写出正确的解答 【答案】②，－1 【分析】根据运算过程中应用的法则，逐步判断即可确定哪步是错的，再按照分式化简的法则写出正确答案即可． 【详解】（1）由第①步到第②步时，变成没有变号， 故答案为：② 解：， = ， =－， =－1． 【点睛】本题考查了分式的化简运算，解题关键是熟悉每步运算法则，准确进行计算． 【经典例题二 同分母分式加减法】 11．（北京市石景山区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，先把两个分式合并，再把分子分解因式，然后约分即可得到答案． 【详解】解： ． 12．（24-25八年级下·四川眉山·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． （1）根据分式的减法运算法则即可求出答案． （2）根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 13．（24-25八年级下·广西桂林·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式的加法法则进行计算即可； （2）根据同分母分式的加法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ， 14．（2024八年级下·全国·专题练习）计算． (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式第二项分母变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （ 3）原式第二项分母变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果； （ 4）原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 15．（2024·四川·模拟预测）（1）计算∶； （2）计算∶ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，同分母分式的加法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方，再计算括号里面的，然后计算乘法，最后计算加法即可； （2）根据同分母分式的加法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 16．（2024·吉林长春·一模）下面是国际数学日当天刘芳提出的问题，请你写出解答过程．    【答案】 【分析】本题考查分式的加减法计算，根据加法和减法互为逆运算，将原式变形，根据分式减法计算法则即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 即括号内的数是． 17．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)化简代数式，再从、2、0、1四个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 【答案】(1) (2) (3)；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式加减法计算，分式的化简求值： （1）根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先通分，然后化简求解即可； （3）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 18．（2024·河南·模拟预测）观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)； (2) (3)见解析 【分析】此题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意代数求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． （3）首先根据分式的加减运算求出，，然后代入求解即可； 【详解】（1）； ； （2）； （3） ∴． 19．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)时，该式的值为整数 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）①，②；③，④， 故答案为①③④； （2）， 故答案为； （3）原式 当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又分式有意义时， ． 20．（23-24八年级下·河南开封·期中）阅读材料： 分式（）的最大值是多少？ 解：， ∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是． ∴的最大值是．∴（）的最大值是． 解决问题： (1)分式（）的最大值是 ； (2)求分式的最大值； (3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值． 【答案】(1)9 (2)7 (3)4，6，8 【分析】本题考查的是分式加减运算的逆运算，即， 同时考查分式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据，由，得到的最大值为8，即可解题． （2）根据，由，得到的最大值为3，即可解题 （3）根据，且值为整数，得到的值为整数，即的值为3的因数，从而可得到整数的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴，即：的最小值为1， ∴的最大值为8， ∴的最大值为9， 即：分式（）的最大值是9， 故答案为：9； （2）由题意可知，， ∵， ∴，即：的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为7， 即：分式的最大值是7； （3）由题意可知，， ∵分式（）的值为整数，且为整数， ∴的值为整数，， ∵， ∴的值为，1，3， ∴的值为4，6，8． 【经典例题三 异分母分式加减法】 21．（北京市朝阳区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了分式的加法运算，解题的关键是熟练掌握分式的加法运算法则． 利用异分母分式的加法法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 22．（24-25八年级下·河南开封·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把除法转化为乘法，然后约分化简即可； （2）先通分，再按同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 23．（2024八年级下·全国·专题练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将分子分母分解因式，再进行分式的约分即可求解； （2）先通分再进行分式的加减运算即可求解； （3）先将分子分母分解因式化简后再进行通分计算即可求解； （4）先将分式通分再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）计算： (1)整式化简：； (2)分式化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的加减运算，注意计算的准确性即可． （1）利用整式的混合运算法则即可求解； （2）确定最简公分母为，通分后即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 25．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）观察下面的变形规律，解答下列问题： ， (1)若为正整数，猜想_________ (2)根据上面的结论计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据变形规律，写出等式即可求解； （2）根据题意，将每一项拆解为差的形式，然后根据分式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2） ． 26．（23-24八年级下·河南开封·期末）观察下列各等式： ①；②；③；…… (1)按照以上等式规律，写出第4个等式是： ； (2)写出第个等式（用含的代数式表示），并说明等式成立的理由； (3)计算： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了实数混合运算的规律题。根据题意准确找出相应规律是解题关键． （1）按照①②③的规律写出第4个等式即可． （2）总结规律并证明等式左边等于右边即可． （3）按照规律，将原式变形，然后简便运算即可． 【详解】（1）解：根据①②③可得出第4个等式：， 故答案为：． （2）根据①②③，可得出： 理由如下： 等式左边为： ， 等式右边为：． ∴． （3） 27．（23-24八年级下·河南南阳·期末）下面是小芳同学化简的过程 解： =（第一步） =（第二步） =（第三步） =（第四步） 小芳化简过程的第一步依据的是_____________（填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程的第_____________步开始出现错误．请你写出正确的化简过程及结果． 【答案】因式分解；三；过程见解析； 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．根据小芳化简过程分析可解答答题空；根据异分母的分式相加减法则写出正确结果即可． 【详解】解∶小芳化简过程的第一步依据的是因式分解，化简过程的第三步开始出现错误． 故答案为：因式分解；三；     原式 28．（2024·吉林长春·一模）老师留的作业中有这样一道计算题：，小明完成的过程如下：   第一步   第二步   第三步 老师发现小明的解答过程有错误． (1)小明的解答从第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则； （1）小明的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是去分母； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得． 【详解】（1）二 （2） 29．（2024八年级下·全国·专题练习）对于正数，规定． 例如：，，． (1)求值： ______ ； ______ ． (2)猜想： ______ ． (3)应用：请结合（）的结论，计算下面式子的值：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据新定义的运算法则进行计算即可； （）根据规律得出答案； （）利用加法的结合律以及（）中的规律得出答案； 本题考查了分式的加减运算，理解新定义的运算及掌握分式加减的计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 30．（23-24八年级下·广西来宾·期末）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式、的大小，只要作出差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则________0（填、或）； (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查不等式的性质及分式的运算，熟练掌握不等式的性质并能够灵活运用是本题的关键． （1）并根据作出判断即可； （2）计算，并根据作出判断即可； 【详解】（1）， ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： ． ， ， ， ． 【经典例题四 整式与分式相加减】 31．（23-24八年级下·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式计算方法是解题的关键．先通分，再分子展开，合并化简，化为最简分式即可． 【详解】 32．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，然后合并同类项即可； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 33．（24-25八年级下·河南周口·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可； （3）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，再进行约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 34．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）以下是圆圆的解题过程中 先化简，再求值： ，其中． 解：原式…① 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 【答案】有错误；正确的解答过程见解析 【分析】根据分式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了分式的加法运算法，掌握分式的加法法则是解题的关键． 35．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）观察下面的计算： ，； ，； ，； ，﹔ 根据上面的计算，你能作出什么猜测？你将用什么方法来判断你的猜想是正确的？ 【答案】（n为大于1的正整数）；见解析． 【分析】通过观察题目的几个算式可以得到如下猜测：（n为大于1的正整数），然后根据分式的运算法则可以对得到的猜测作出证明 ． 【详解】解：能作出如下的猜测：（n为大于1的正整数） 证明猜测： ∴（n为大于1的正整数） 【点睛】本题考查与实数运算相关的规律探索，在阅读题目所给算式的基础上作出猜测并利用所学知识对得到的猜测给予证明是解题关键． 36．（23-24八年级下·河南开封·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了分式的性质，分式的加减运算； （1）参照范例进行解答即可； （2）先参照范例把分式化成一个整式与一个分式的和的形式，再结合原分式和的值都为整数这个条件进行分析解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ， ∵原分式的值为整数，且为整数， ∴， ∴或． 37．（23-24八年级下·四川·期末）按条件求值： ①若分式的值是整数，求非负整数x的值． ②已知分式可以写成，利用上述结论解决；若分式表示一个整数，求整数x的值． ③化简：，再从0，，五个数中，选择一个你最喜欢的数代入并求值． 【答案】①3；②3或5或9或-1；③，1 【分析】①根据分式的值是整数可得x+2=±5，从而求出x； ②将分式变形为，参照①中方法即可求出x； ③首先通分，计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再根据分式有意义的条件确定x的值，然后代入x的值即可． 【详解】解：①分式的值是整数， ∴x+2=±5， ∴x=3或x=-7， ∵x为非负整数， ∴x=3； ②==， ∴x-4=±1或±5， ∴x=3或5或9或-1； ③ = = = = ∵x不能取0，3，2，-3， ∴x=-2时， 原式==1． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式的除法和减法计算法则，正确把分式进行化简． 38．（23-24八年级下·福建莆田·期中）阅读下列材料：通过以前的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：； 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式． 【答案】(1)假 (2) 【分析】本题考查分式的定义、分式的运算，解答的关键是理解题中新定义并熟练应用． （1）利用假分式的定义判断即可； （2）仿照题中的例子方法运算即可． 【详解】（1）解：∵分式的分子的次数等于分母的次数， ∴分式是假分式； （2）解： ． 39．（23-24八年级下·山西长治·期中）阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 和谐分式我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式． 对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 【答案】(1)①③ (2) 【分析】本题主要查了分式的化简：     （1）根据“和谐分式”的定义，即可求解； （2）根据题意化简分式，即可． 【详解】（1）解：①是“和谐分式”； ②不是“和谐分式”；     ③是“和谐分式”；     ④不是“和谐分式”； 故答案为：①③ （2）解： ． 40．（23-24八年级下·江苏南京·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格： 无意义 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式； = ，= ． (2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）将分式转换成形式，利用的变化情况解答即可； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）根据表格可知，当或时，随着x的增大，的值逐渐减小，随着x的减小，的值逐渐增大，， ∴当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大． （3）∵， 当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0， ∴分式的值无限趋近于一个数，这个数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式的加减法，分式的变化，分式的值，本题是阅读型题目，理解题干值的定义并熟练应用是解题的关键． 【经典例题五 分式加减混合运算】 41．（2024八年级下·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可． 【详解】解： ． 42．（2024·吉林长春·一模）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算及分式的减法运算： （1）利用含乘方的有理数的混合运算法则即可求解； （2）利用分式的减法运算法则即可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 43．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 44．（23-24八年级下·全国·课堂例题）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）先根据分式的性质进行变形，然后再利用分式的加减运算可进行求解； （2）根据分式的加法运算可进行求解 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 45．（23-24八年级下·四川眉山·期末）在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， (1)用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． (2)当，求的值． 【答案】(1)，，；且 (2) 【分析】本题属于数字类规律探索题，考查分式的加减运算，找出这组数据的变化规律是解题的关键． （1）根据逐项计算即可，根据分母不能为0得出的取值范围； （2）根据（1）中结论得出这组数据的变化规律，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 根据分式的分母不能为0，可得，， 因此的取值范围为且． （2）解：由（1）中结论可得从开始，每3个数为一个循环，分别为， ， ， 当时，． 46．（23-24八年级下·北京·期末）已知：． (1)当时，计算的值； (2)当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； (3)设，若x、y均为非零整数，求的值． 【答案】(1) (2),详见解析 (3)12或18 【分析】（1）将代入计算的值即可； （2）先求差，再比较差与0的大小关系． （3）先表示，再求，的整数值，进而可以解决问题． 【详解】（1）当时， ； （2）当时，，理由如下： ， ， 或， 当且时，；当时，； （3），，， ， 、均为非零整数， 时，，； 时，，； 时，，； 综上所述：的值为18或12． 【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 47．（23-24八年级下·河南周口·期中）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下： ① ② ③ ④ (1)请你分析小明的解答从第_____步开始出现错误（填序号），错误的原因是______； (2)请写出正确解答过程，并求出当时此式的值． 【答案】(1)③，直接去掉了分母 (2)过程见解析，， 【分析】（1）根据异分母分式加减法法则，进行计算即可解答； （2）根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解：小明的解答从第③步开始出现错误，错误的原因是漏掉了分母； （2）正确的解答过程如下： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 48．（23-24八年级下·四川遂宁·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查有理数的减法运算、分式的减法及数字规律问题，解题的关键是理解题中所给的规律； （1）根据题中所给式子可进行求解； （2）由题意可直接进行求解； （3）根据（2）中的结论及分式的减法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得：第5个等式是； 故答案为； （2）解：由题意可知：第n个等式是； ∵， ∴原等式成立； （3）解： ． 49．（23-24八年级下·福建厦门·期中）小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………………………………① …………………………………………② ……………………………………………………③ ……………………………………………………④ (1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）． (2)请完整地写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【详解】（1）原式， 故选①， （2）原式 ． 【点睛】此题考查了分式加减运算，解题的关键是熟悉分式运算步骤． 50．（23-24八年级下·北京延庆·期中）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： =   第一步 =             第二步 =             第三步 乙同学： =   第一步 =             第二步 =                  第三步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误． (1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______； (2)请重新写出完成此题的正确解答过程： 【答案】(1)甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）； (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得． 【详解】（1）我选择甲同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是通分时第一个分式的分子少乘了x-1； 或我选择乙同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是直接去掉分母； 故答案为：甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）； （2）(选甲为例） = = = 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 【经典例题六 整数指数幂的运算】 51．（2024·海南海口·一模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，根据，再计算可得答案． 【详解】解：原式 ． 52．（24-25八年级下·吉林长春·期末）解决下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算以及乘法公式； （1）根据实数的混合运算法则先算小括号，化简计算； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 53．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2)． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查有理数及整式的混合运算，解题关键是掌握整式相关运算的法则． （1）先算零指数幂，负整数指数幂及乘方运算，再算加减即可； （2）先算积的乘方，再从左到右依次计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 54．（24-25八年级下·全国·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、整式的化简求值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用乘方、零次幂、负整数次幂、化简，然后再计算即可； （2）先运用整式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 当时，原式． 55．（24-25八年级下·四川巴中·期末）先化简再求值： (1)；其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)，2 【分析】（1）先根据整式混合计算，再根据实数运算法则计算出x，y的值，然后代入化简式计算即可； （2）先根据分式混合运算法则计算，然后根据得，然后整理体代入化简式，计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， ， ∴原式． （2）解： ． ， ， 原式 ． 【点睛】本题考查整式化简求值，分式化简求值，实数混合运算，零指数幂，负整指数幂，积的乘方逆用等知识．熟练掌握掌握相关运算法则是解题的关键． 56．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再算乘法，后算加减； （2）先逆用积的乘方法则和乘方的意义计算，再算加减即可； （3）先算积的乘方，再算乘法和除法； （4）把看作一个整体，先算积的乘方和幂的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂的意义，积的乘方，单项式的乘法与除法，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 57．（2024八年级下·全国·专题练习）如果等式恒成立， (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了分式的化简求值，积的乘方以及负整数指数幂的计算； （1）根据异分母分式的加法进行计算即可求解； （2）先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，根据已知等式得出，据此求出x的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得： （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 原式 58．（2024八年级下·天津·专题练习）（1）分解因式：． （2）计算：； （3）计算：． （4）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），6 【分析】本题考查了整式的运算以及因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因数3，然后根据平方差公式因式分解即可； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （3）先根据积的乘方法则、同底数幂相乘法则计算，然后根据零指数幂的意义 、负整数指数幂的意义计算即可； （4）先根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则计算括号内，然后根据多项式除以单项式法则计算，最后把x、y的值代入计算即可。 【详解】解：（1）原式 ； （2） ； （3） ； （4）原式 ， 当，时，原式． 59．（23-24八年级下·陕西汉中·期中）计算 (1)计算： ① ② ③ ④ (2)简便计算 ① ② 【答案】(1)①；②；③；④ (2)①；② 【分析】此题考查了整式的混合运算、乘法公式等知识． （1）①利用同底数幂的乘法和除法计算即可；②利用乘方、零指数幂、负整数指数幂进行计算即可；③先计算括号内的多项式的乘法和单项式乘以多项式，合并同类项后再计算多项式除以单项式即可；④变形后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． （2）①利用完全平方公式变形后进行计算即可；②利用平方差公式计算后求和即可． 【详解】（1）解：① ② ③ ④ （2）① ② 60．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）a﹣p＝（a≠0），即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数．例：4﹣2＝ （1）计算：5﹣2＝　 　；（﹣2）﹣2＝　 　； （2）如果2﹣p＝，那么p＝　 　；如果a﹣2＝，那么a＝　 　； （3）如果a﹣p＝，且a、p为整数，求满足条件的a、p的取值． 【答案】（1）、；（2）3、±4；（3）p=1，a=36或p=2，a=6或p=2，a=－6 【分析】（1）直接根据负p次幂的运算规则计算即可； （2）先根据负p次幂的运算规则得出含有a的分数形式，然后比较结果得出a的值； （3）存在2种情况，一种种是p=1时，还有一种是p=2时，能够使得式子成立． 【详解】（1） （2） ∴，解得：p=3 ∴，解得：a=±4 （3） ∴ ∵a、p为整数 情况一：当p=1时，则a=36 情况二：当p=2时，则a=±6 【点睛】本题考查新知识的学习能力，解题关键是根据题干告知的新知识，变形为我们已学习过的内容进行讨论分析． 【经典例题七 解分式方程】 61．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边乘，得 解得 检验：当时， 所以原分式方程的解为． 62．（24-25八年级下·北京延庆·期末）解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）方程两边同时乘以，然后再进行求解方程即可； （2）方程两边同时乘以，然后再进行求解方程即可 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得， ， ， ， ， ， 检验：当时，方程左右两边相等． 所以原分式方程的解为． （2）解：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ； 检验：当时，最简公分母，原方程中的分式无意义； 所以原方程无解． 63．（24-25八年级下·山西临汾·期末）（1）解方程：；     （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）化简得，求值得 【分析】本题考查解分式方程和分式的化简求值，熟练掌握解分式方程的步骤和分式的化简步骤是解题的关键． （1）按解分式方程的步骤求解即可，注意验根； （2）按分式混合运算的步骤先化简，再求值即可． 【详解】解：（1）， 两边同时乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，时，， 所以方程的解为； （2） ， 当时，原式． 64．（2025八年级下·全国·专题练习）解分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是去分母，把分式方程化为整式方程，最后注意检验是否为增根． （1）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案； （2）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案； （3）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案； （4）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为； （3）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为； （4）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为． 65．（24-25八年级下·山西晋城·期中）已知分式（，为常数）满足表格中的信息： 的取值 2 分式的值 无意义 0 3 (1)则的值是______，的值是______； (2)求出的值． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】（1）根据当时，分式无意义，即分母为0，即可求出b值； 当时，分式的值为0，即可求出a值． （2）将a，b的值代入分式，再根据当分式的值为3时，得到，解分式方程即可求出结果． 本题主要考查分式，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格数据得， 当时，分式无意义， ∴， 解得， 当时，分式的值为0， ∴ 解得： 故答案为：，2． （2）解：根据（1）知，分式为     当分式的值为3时，即 整理得， 解得：， 检验，为分式方程的解． 66．（2024八年级下·全国·专题练习）一般地，形如（是已知数）的分式方程有两个解，通常用，表示．请你观察下列方程及其解的特征： （1）的解为； （2）的解为； （3）的解为； 猜想：方程的解为，___________； 关于的方程的解为___________；___________． 【答案】，， 【分析】本题考查分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．仿照方程解方程，归纳总结得到结果，方程变形后，利用得出的规律求解即可． 【详解】解：∵的解为； 的解为； 的解为； ∴的解为； 关于的方程，两边同时减1， 得：， ∴或， ∴，． 67．（24-25八年级下·海南海口·期中）按要求解答下列问题． 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： (1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简； (2)原代数式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解分式方程，将未知式子看做一个整体是解题的关键． （1）设被手遮住部分的代数式为，代入原式求解可得答案； （2）设，可得，代入原式得被除数，原代数式无意义，所以原代数式的值不能等于． 【详解】（1）解：设被手遮住部分的代数式为， 则， ∴ ， 即：被手遮住部分的代数式为； （2）不能，理由如下： 若能使原代数式的值能等于， 则，即， 解得，经检验：是原方程的解， 但是，当时，原代数式中的除数，原代数式无意义. 所以原代数式的值不能等于． 68．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． （2）解：设原题中“”是， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 答：原题中“”是． 69．（24-25八年级下·四川乐山·期中）（1）解方程：； （2）下面是一道例题及其解答过程的一部分． 化简：． 解：原式 =…… ①若是一个单项式，则这个单项式是_____． ②将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写． 原式 = 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的加减乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，解出整式方程，再检验，即可求解； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果． 【详解】解：（1）方程两边同乘， 得， 整理得，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）①根据题意得， 故答案为：； ②原式 ． 70．（24-25八年级下·吉林长春·期末）综合与探究 我们把形如 （a，b不为零），且两个解分别为 的方程称为“十字分式方程”． 例：为“十字分式方程”，可化为 ． 为“十字分式方程” 可化为 ． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若 为“十字分式方程”，则______；______． (2)若十字分式方程，的两个解分别为 求 的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2024 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识． （1）类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解； （2）结合运用“十字分式方程”得到，，将变形为，整体代入即可求解； （3）将原方程变形为，结合运用“十字分式方程”得到，，代入即可求解． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． 故答案为：，； （2）解：由已知得，， ∴； （3）解：原方程变为， ∴， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$