第二章 §2.9 指、对、幂的大小比较[培优课]（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.9　指、对、幂的大小比较

 

指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．

题型一　直接法比较大小

命题点1　利用函数的性质

例1　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>c>b   B．a>b>c

C．c>b>a   D．b>c>a

答案　C

解析　因为函数y＝x是增函数，

所以<，即a<b，

又因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，

所以<，

所以b<c，故c>b>a.

命题点2　找中间值

例2　(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c   B．a>c>b

C．b>a>c   D．c>b>a

答案　C

解析　因为1＝log55>log53>log5＝log5＝，

即<a<1，

b＝>20＝1,7－0.5＝<＝，

即0<c<，所以b>a>c.

命题点3　特殊值法

例3　已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是(　　)

A．ac<bc   B．abc<bac

C．alogbc<blogac   D．logac<logbc

答案　C

解析　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，

则ac＝，bc＝，

∴ac>bc，故A错误；

abc＝4×＝，bac＝2×＝，

∴abc>bac，故B错误；

logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，

∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误．

思维升华　利用特殊值作“中间量”

在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．

跟踪训练1　(1)已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则(　　)

A．a>b>c  B．a>c>b

C．c>b>a   D．c>a>b

答案　D

解析　因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，

所以1.60.6>0.60.6>0，

又b＝lg 0.6<lg 1＝0，

所以c>a>b.

(2)(2023·安阳模拟)已知a＝log20.3，b＝0.3，c＝，则(　　)

A．a<b<c   B．b<c<a

C．c<b<a   D．a<c<b

答案　D

解析　因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，0<0.3<1，

所以a＝log20.3<log21＝0，

又因为函数y＝x是减函数，0.3<1，

所以b＝0.3>，

而<2.5，

所以0<c＝<，

所以a<c<b.

题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小

例4　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．b<c<a   D．c<a<b

答案　A

解析　c＝>＝1，

a＝＝＝，b＝＝，

因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，且<，

所以a<b，

又<0＝1，即b<1，