预习专题24 空间直线、平面的垂直13题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题24 空间直线、平面的垂直13题型分类 一、回顾两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)平行线的传递性 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 二、异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 三、直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 图示 四、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 五、直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 六、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 七、二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念： (1)这条直线叫做二面角的棱； (2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 　　　　 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 5.二面角的平面角： (1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 八、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 九、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 （一） 两直线的位置关系 熟记两直线的位置关系：相交、平行、异面. 题型1：异面直线的判断 1．（2024高二上·重庆铜梁·阶段练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 2．（2024高二上·北京海淀·期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）． 3．（2024高二上·北京海淀·阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 . ①②③④ 4．（2024高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是（　　） A．直线AC B．直线 C．直线 D．直线 5．（2024高二上·安徽合肥·阶段练习）在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有 （填上所有正确答案的序号）．    （二） 异面直线所成的角 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 题型2：异面直线所成的角 6．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）如图，在正方体中，是的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·山西大同·阶段练习）如图，在每个面都为等边三角形的四面体中，若点，分别为，的中点，试求异面直线与所成的角． 8．（2024高三上·河南驻马店·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二上·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·广西·模拟预测）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 11．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型3：由异面直线所成的角求其他量 12．（2024高一下·山东淄博·期末）在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 13．（2024高二上·上海闵行·开学考试）已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则 . 14．（2024高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，F为的中点，E为母线BC的中点，异面直线AC与EF所成角的余弦值为，，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． （三） 直线与直线垂直 要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直． 题型4：证直线与直线垂直 15．（2024高一下·全国·专题练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 16．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 17．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF. 18．（2024高一下·安徽·阶段练习）《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF的底面ABCD是边长为1的正方形，且△EAD、△FBC均为正三角形，棱EF平行于底面ABCD，EF＝2． (1)求证：AE⊥CF； (2)求三棱锥A-BCE的体积． 19．（2024高一下·安徽·阶段练习）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. （四） 直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 1.直线与平面垂直的定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 注：对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 题型5：直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 20．（2024高二上·上海徐汇·期末）已知直线和平面，若，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 21．（2024高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 22．（2024高一下·贵州遵义·阶段练习）已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是（　　） A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α 23．（2024高三上·河南郑州·期末）已知在正方体中，，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． （五） 直线与平面垂直的判定 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线. (3)根据判定定理得出结论. 题型6：直线与平面垂直的判定 24．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，已知，.证明：平面； 25．（2024高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 26．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面 27．（2024高二上·上海·专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足. 求证：⊥平面； 28．（2024高二上·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 29．（2024高二上·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. （六） 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线平行. 题型7：直线与平面垂直的性质 30．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 31．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，． 求证：； 32．（2024高一下·新疆直辖县级单位·阶段练习）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE. 33．（2024高一下·河南商丘·阶段练习）已知四边形是矩形，平面，，，为的中点.求证：.    34．（2024高二上·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.    35．（2024高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，边长为，，点为侧棱的中点，过，，三点的平面交侧棱于点.    (1)求四棱锥的体积； (2)求证：. 36．（2024高二·全国·课后作业）已知平面ABCD，则四边形ABCD满足 时，有．（试写出一个满足的条件） （七） 求直线与平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 题型8：直线与平面所成的角 37．（2024·陕西渭南·一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 38．（2024高二上·北京·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 39．（2024高三·全国·专题练习）如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．    40．（2024高一下·广西玉林·阶段练习）在正三棱锥中，，则侧棱PA与底面ABC所成角为（    ） A． B． C． D． 41．（2024高一下·江苏南通·期末）直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 42．（2024高一下·天津和平·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 43．（2024·江西九江·一模）在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型9：由直线与平面所成的角求其他量 44．（2024高三上·山东淄博·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面ABCD所成的角为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 45．（2024高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．    (1)平面平面，证明：． (2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积． 46．（2024高二上·上海长宁·期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ． 47．（2024高一下·河北保定·开学考试）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 .    （八） 平面与平面垂直的判定 证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 题型10：平面与平面垂直的判定 48．（2024·上海青浦·二模）已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 49．（2024高一下·河南商丘·阶段练习）如图所示，在三棱锥中，若，，，则在三棱锥的四个面中，互相垂直的面有（    ）对.      A．1 B．2 C．3 D．4 50．（2024高三·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 51．（2024高一下·全国·课后作业）在四棱锥中，⊥底面，且为正方形，则此四棱锥表面中互相垂直的面有（    ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 52．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.证明：平面平面.    53．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，为的中点，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接.证明：平面平面. 54．（2024高一下·全国·专题练习）在四面体中，分别是和的中点.证明：平面平面； 55．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD． 56．（2024高三·全国·专题练习）如图，在圆锥中，是底面的直径，且， 是的中点．求证：平面平面；    （九） 平面与平面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： (1)两个平面垂直； (2)直线必须在其中一个平面内； (3)直线必须垂直于它们的交线. 题型11：平面与平面垂直的性质定理 57．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面；    58．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．    59．（2024高三·全国·专题练习）如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．求证：平面； 60．（2024高一下·湖南永州·阶段练习）《九章算术·商功》记载：斜解立方，得两堑堵：斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.如图，在鳖臑中，，且平面平面．求证：    (1)平面； (2). 61．（2024高二上·江西宜春·期中）如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 62．（2024高一下·北京·期末）如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. （十） 二面角的求法 在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角. 题型12：二面角求解 63．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为 . 64．（2024高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 65．（2024高一下·河南商丘·阶段练习）如图，四边形是正方形，平面，且 . 求：    (1)求二面角的大小． (2)求二面角的大小. (3)求二面角的大小的正弦值． 66．（2024高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 题型13：由二面角求求其他量 67．（2024高二上·北京·阶段练习）正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于 ． 68．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 69．（2024高一·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P． (1)求证：平面⊥平面； (2)求二面角的大小． 70．（2024·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 71．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 72．（2024高三上·四川·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .    73．（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．    一、单选题 1．（2024高二上·山西朔州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·陕西西安·期末）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（2024高一下·新疆·阶段练习）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024高二上·湖北荆州·期末）如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面平面DAC，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024高二上·北京西城·期末）在长方体中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·山东·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（　　）    A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 7．（2024高三·上海·专题练习）设､为两条直线，、为两个平面，则下列命题中假命题是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 8．（2024高一·全国·课后作业）如图四面体P-ABC，PA＝2，，PA⊥平面ABC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E，则（　　） A．PB可能与DE垂直，△ADE的面积有最大值 B．PB可能与DE垂直，△ADE的面积没有最大值 C．PB不可能与DE垂直，△ADE的面积有最大值 D．PB不可能与DE垂直，△ADE的面积没有最大值 二、多选题 9．（24-25高三上·河南·阶段练习）如图，在中，平面，点在平面的同侧，，在平面内的射影的长分别为3，4，则（   ） A．平面 B． C．四棱锥的体积为 D．平面与平面的夹角的正弦值为 10．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 11．（24-25高三上·河北张家口·期末）已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点在下底面圆周上，为的中点，，则（    ） A．该圆柱的体积为 B．该圆柱的表面积为 C．直线与平面所成角为 D．二面角为 三、填空题 12．（2024高一·全国·课后作业）如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有 ． 13．（2024高一下·全国·课后作业）下列关于直三棱柱中点、线、面位置关系的说法正确的有 . ①直线与直线平行；        ②直线与平面垂直； ③直线与平面平行；    ④直线与平面垂直 14．（2024高三·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 15．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中： （1）二面角的大小为 ． （2）二面角的大小为 ． 16．（2024高一下·全国·课后作业）空间四边形ABCD中，，，是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是 . 17．（2024高一下·上海宝山·阶段练习）是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①，则， ②，则， ③，则， ④，则， 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 18．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形ABCD中，且AB与CD所成的角为，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为 . 19．（2024高三·全国·课后作业）如图，正三棱锥中，分别是的中点，P为上任意一点，则直线与所成角的大小是 ． 四、解答题 20．（2024高二下·福建莆田·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面. 21．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD． 22．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且，为等边三角形，G为边AD的中点，平面平面ABCD.    (1)求证：平面PAD； (2)若E为边BC的中点，在边PC上是否存在点F，使平面平面ABCD？证明你的结论. 23．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题24 空间直线、平面的垂直13题型分类 一、回顾两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)平行线的传递性 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 二、异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 三、直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 图示 四、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 五、直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 六、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 七、二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念： (1)这条直线叫做二面角的棱； (2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 　　　　 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 5.二面角的平面角： (1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 八、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 九、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 （一） 两直线的位置关系 熟记两直线的位置关系：相交、平行、异面. 题型1：异面直线的判断 1．（2024高二上·重庆铜梁·阶段练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据异面直线的定义逐一判断. 【详解】∵A、M、三点共面，且在平面，但平面，， ∴直线AM与是异面直线，故①错误； 因为平面，平面，但平面，， 所以直线AM与BN也是异面直线，故②错误； 因为平面，平面，但平面，， 所以直线BN与是异面直线，故③正确； 因为平面，平面，但平面，， 所以直线AM与是异面直线，故④正确． 故选：A． 2．（2024高二上·北京海淀·期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）． 【答案】异面 【分析】假设共面推出矛盾. 【详解】假设直线共面，平面， 由，则平面， 同理，平面，故共面， 这与是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线异面. 故答案为：异面. 3．（2024高二上·北京海淀·阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 . ①②③④ 【答案】② 【分析】根据异面直线的定义一一判定即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时， 而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意； 因为，即共面，易知平面，而平面， ，， 故与异面，故②符合题意； 当重合时，易知，则四边形是平行四边形， 则此时，故③不符合题意； 当重合时，显然，相交，故④不符合题意. 故答案为：② 4．（2024高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是（　　） A．直线AC B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正方体的结构特征结合线面垂直的性质推理作答. 【详解】在正方体中，连AC，如图，点E是矩形边的中点，直线AC与直线CE不垂直，A不是； 连接，由平面，平面，则，而， 又，平面，于是得平面，而平面，则，B是； 因，若，而，，平面， 则有平面，又平面，则与矛盾， 因此，直线与直线CE不垂直，直线与直线CE不垂直，C不是； 由选项A知，直线与直线CE不垂直，D不是. 故选：B 5．（2024高二上·安徽合肥·阶段练习）在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有 （填上所有正确答案的序号）．    【答案】②④ 【分析】根据异面直线的定义分别判断即可. 【详解】对①，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故①错误；    对②，、、三点共面，但面，因此直线与异面，故②正确； 对③，如图，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故③错误；   对④，、、共面，但面，与异面．故④正确. 故答案为：②④. （二） 异面直线所成的角 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 题型2：异面直线所成的角 6．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）如图，在正方体中，是的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，设正方体的棱长为，由四边形为平行四边形得出，所以异面直线和所成角为或其补角，在中求出三边长由余弦定理可得答案. 【详解】如下图所示，连接、、，设正方体的棱长为， 因为且，则四边形为平行四边形，故， 所以异面直线和所成角为或其补角， 因为， ， ， 由勾股定理可得， 由余弦定理可得， 由于，所以，所以. 故选：B. 7．（2024高一下·山西大同·阶段练习）如图，在每个面都为等边三角形的四面体中，若点，分别为，的中点，试求异面直线与所成的角． 【答案】 【分析】要求异面直线与所成的角，首先依定义作出其所成角，为此取的中点，连接、，根据三角形中位线性质知是异面直线与所成的角． 【详解】如图，连接，， 取的中点为，连接，. 又因为为的中点， 所以， 则为异面直线与所成的角(或补角)． 设四面体的棱长为a， 则， 又分别为的中点， 所以， 在等边中，， 所以，同理， 在中，因为， 所以， 所以 故是等腰直角三角形， 故，即异面直线与所成的角为. 8．（2024高三上·河南驻马店·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的概念，作， ，则是异面直线与所成的角（或补角），解三角形即可. 【详解】分别取的中点，连接.过点作，垂足为，则是的中点，如图所示， ，，所以，，四边形为平行四边形， 有，又，则是异面直线与所成的角（或补角）. ，，则有， 设，则，，，， ,,， 故. 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 9．（2024高二上·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平行关系将异面直线夹角转化为相交直线夹角，结合等腰三角形性质求解正弦值即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，取中点，连接， 则， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以或其补角是异面直线与所成角， 设正方体棱长为2，则， 在等腰中，是中点，所以， 所以， 即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：C 10．（2024·广西·模拟预测）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】取中点为，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角的定义可知：或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【详解】连接，，，取中点，连接，， ∵四边形，为矩形，∴，， 平面平面，平面，平面， ∴即为二面角的平面角，∴， 又，，∴，∴为等边三角形，∴； ∵，分别为，中点，∴，， ∴（或其补角）即为异面直线与所成角， ∵，∴， ∴， 所以异面直线与所成角的正弦值为． 故答案为：． 11．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据几何关系可知异面直线与所成角为或其补角，然后利用余弦定理求解出结果. 【详解】连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线与所成角为或其补角， 又因为且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱， 所以， 所以， 故选：A. 题型3：由异面直线所成的角求其他量 12．（2024高一下·山东淄博·期末）在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】连接，可得或，求解三角形即可求出. 【详解】如图，连接，在中，因为为中点，所以，， 在中，因为为中点，所以，， 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，所以， 当，由余弦定理可得，即， 所以的长为1或. 故选：C. 13．（2024高二上·上海闵行·开学考试）已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则 . 【答案】或 【分析】根据，，结合异面直线夹角的定义求解即可. 【详解】如图，因为、、分别为、、的中点，故，，故与所成的角即与所成的角为，且与相等或者互补，故或. 故答案为：或 14．（2024高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，F为的中点，E为母线BC的中点，异面直线AC与EF所成角的余弦值为，，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平行线寻找异面直线所成角，再运用线面垂直判定定理及线面垂直性质定理证得，进而求得半径r，代入圆柱体积公式计算即可. 【详解】如图所示， 取AB的中点O，连接OE、OF，因为E为母线BC的中点，所以，所以为异面直线、所成的角或其补角，则， 设圆柱的底面圆半径为r，则， 又因为F为的中点，所以，， 又因为，，面，所以面， 又因为面，所以， 在中，， 所以在中，，解得：. 所以圆柱的体积为. 故选：B. （三） 直线与直线垂直 要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直． 题型4：证直线与直线垂直 15．（2024高一下·全国·专题练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用平行关系，证明，转化为证明. 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 16．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 17．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可证明，可得直线与所成的角即为异面直线与所成的角，求出为直角即可. 【详解】如图，取CD1的中点G， 连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角. 又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1， ∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°. 所以CD1⊥EF. 18．（2024高一下·安徽·阶段练习）《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF的底面ABCD是边长为1的正方形，且△EAD、△FBC均为正三角形，棱EF平行于底面ABCD，EF＝2． (1)求证：AE⊥CF； (2)求三棱锥A-BCE的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）延长AB到M点，使，连接CM，FM，可证，根据勾股定理可得，从而得到. （2）在（1）的几何体中连接，取的中点为，连接，根据体积关系可得，据此可求体积. 【详解】（1）延长AB到M点，使，连接CM，FM，则， ∵平面ABCD，平面平面，平面， ∴. ∵，∴四边形AMFE是平行四边形，∴， 在△FCM中，， ∴，∴，即， ∴， （2）在（1）的几何体中连接，则， 因为，平面，平面， 故平面，故， 而，故. 在三棱锥中，由（1）可得是以为直角的等腰直角三角形， 而，故也为等腰直角三角形， 取的中点为，连接，则， 且， 因，故平面， 而，故，所以也为等腰直角三角形， 故， 故. 19．（2024高一下·安徽·阶段练习）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点F，勾股定理证明，可得. 【详解】证明：取的中点F，连，， 因为E为AC的中点，F为的中点， 所以，且. 在正三棱柱中，，所以， 在等边中，， 在中，. 则在中，， 所以，则有. （四） 直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 1.直线与平面垂直的定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 注：对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 题型5：直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 20．（2024高二上·上海徐汇·期末）已知直线和平面，若，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】充分性，以正方体为例，把直线和平面对应正方体的棱和面，举出反例即可；必要性利用线面平行的性质定理和空间平行线的性质判断即可. 【详解】必要性，若，则存在直线，， 由于，，得， 因为，，所以，必要性成立； 充分性：若平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足， ， 但平面，即，不满足充分性； 所以“”是“”的必要非充分条件； 故选：B.    21．（2024高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理即可得. 【详解】直线与平面内的两条相交直线垂直才可得直线与平面垂直， A、B不符，D中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符， 故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 22．（2024高一下·贵州遵义·阶段练习）已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是（　　） A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α 【答案】A 【分析】根据线面平行和线面垂直的判断定理，即可判断选项. 【详解】根据线面垂直的判断定理可知，直线需垂直于平面内的两条相交直线，故A错误，C正确；根据线面平行的判断定理可知，平面外的线平行于平面内的一条直线，即可证明线面平行，若直线l平行于α内的无数条直线，也可说明线面平行，故BD正确. 故选：A 23．（2024高三上·河南郑州·期末）已知在正方体中，，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定定理证明C，根据平面说明A，利用平面说明B，由说明D. 【详解】连接，作出图形如图所示， 因为且，所以为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 同理可证，即可证明平面， 又，平面，所以平面平面， 故平面，故C正确； 对于A，因为，平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，同理可证平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故B错误； 对于D，易知，而，，共面且与不平行，所以不垂直于，故D错误． 故选：C． （五） 直线与平面垂直的判定 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线. (3)根据判定定理得出结论. 题型6：直线与平面垂直的判定 24．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，已知，.证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由余弦定理求得，由勾股定理逆定理得，然后可由线面垂直的判定定理得证线面垂直． 【详解】在中，， 所以. 所以，故，则. 又，即. 平面， 所以平面. 25．（2024高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理求证； （2）根据线线垂直，利用线面垂直定理证明. 【详解】（1）因为，是的中点，所以. 在中，， 由已知，所以，所以. 又平面， 所以平面. （2）因为，是的中点， 所以. 由(1)知. 又因为平面， 所以平面. 26．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面 【答案】证明见解析 【分析】根据圆中直径所对圆周角为直角可得，由三角形中位线的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得结果. 【详解】证明：连接，则，因为点D为的中点，所以， 因为为的直径，所以，所以， 因为为的中点，D为的中点，所以，所以， 因为，平面， 所以平面. 27．（2024高二上·上海·专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足. 求证：⊥平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题目条件得到⊥平面，故⊥，结合⊥得到线面垂直. 【详解】∵为⊙O的直径， ∴⊥. 又⊥平面，平面， ∴⊥. 又∵，平面， ∴⊥平面. 又平面， ∴⊥. 又⊥，且，平面， ∴⊥平面. 28．（2024高二上·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正四棱柱特点结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过平行四边形的性质并结合面面平行的判定即可证明. 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为正方形，所以， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面. （2）因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面. 29．（2024高二上·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直判定定理即可证明； （2）设AC与BD交于点O，连接OE，则，结合线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又平面为菱形，所以， 又平面， 所以平面； （2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE， 则，又平面，平面， 所以平面. （六） 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线平行. 题型7：直线与平面垂直的性质 30．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN． 【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD， 所以AE∥MN. 31．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，． 求证：； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理，证明均与平面垂直，进而证明； 【详解】证明：如图，连接，． ∵平面，平面， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，平面， ∴平面． 又∵平面， ∴．同理可得， 又∵，平面， ∴平面． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵，，平面， ∴平面． ∴． 32．（2024高一下·新疆直辖县级单位·阶段练习）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE. 【答案】证明见详解 【分析】取的中点，连接，根据题意可证∥，进而结合线面平行的判定定理分析证明. 【详解】因为平面ACD，平面ACD，则∥， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，且， 由题意可得：∥，且， 则∥，且，则为平行四边形， 可得∥， 且平面BCE，平面BCE， 所以∥平面BCE.    33．（2024高一下·河南商丘·阶段练习）已知四边形是矩形，平面，，，为的中点.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】先利用矩形性质证出，由平面证出，从而得到平面，从而. 【详解】因为为的中点，，所以为等腰直角三角形， 由此可得，同理，所以， 即，又因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 34．（2024高二上·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.    【答案】证明见解析 【分析】由可证得，又，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可证明. 【详解】连接，设，则，， ，又，∴.    ∴，又， ∴，即， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 平面，∴. 35．（2024高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，边长为，，点为侧棱的中点，过，，三点的平面交侧棱于点.    (1)求四棱锥的体积； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出，利用棱锥体积公式求解； （2）由PD⊥平面ABCD，得PD⊥DC，又DC⊥AD，得DC⊥平面PAD，则DC⊥PA，又DE⊥PA，可得PA⊥平面CDEF，即可得出结论. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， ∵，，∴， ∴四棱锥的体积. （2）∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC， ∵DC⊥AD，AD∩PD＝D，AD，PD平面PAD， ∴DC⊥平面PAD，又PA平面PAD，∴DC⊥PA， ∵PD＝AD，E为侧棱PA的中点，∴DE⊥PA， ∵DC∩DE＝D，DC，DE平面CDEF，∴PA⊥平面CDEF， ∵CF平面CDEF，∴PA⊥CF． 36．（2024高二·全国·课后作业）已知平面ABCD，则四边形ABCD满足 时，有．（试写出一个满足的条件） 【答案】四边形ABCD为菱形.（答案不唯一） 【分析】根据线面垂直的性质可得，当四边形为菱形时，， 结合线面垂直的判定定理和性质即可证明. 【详解】如图， 因为平面，平面， 所以， 当四边形为菱形时，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以. 故答案为：四边形为菱形.（答案不唯一） （七） 求直线与平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 题型8：直线与平面所成的角 37．（2024·陕西渭南·一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出线面角的平面角，利用正三柱的性质设出边长即可求得结果. 【详解】取是的中点，连接，如下图所示： 设三棱柱底面边长为，可得， 由正三棱柱性质可知平面，所以即为直线与平面所成角的平面角， 易知，由勾股定理可得， 所以； 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 38．（2024高二上·北京·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得为与平面所成角，再利用勾股定理即可得解. 【详解】取中点，连接，如图， 在正三棱柱中，是正三角形，， 底面底面，， 又平面，平面， 为与平面所成角， 平面平面，， 由题意，， 在中，. 故选：A. 39．（2024高三·全国·专题练习）如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．    【答案】45° 【详解】解法一：如图2，作于E，由题意，平面，∴， 作于O，连接，则平面， ∴，从而在图1中，C、O、E三点共线， 在图1中，，，， ∴，而，∴，那么在图2中也有， 从而，故，即直线与平面所成的角为45°． 解法二：如图2，作于E，由题意，平面， 故即为与平面所成的角， 由三余弦公式，， ∴，故， 从而，∴直线与平面所成的角为45°．    40．（2024高一下·广西玉林·阶段练习）在正三棱锥中，，则侧棱PA与底面ABC所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中心点为得底面，可得为侧棱与底面所成的角，在直角三角形计算可得答案. 【详解】设的中心点为，连接，则底面， 所以为侧棱与底面所成的角，为的外接圆的半径， 因为，所以， 所以，因为，所以. 故选：B. 41．（2024高一下·江苏南通·期末）直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小. 【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点， 所以，而面，面，故， 又，面，故面， 则与平面所成角为，若， 所以，，则，故. 故选：A 42．（2024高一下·天津和平·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【详解】（1）连接，， 因为底面为平行四边形，为中点， 故与相交于， 因为为的中点， 则， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为， 由余弦定理得，即， 解得， 因为，所以⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为平面，， 所以平面； （3）取的中点，连接，则， 因为⊥平面，所以⊥平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为⊥，，由勾股定理得， 故， 由勾股定理得， 所以. 43．（2024·江西九江·一模）在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，连接，则可得即为与平面所成角，设，表示出，求出其范围，从而可求出的范围. 【详解】解：设，连接，则， 因为在正方体中，平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 所以即为与平面所成角． 设，， 因为， 所以， 因为，所以， 故选：C．    题型9：由直线与平面所成的角求其他量 44．（2024高三上·山东淄博·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面ABCD所成的角为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案. 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面， 因为上、下底面边长分别为2和4，所以， 故，， ，由于，故， 故该正四棱台的体积为. 故选：B 45．（2024高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．    (1)平面平面，证明：． (2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； （2）过点作的垂线，垂足为，所以平面，由题意可求得直线与平面的夹角为，可得点为中点，由等体积法求解即可. 【详解】（1）因为平面平面， 所以平面，平面， 又因为平面平面，所以． （2）过点作的垂线，垂足为，则， 因为平面，所以平面， 所以直线与平面的夹角为， 又，设， 则， 所以，所以， 所以M为CD中点，E为PC中点，    因为平面，所以平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为， 故 46．（2024高二上·上海长宁·期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，作出图形，求出正的高即可计算得解. 【详解】令正的中心为，连接，由平面，得是直线与底面所成的角， 即，而平面，则有，， 因此正边上的高， 所以正的边长为. 故答案为： 47．（2024高一下·河北保定·开学考试）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 .    【答案】 【分析】先利用直线与平面所成的角为，求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度. 【详解】若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨， 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图， 故点的轨迹长度为． 故答案为：.    （八） 平面与平面垂直的判定 证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 题型10：平面与平面垂直的判定 48．（2024·上海青浦·二模）已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系判断即可. 【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立； 反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立． 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 49．（2024高一下·河南商丘·阶段练习）如图所示，在三棱锥中，若，，，则在三棱锥的四个面中，互相垂直的面有（    ）对.      A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用面面垂直的判定即可求解. 【详解】∵，，,且平面, ∴平面，∵平面,∴平面平面， 又∵平面,∴平面平面， 同理可证：平面平面， ∴在三棱锥的四个面中，互相垂直的面有对， 故选：. 50．（2024高三·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 【答案】①②③ 【分析】根据线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明判断即可． 【详解】①由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故①正确； ②由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故②正确； ③由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故③正确； ④依题意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以, 因为，平面，所以平面，因为平面，所以,与矛盾，故④错误． 故答案为：①②③． 51．（2024高一下·全国·课后作业）在四棱锥中，⊥底面，且为正方形，则此四棱锥表面中互相垂直的面有（    ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】B 【分析】根据已知先判断线面垂直，再由线面垂直判断面面垂直可得. 【详解】因为，所以平面， 同理平面，平面，平面； 所以平面平面，平面平面，平面平面， 平面平面，平面平面，共5对. 故选：B． 52．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.证明：平面平面.    【答案】证明见解析 【分析】根据题意先证，，可得平面，结合面面垂直的判定定理分析证明. 【详解】因为平面，平面，则， 取中点，连接，    因为，，， 则，且，可知四边形为平行四边形， 又因为，，可知四边形为正方形， 则，⊥， 所以为等腰直角三角形， 故，，即， 又，平面，可得平面， 因为平面，所以平面⊥平面. 53．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，为的中点，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】首先由面面垂直性质得平面，进一步有，由几何关系得，由此结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】为直二面角的平面角，平面平面， 又平面平面，且平面， 平面，又平面，， 又在平面四边形中， 由题意可知，，， 又，平面平面，平面， 又平面，平面平面. 54．（2024高一下·全国·专题练习）在四面体中，分别是和的中点.证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过证明平面即可证得. 【详解】因为是的中点，所以. 又是的中点，所以. 因为，所以. 又，平面. 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 55．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD． 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直即可证明得到面面垂直. 【详解】 连接，，∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG，又由CD＝DA， 同理可证AC⊥DG，又∵BG∩DG＝G，BG，DG平面BGD ∴AC⊥平面BGD． ∵E，F分别为CD，DA的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD． 又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD． 56．（2024高三·全国·专题练习）如图，在圆锥中，是底面的直径，且， 是的中点．求证：平面平面；    【答案】证明见解析 【分析】易得，证明，可得，再根据线面垂直的性质得到，则可证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】因为是底面圆的直径，所以， 因为为的中点，为的中点，所以， 所以， 又因平面平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （九） 平面与平面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： (1)两个平面垂直； (2)直线必须在其中一个平面内； (3)直线必须垂直于它们的交线. 题型11：平面与平面垂直的性质定理 57．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面；    【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，进而得到，结合，可得，结合直角三角形的性质可得，再根据面面垂直的性质可得平面，进而得到，进而结合线面垂直的判定定理求证即可. 【详解】取的中点，连接，，     因为，， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，即，且，平面， 所以平面. 58．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．    【答案】证明见解析 【分析】结合面面垂直的性质定理，以及平面几何的性质，转化为证明，即可证明线面垂直. 【详解】证明：由条件、为等边三角形，为的中点， 则，，， 由余弦定理得 从而在中，， 得为直角三角形，且， 又面面，面面，且，面， 则由面面垂直的性质定理可得面 由面,所以 因此由，，，平面， 所以平面， 即面POD. 59．（2024高三·全国·专题练习）如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理可得，由勾股定理逆定理可得，再由线面垂直的判定定理可得答案. 【详解】在矩形中，， 又平面平面，平面平面=， 平面，所以平面， 又平面，所以， 在矩形中，， 又，所以， 所以， 又，平面， 所以平面. 60．（2024高一下·湖南永州·阶段练习）《九章算术·商功》记载：斜解立方，得两堑堵：斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.如图，在鳖臑中，，且平面平面．求证：    (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）先根据面面垂直性质定理证明平面，然后利用线面垂直性质和线面垂直的判定定理可证； （2）利用（1）中结论，先由面面垂直性质定理证明平面平面，然后结合面面垂直性质定理可得平面，然后可证. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又(即)，，平面， 所以平面.      （2）由（1）知，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. 61．（2024高二上·江西宜春·期中）如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要平面MBD⊥平面PCD，可以考虑PC⊥平面MBD，进而得出点M满足的条件即可 【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 62．（2024高一下·北京·期末）如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接，，根据正四棱柱的性质可得平面，平面，即可得到平面平面，即可得证； （2）首先证明面，即可得到平面平面，依题意平面与面重合时满足平面平面，即可确定的位置，从而得解； 【详解】解：（1）连接，，在正四棱柱中，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面， 且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面， 又，面，所以平面平面，又平面， 所以平面 （2）因为在正四棱柱，，面，面，所以， ，面，所以面，因为平面，所以平面平面，因为面面， 要使平面平面，则平面与面重合，即在的中点时满足题意，所以 （十） 二面角的求法 在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角. 题型12：二面角求解 63．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为 . 【答案】30° 【分析】根据题意，结合二面角的定义，可知为二面角的平面角，解直角三角形PCA即可得解. 【详解】由题可得，即， 如图： 平面ABC，平面ABC，， 又，，PC，平面PAC， 平面PAC， 而平面PAC，， 即为二面角的平面角， 在直角三角形PCA中，， 可得 故答案为： 64．（2024高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案. 【详解】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角；    又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 故选：A 65．（2024高一下·河南商丘·阶段练习）如图，四边形是正方形，平面，且 . 求：    (1)求二面角的大小． (2)求二面角的大小. (3)求二面角的大小的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二面角的定义及其几何关系可知为二面角的平面角，即可求解； （2）由已知可得平面，作的中点,的中点,连接,，,可知为二面角的平面角，即可求解； （3）根据已知得，，可知二面角的大小的平面角，在直角三角形中求其正弦值即可. 【详解】（1）∵平面，面, ∴,,∴为二面角的平面角， 又∵四边形是正方形，∴， 即二面角的大小为； （2）作的中点,的中点,连接,,,    ∵平面，面,∴, ∵，∴为等腰直角三角形， ∵为的中点，∴, 又∵,,平面,且, ∴平面,∴, ∵分别为和的中点，∴, ∴为二面角的平面角， ∵,∴平面,∴,∴, 即二面角的大小为； （3）连接,    ∵,,∴, ∴,∴二面角的大小的平面角， 又∵,,平面,且, ∴平面,∴, ∵,∴,∴, ∴ , 即二面角的大小的正弦值. 66．（2024高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出二面角的平面角，再计算各边长度，最后由余弦定理计算夹角. 【详解】    如图，取AB中点M，连接CM，DM 因为为等边三角形，为等腰直角三角形 所以， 故即为二面角的平面角. 因为， 所以， 所以 所以 即二面角的大小为. 故选：D. 题型13：由二面角求求其他量 67．（2024高二上·北京·阶段练习）正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于 ． 【答案】 【分析】根据题意，画出直观图，根据二面角的平面角的定义，找到其平面角为，在计算即为四棱锥的高. 【详解】如图所示， 取的中点为，底面中心为，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，所以， 中，，底面为正方形，故， 所以是二面角的平面角，即， 又在中，，所以，即该四棱锥的高为. 故答案为：. 68．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，从而得证； （2）由（1）可知，所以即二面角的平面角，在利用锐角三角函数计算可得； 【详解】（1）∵平面，平面，∴， ∵，，，如图过作交于点， 所以，，所以 ∴，， 又平面，， ∴平面，∵平面，∴平面平面． （2）由（1）知平面，平面，∴， 又有，故即二面角的平面角， ∵平面，平面，∴，所以 因为，所以 在中，， 所以二面角的余弦值为． 69．（2024高一·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P． (1)求证：平面⊥平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线线垂直得到线面垂直，进而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线线垂直，得到就是二面角的平面角，结合边长求出二面角的大小. 【详解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥． 又∵，平面， ∴⊥平面． 又平面， ∴平面⊥平面． （2）如图所示，取的中点F，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 因为，所以⊥，⊥， 故就是二面角的平面角． 又⊥平面，平面， 所以⊥， ∵， ∴， ∴． ∴二面角P－AD－E的大小为． 70．（2024·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． （2）如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角． 设，过作交于点G． 由得． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． 71．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出二面角的平面角以及AB与平面所成角，并表示出，结合三角形面积公式以及正弦定理表示出，结合范围确定范围，即可求得答案. 【详解】作，垂足为E，连接，    因为，即，平面， 故平面，平面，故， 又，故平面，平面， 则在内的射影在BE上，则为AB与平面所成角，即， 由于，，故为二面角的平面角，即， ， 在中，， 则， 而，则， 则， 故， 故选：C 72．（2024高三上·四川·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .    【答案】 【分析】根据题意，由条件可得是二面角的平面角，再将三棱锥补为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果. 【详解】    如图，作，交于，则， 过作交于点，连接. 因为为直三棱柱，则平面，且， 则平面，且平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以， 则是二面角的平面角， 所以，所以， 又，，所以，所以，. 可把三棱锥补成棱长为，，的长方体， 则三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的体积为. 故答案为： 73．（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．    【答案】存在， 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，得到为二面角的平面角的补角，即有，设，表达出其他边长，根据特殊三角函数值列出方程，求出，得到答案. 【详解】假设存在满足条件的点，连结，过作为垂足， 并延长与相交于，连结．    因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以． 所以为二面角的平面角的补角，即有． 设，则． 在中，，从而． 在中，，解得． 因此，存在符合题设条件的，且满足． 一、单选题 1．（2024高二上·山西朔州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可. 【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角. 由条件知：，则， 故选：C. 2．（2024高一上·陕西西安·期末）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据题意，求异面直线所成角，找到平行线，转化成平面角，即可求解. 【详解】由题意，作正方体，如下图所示：    连接，， ∴异面直线与即所成的角为. 由题可得为等边三角形，. ∴异面直线与所成的角为60°. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角，属于基础题. 3．（2024高一下·新疆·阶段练习）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用线面垂直的性质可得直角三角形，再利用线面垂直的判定得出BC⊥平面PAC，从而得到直角三角形的个数. 【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC． ∴△ABC为直角三角形． 又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内， ∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形， 又PA∩AC＝A，平面PAC,∴BC⊥平面PAC． ∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形， 从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形． 故选：D. 4．（2024高二上·湖北荆州·期末）如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面平面DAC，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，再在直角三角形中计算作答. 【详解】设正方形的边长为a，取AC的中点O，连接BO，则，过O作AD的平行线OE交CD于E，连接BE，如图，    因为平面平面DAC，平面平面，平面， 则平面DAC，而平面DAC，于是， 又，平面BOE，则平面BOE， 而平面BOE，即有， 因此为二面角的平面角，显然，， 有，即为直角三角形，有，则， 所以. 故选：C 5．（2024高二上·北京西城·期末）在长方体中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出的值即可得出答案. 【详解】长方体中，，， ，平面,平面,, 又平面平面， 为二面角所成的平面角， ， 所以二面角的余弦值为. 故选：D. 6．（2024高一上·山东·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（　　）    A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 【答案】D 【分析】利用面面垂直的判定定理结合题意逐个分析判断. 【详解】如图所示：    因为，，，所以四边形为直角梯形. 所以. 又因为，所以，即. 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 若平面平面，那么平面，显然不成立，故A错误； 因为平面， 又因为平面，所以.又，，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面，故D正确； 因为平面平面，过点作平面的垂线，垂足落在上，显然垂线不在平面内，所以平面与平面不垂直，故C错误，同理B也错误.    故选：D 7．（2024高三·上海·专题练习）设､为两条直线，、为两个平面，则下列命题中假命题是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据空间平面间的位置关系，面面垂直、平行的判定定理判断． 【详解】对于A，，，过空间一点作交平面于点，作交平面于点， 则，， 设确定的平面与的交线交于点，如图：    则，，所以，， 又，所以，可得四边形为矩形， 所以，， 所以，又，所以，故A正确； 对于B，若，，， 过作平面交平面于点直线，如图：    由得，又，所以， 又，所以，又，所以，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行也可能相交，故C错误； 对于D，若，，则，又，则，故D正确. 故选：C. 8．（2024高一·全国·课后作业）如图四面体P-ABC，PA＝2，，PA⊥平面ABC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E，则（　　） A．PB可能与DE垂直，△ADE的面积有最大值 B．PB可能与DE垂直，△ADE的面积没有最大值 C．PB不可能与DE垂直，△ADE的面积有最大值 D．PB不可能与DE垂直，△ADE的面积没有最大值 【答案】C 【分析】由题意∠ACB为锐角，假设PB⊥DE，由线面垂直判定及性质得∠ACB为直角，矛盾，由二面角的平面角范围得BC范围，利用相似求DE范围，结合面积公式求最值. 【详解】在中，因为，所以∠ACB为锐角， 假设PB⊥DE，因为AD⊥PB，，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE， 所以PB⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以PB⊥AE， 又AE⊥PC，，PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以AE⊥平面PBC， 又BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC， 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 又，PA⊂平面PAC，AE⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC， 所以BC⊥AC，与∠ACB为锐角矛盾，即假设不成立，故选项A和B错误， 因为AB＝AC，所以此模型可看成绕PA旋转得到， 因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB， 又PA＝2，，所以， 因为∠APB=∠DPA，∠PAB=∠PDA，所以∽， 所以，即，所以， 同理可得， 因为，∠DPE=∠BPC，所以∽，所以， 在旋转过程中，，则，故， 在等腰三角形ADE中，， 所以当时，取最大值， 此时，符合题意，即的面积有最大值，故C正确，D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高三上·河南·阶段练习）如图，在中，平面，点在平面的同侧，，在平面内的射影的长分别为3，4，则（   ） A．平面 B． C．四棱锥的体积为 D．平面与平面的夹角的正弦值为 【答案】BC 【分析】根据线面垂直可计算长度，即可判断A，根据梯形的边角关系即可求解B，利用等面积法可得长度，即可根据锥体体积公式求解C，根据线面垂直，可得为平面与平面的夹角，即可利用锐角三角函数求解D. 【详解】对于A选项，由，可得， 则四边形为直角梯形， 可得与不平行，故不平行于平面，故A选项错误； 对于B选项，由， 可得，故B选项正确； 对于C选项，如图，过点作，由， 有， 由于在平面内的射影故平面, 平面,故， 又，平面, 故平面， 又由四边形的面积为， 可得四棱锥的体积为，故C选项正确； 对于D选项，取的中点，连接，由， 有， 由平面，平面，则， 又由，平面, 平面，平面，可得，故为平面与平面的夹角， 又由，故D选项错误． 故选：BC． 10．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】BC 【分析】由线面平行的判定定理和性质定理可得A错误，B正确；由线面垂直的的性质可得C正确，D错误； 【详解】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，因为，，，所以，故B正确； 选项C中，因为，，所以，又，所以，故C正确； 选项D中，因为，，，所以，故D错误. 故选：BC. 11．（24-25高三上·河北张家口·期末）已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点在下底面圆周上，为的中点，，则（    ） A．该圆柱的体积为 B．该圆柱的表面积为 C．直线与平面所成角为 D．二面角为 【答案】AD 【分析】由几何关系结合圆柱的体积公式可得A正确；由圆柱的表面积公式可得B错误；由线面垂直得到线面角，再由正弦值可得C错误；由二面角的概念得到为二面角的平面角，再求其值可得D正确； 【详解】对于A，因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，又，平面，所以平面，即， 因为为的中点，所以为等腰直角三角形，所以， 又，为底面圆的直径，所以， 所以该圆柱的体积为，故A正确； 对于B，由A可得该圆柱的表面积为，故B错误； 对于C，因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 所以直线与平面所成角， 因为，所以，即，故C错误； 对于D，由C可得为二面角的平面角，因为为等腰直角三角形，所以，即二面角为，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 12．（2024高一·全国·课后作业）如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有 ． 【答案】平面，平面，平面 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，从而证明出平面⊥平面，同理可证明平面⊥平面，平面⊥平面. 【详解】连接面对角线，因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以平面⊥平面， 同理可知平面⊥平面，平面⊥平面. 故答案为：平面，平面，平面. 13．（2024高一下·全国·课后作业）下列关于直三棱柱中点、线、面位置关系的说法正确的有 . ①直线与直线平行；        ②直线与平面垂直； ③直线与平面平行；    ④直线与平面垂直 【答案】①②③ 【分析】对于①②，由三棱柱的定义可得；对于③，可用线面平行的性质得到；对于④，可举出反例. 【详解】如图，由直三棱柱的性质可知：①直线与直线平行，①正确； ②直线与平面垂直，②正确； ③因为，平面，，故直线与平面平行，③正确； ④不妨设为等边 ，则此时直线与平面不垂直，④错误. 故答案为：①②③. 14．（2024高三·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 【答案】①②③ 【分析】根据线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明判断即可． 【详解】①由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故①正确； ②由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故②正确； ③由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故③正确； ④依题意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以, 因为，平面，所以平面，因为平面，所以,与矛盾，故④错误． 故答案为：①②③． 15．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中： （1）二面角的大小为 ． （2）二面角的大小为 ． 【答案】 45°/ 90°/ 【分析】利用二面角的平面角的定义即得. 【详解】（1）在正方体中，AB⊥平面AD′，所以， 因此为二面角的平面角． 在中，， 所以二面角的大小为； （2）因为AB⊥平面，所以， 因此为二面角的平面角，又， 所以二面角的大小为. 故答案为：；. 16．（2024高一下·全国·课后作业）空间四边形ABCD中，，，是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是 . 【答案】垂直 【分析】由题意AC⊥BE，AC⊥DE，可得AC⊥平面BDE，从而平面BDE⊥平面ABC． 【详解】 如图，∵AB＝BC，CD＝DA，E是AC的中点， ∴AC⊥BE，AC⊥DE， 又BE∩DE＝E，BE,DE平面BDE， ∴AC⊥平面BDE， ∵AC平面ABC，∴平面BDE⊥平面ABC． 故答案为：垂直． 17．（2024高一下·上海宝山·阶段练习）是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①，则， ②，则， ③，则， ④，则， 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 【答案】①④ 【分析】根据立体几何相关定理逐项分析. 【详解】对于①，，必然存在一个平面使得，并且，又，正确； 对于②，如果，则结论不成立，错误； 对于③，如图：   ，构造平面，使得，并且，则，在平面内，作直线n，使得，显然，错误； 对于④，，又，正确； 故答案为：①④. 18．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形ABCD中，且AB与CD所成的角为，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为 . 【答案】或 【解析】取BD的中点G，连接EG，FG，可证即为EF与AB所成角. 【详解】如图，取BD的中点G，连接EG，FG， 则由三角形中位线定理得，，，， ∴，EF与AB所成角为. ∵AB与CD所成的角为， ∴或， ∴EF与AB所成角的大小为或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是通过平移将异面直线移到同一个平面，属于基础题. 19．（2024高三·全国·课后作业）如图，正三棱锥中，分别是的中点，P为上任意一点，则直线与所成角的大小是 ． 【答案】/ 【分析】连接，证明平面，从而，结合可得答案. 【详解】连接， ∵正三棱锥中，分别是的中点， ∴， 又平面， ∴平面， 又平面，∴， ∴直线与所成的角的大小是， 又因为分别是的中点，则, 故直线与所成角的大小是， 故答案为： 四、解答题 20．（2024高二下·福建莆田·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件证明平面，再通过线面垂直的性质得到线线垂直； （2）设，根据条件得到，再结合线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以. 因为，，， 所以，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以 （2）设，连接，    则是的中点， 又因为是的中点，所以 因为平面，平面， 所以平面. 21．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD． 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直即可证明得到面面垂直. 【详解】 连接，，∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG，又由CD＝DA， 同理可证AC⊥DG，又∵BG∩DG＝G，BG，DG平面BGD ∴AC⊥平面BGD． ∵E，F分别为CD，DA的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD． 又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD． 22．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且，为等边三角形，G为边AD的中点，平面平面ABCD.    (1)求证：平面PAD； (2)若E为边BC的中点，在边PC上是否存在点F，使平面平面ABCD？证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直即可； （2）当F为PC的中点时，满足平面平面ABCD.利用平面平面ABCD，可得平面ABCD，通过平行证明线面垂直，可得平面平面ABCD. 【详解】（1）如图，连接BD，因为底面ABCD是菱形，所以，又因为，所以是等边三角形. 因为G为边AD的中点，所以. 因为平面平面ABCD，平面平面，平面BAD，， 所以平面PAD.    （2）存在点F，且F为PC的中点. 证明如下：取PC的中点F，连接DF，EF，EG，CG，DE，PG，且CG与DE交于点M，连接FM. 因为且，E，G分别是BC，AD的中点，所以，且. 则四边形CEGD是平行四边形， 所以. 又因为，所以. 因为是等边三角形，G是AD的中点， 所以. 又因为平面平面ABCD，平面平面， 所以平面ABCD，所以平面ABCD. 又平面DEF， 所以平面平面ABCD. 23．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面 【答案】证明见解析 【分析】分别利用三角形相似和等腰三角形性质可得、，再由线面垂直的判定定理可得平面，而由可得答案. 【详解】由且， 可得，所以， 又由为的中点，所以， 因为为的中点，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为分别为的中点，所以，所以平面． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$