第二章 §2.7 指数与指数函数（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.7　指数与指数函数

考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．

知识梳理

1．根式

(1)若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根．

(2)式子(n∈N，n≥2)叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数．

(3)()n＝a.

当n为奇数时，＝a，

当n为偶数时，＝|a|＝Error!

2．分数指数幂

正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N+，n>1)．

正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N+，n>1)．

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

3．指数幂的运算性质

aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．

4．指数函数及其性质

(1)概念：在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数y＝ax(x∈R)，这叫作指数函数，其中a>0，且a≠1.

(2)指数函数的图象与性质

 

常用结论

1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.

2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)＝－4.(　×　)

(2)2a·2b＝2ab.(　×　)

(3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．(　×　)

(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　)

教材改编题

1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　)

A．不确定  B．0  C．1  D．2

答案　C

解析　由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，

由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.

2．计算：＝________.

答案　1

解析　原式＝＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.

3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.

答案　2或

解析　若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝.

题型一　指数幂的运算

例1　计算：

(1)(－1.8)0＋－2·－＋；

(2)(a>0，b>0)．

解　(1)(－1.8)0＋－2·－＋

＝1＋

＝1＋2·2－10＋33

＝1＋1－10＋27＝19.

(2)

＝

＝2××8＝.

思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加．

②运算的先后顺序．