第二章 §2.9 指、对、幂的大小比较[培优课]（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.9　指、对、幂的大小比较 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 例1　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 答案　C 解析　因为函数y＝x是增函数， 所以<，即a<b， 又因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增， 所以<， 所以b<c，故c>b>a. 命题点2　找中间值 例2　(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a 答案　C 解析　因为1＝log55>log53>log5＝log5＝， 即<a<1， b＝>20＝1,7－0.5＝<＝， 即0<c<，所以b>a>c. 命题点3　特殊值法 例3　已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是(　　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 答案　C 解析　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝， 则ac＝，bc＝， ∴ac>bc，故A错误； abc＝4×＝，bac＝2×＝， ∴abc>bac，故B错误； logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误． 思维升华　利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 跟踪训练1　(1)已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增， 所以1.60.6>0.60.6>0， 又b＝lg 0.6<lg 1＝0， 所以c>a>b. (2)(2023·安阳模拟)已知a＝log20.3，b＝0.3，c＝，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 答案　D 解析　因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，0<0.3<1， 所以a＝log20.3<log21＝0， 又因为函数y＝x是减函数，0.3<1， 所以b＝0.3>， 而<2.5， 所以0<c＝<， 所以a<c<b. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 例4　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b 答案　A 解析　c＝>＝1， a＝＝＝，b＝＝， 因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，且<， 所以a<b， 又<0＝1，即b<1， 所以a<b<c. (2)(2023·枣阳模拟)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b 答案　A 解析　∵a＝log34＝，b＝log45＝，c＝log56＝， ∴a－b＝－＝， ∵lg 3lg 5<＝<＝＝(lg 4)2， ∴(lg 4)2－lg 3lg 5>0，lg 3lg 4>0， ∴a－b>0，即a>b， 同理可证b>c，故a>b>c. 思维升华　求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况． 跟踪训练2　(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 答案　B 解析　c＝930＝360， a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c. (2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则(　　) A．b<a<c B．c<b<a C．a<c<b D．a<b<c 答案　D 解析　由题意得， a＝log63＝log6＝1－log62＝1－， b＝log84＝log8＝1－log82＝1－， c＝log105＝log10＝1－log102＝1－， 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 所以log26<log28<log210， 则>>， 所以a<b<c. 题型三　构造函数比较大小 例5　(1)已知a＝e，b＝3log3e，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．b<c<a D．a<b<c 答案　D 解析　设f(x)＝，x≥e， 则f′(x)＝≥0恒成立， ∴函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增， 又a＝f(e)，b＝3log3e＝＝f(3)，c＝＝f(5)， ∵e<3<5，∴f(e)<f(3)<f(5)， ∴a<b<c. (2)(2023·南宁模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．c>b>a C．a>c>b D．a>b>c 答案　D 解析　令f(x)＝(14－x)ln x， 则f′(x)＝－ln x＋－1. 因为y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，y＝－1在(0，＋∞)上单调递减， 所以f′(x)＝－ln x＋－1在(0，＋∞)上单调递减． 而f′(5)＝－ln 5＋－1>0，f′(6)＝－ln 6＋－1<0， 所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0. 所以f(x)＝(14－x)ln x在(6，＋∞)上单调递减． 所以f(6)>f(7)>f(8)， 即8ln 6>7ln 7>6ln 8， 故68>77>86.故a>b>c. 思维升华　某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小． 跟踪训练3　(1)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>1，则，，的大小关系是(　　) A.<< B.<< C.<< D.＝＝ 答案　B 解析　由x，y，z为正实数， 设log2x＝log3y＝log5z＝k>1， 可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5. ∴＝2k－1>1，＝3k－1>1，＝5k－1>1， 令f(x)＝xk－1， ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(2)<f(3)<f(5)， 即<<. (2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b 答案　B 解析　∵(e1.3)2＝e2.6<e3<33，(2)2＝28>33， ∴e1.3<2，∴a<0； b－c＝4－4－2ln 1.1＝2(2－2－ln 1.1)， 令f(x)＝2－2－ln x， ∴f′(x)＝－＝， ∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)min＝f(1)＝0， ∴f(1.1)>0，即2－2－ln 1.1>0， ∴c<b， 又c＝2ln 1.1>2ln 1＝0， ∴a<c<b. 课时精练 1．设a＝，b＝2，c＝log2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<a<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b 答案　B 解析　a＝＝>1，且<2＝b， 又c＝log2<log22＝1. 故c<a<b. 2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 答案　C 解析　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b. 3．设a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，则(　　) A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．a<c<b 答案　B 解析　a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝log32<log33＝1，c＝log3020<log3030＝1， 所以a>b，a>c， b－c＝log32－log3020＝－＝<0， 所以c>b，所以b<c<a. 4．(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则(　　) A．x>y>z B．y>x>z C．z>x>y D．x>z>y 答案　A 解析　因为3x＝4y＝10， 所以x＝log310>log39＝2；1＝log44<y＝log410<log416＝2， 则1<y<2，所以x>y>1， 而z＝logxy<logxx＝1， 所以x>y>z. 5．若e>b>a>，m＝ab，n＝ba，p＝logab，则m，n，p这三个数的大小关系为(　　) A．m>n>p B．n>p>m C．n>m>p D．m>p>n 答案　C 解析　因为e>b>a>， 所以取a＝2，b＝， 则m＝ab＝＝＝∈(5,6)， n＝ba＝2＝＝6.25， p＝logab＝log2∈(1,2)， 所以n>m>p. 6．(2023·茂名模拟)已知a＝sin 2，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．b<c<a 答案　D 解析　a＝sin 2>sin ＝>， ＝e3>24⇒>2⇒＝>ln 2， 即b<，∴a>b； ∵＝＝，3＝， ∴>， ∴c>b； ∵6＝，＝＝， ∴>， ∴a>c，∴b<c<a. 7．设a＝，b＝9sin ，c＝，则(　　) A．b<a<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 答案　B 解析　令f(x)＝sin x－x， 则f′(x)＝cos x－1≤0， 所以f(x)为减函数， 所以当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即sin x<x， 所以b＝9sin <9×＝<1， 又a＝>＝1，c＝>＝1，且a45＝105，c45＝39＝3×94<105， 所以b<c<a. 8．已知a＝22.1，b＝2.12，c＝ln 2.14，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a 答案　C 解析　构造函数f(x)＝x2，g(x)＝2x， 如图所示，当x∈(2,4)时，x2>2x， 所以f(2.1)>g(2.1)， 所以2.12>22.1>22＝4，即b>a， 又因为ln 2.14＝4ln 2.1， 且函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 所以ln 2.1<ln e＝1， 即ln 2.14＝4ln 2.1<4ln e＝4， 故b>a>c. 9．已知a＝5ln 4π，b＝4ln 5π，c＝5ln π4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<b<c 答案　C 解析　令f(x)＝(x≥e)， 则f′(x)＝， 可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减， ∴>， ∴5ln 4π>4ln 5π，∴a>b， 同理可得>， ∴4ln π>πln 4， ∴π4>4π， ∴5ln π4>5ln 4π， ∴c>a，∴b<a<c. 10．(2022·赣州模拟)已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则(　　) A．a>c>b B．c>a>b C．b>a>c D．a>b>c 答案　D 解析　由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1， 令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)， 则f′(x)＝ln(10.1－x)＋＝ln(10.1－x)＋1＋， 所以f′(x)在[－1,1]上单调递减， 又f′(1)＝ln 9.1＋1－＝ln 9.1－>0， 所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立， 所以f(x)在[－1,1]上单调递增， 所以f(1)>f(0)>f(－1)， 即a>b>c. 学科网（北京）股份有限公司 $$