精品解析：山西省忻州市 2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，其中卷面分5分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 人们常说：“地下文明看陕西，地上文明看山西．”山西素有“三晋古建甲天下”之称，以下是山西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A B. C. D. 3. 冬季，是流感的高发期．最近一种新型病毒新“毒王”向人类袭来．现知道该病毒的半径约为米，它的直径用科学记数法可表示为（ ） A. m B. m C. m D. m 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，和，和是对应边，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 下面各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 8. 解分式方程时，在方程两边同乘，把原方程化为，这一变形过程体现的数学思想主要是（ ） A. 类比思想 B. 方程思想 C. 函数思想 D. 转化思想 9. C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A B. C. D. 10. 如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则线段的长度为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共85分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________． 12. 如图1，飞虹塔位于山西省洪洞县的广胜寺景区内，是第一批全国重点文物保护单位，呈三角形共十三层，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，则________． 13. 因式分解=______． 14. 若分式值为0，则的值是____________． 15. 如图，在中，的面积是42，的垂直平分线分别交边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算． （1）； （2）因式分解：． 17. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 19. 如图，已知是同一平面直角坐标系中的三个点，它们的坐标分别为． （1）请在示意图中建立平面直角坐标系． （2）顺次连接点得到，并作出关于y轴对称的． （3）的面积为___________． 20. 今年十月，国产游戏《黑神话·悟空》刮起的这股流量风终于吹到了山西隰县．爆火的隰县“小西天”玉露香梨备受人们欢迎，某玉露香梨基地10月1日开始采摘发售．采摘发售第一天，大果累计卖了18000元，中果卖了16000元，已知大果每箱单价比中果每箱多，且销量比中果少20箱． （1）求大果、中果每箱的售价分别是多少元？ （2）由于该玉露香梨色泽翠绿，果肉细腻多汁，口感清甜爽口，10月2日许多游客慕名而来，某单位旅客计划集体购买两种梨共100箱，预算购进的总费用不超过9000元，问至少购进中果多少箱？ 21. 学科实践近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之拖，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目主题 依数学之拖，解生活之谜 项目背景 测量分别位于河两岸的两个建筑物之间的距离 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 如图所示： 1．先在点所在的河岸上取一点，连接，并延长到点，使； 2．利用测角仪测得等于，并保证三点在同一直线上； 3．用皮尺测出两点的距离． 项目结论 ___________． 项目推广 用项目方法解决生活中的其他问题 根据上面的信息，解决下列问题： （1）项目结论：你得出的结论是___________，请你写出证明过程． （2）项目推广：如图①是一个青花瓷瓶，底部和瓶口皆为圆形，现在想知道它的底面圆内部的直径，请你设计一个测量方法，在图②中画出示意图并完成下表． 任务 测量青花瓷瓶底面圆内部的直径 测量工具 ____________ 实施步骤 ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ 22. 阅读理解： 我们已经知道，乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）可以用平面图形的面积来表示. （1）如图1，图中的大正方形由另外两个小正方形及两个大小相同的小长方形构成，利用大正方形的面积等于其它四个图形的面积之和可以得到一个乘法公式，写出这个公式： ． （2）实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，如图2的图形表示的等式是： ． （3）试用画图工具画出一个几何图形，使它能表示等式 ：，其中． 23. （1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，其中卷面分5分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 人们常说：“地下文明看陕西，地上文明看山西．”山西素有“三晋古建甲天下”之称，以下是山西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：第1、2、4个图可以找到一条直线使直线两旁部分能够互相重合， 即是轴对称图形的有3个， 故选：C． 2. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°， ∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°， ∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 3. 冬季，是流感的高发期．最近一种新型病毒新“毒王”向人类袭来．现知道该病毒的半径约为米，它的直径用科学记数法可表示为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方计算公式分别判断即可． 【详解】解：A、，故原说法错误，符合题意； B、，原说法正确，不符合题意； C、，原说法正确，不符合题意； D、，原说法正确，不符合题意， 故选：A． 5. 如图，，和，和是对应边，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，利用全等三角形的性质得出是解答本题的关键． 6. 下面各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式逐项分析即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：A、能用平方差公式计算，故符合题意； B、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据关于轴对称的点的横坐标不变纵坐标互为相反数可得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：C． 8. 解分式方程时，在方程两边同乘，把原方程化为，这一变形过程体现的数学思想主要是（ ） A. 类比思想 B. 方程思想 C. 函数思想 D. 转化思想 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，故利用的数学思想是转化思想． 【详解】解：解分式方程时，在方程两边同乘，把原方程化为，该方程为整式方程， ∴这一变形过程体现的数学思想主要是转化思想， 故选：D． 9. C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，解题关键是从题干中提取出等量关系式．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-C919所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 10. 如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则线段的长度为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含的直角三角形的性质等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键．如图，作于，则，，由，可得，则，，即可作答． 【详解】解：如图，作于， ∵点P在的平分线上，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即线段的长度为， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共85分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案． 【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键． 12. 如图1，飞虹塔位于山西省洪洞县的广胜寺景区内，是第一批全国重点文物保护单位，呈三角形共十三层，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，则________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的外角，根据除以正多边形的边数即可救出结果． 【详解】解：因为多边形是正八边形， 所以，， 故答案为：． 13. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 14. 若分式的值为0，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为零的条件为：分母不等于0，分子等于0，由此可得，，求解即可得解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在中，的面积是42，的垂直平分线分别交边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．根据中垂线的性质，得到，进而得到周长等于，根据三线合一，求出的长，即可得出结果．掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分，点为线段上一动点， ∴， ∴周长等于， ∵，点为边的中点， ∴，， ∴的面积为， ∴， ∴周长的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算． （1）； （2）因式分解：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂的运算，因式分解，正确计算是解题的关键． （1）分别计算负整数指数幂、零指数幂，和有理数的乘方以及乘法运算，最后进行加减计算； （2）先提取公因式，再由平方差公式进行分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）化简得，求值得 【解析】 【分析】本题考查解分式方程和分式的化简求值，熟练掌握解分式方程的步骤和分式的化简步骤是解题的关键． （1）按解分式方程的步骤求解即可，注意验根； （2）按分式混合运算的步骤先化简，再求值即可． 【详解】解：（1）， 两边同时乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，时，， 所以方程的解为； （2） ， 当时，原式． 18. 如图，点C、E、B、F一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用证得，再根据全等三角形的性质可得是解题的关键． 【详解】证明：证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴即． 19. 如图，已知是同一平面直角坐标系中三个点，它们的坐标分别为． （1）请在示意图中建立平面直角坐标系． （2）顺次连接点得到，并作出关于y轴对称的． （3）的面积为___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称、网格中求三角形的面积，掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据，即可建立平面直角坐标系； （2）顺次连接点得到，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同得到对应点，再顺次连接即可作出图形； （3）利用割补法求解面积即可． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系，如图： 【小问2详解】 解：如图，和即为所作： 【小问3详解】 解：的面积为：， 故答案为：． 20. 今年十月，国产游戏《黑神话·悟空》刮起的这股流量风终于吹到了山西隰县．爆火的隰县“小西天”玉露香梨备受人们欢迎，某玉露香梨基地10月1日开始采摘发售．采摘发售第一天，大果累计卖了18000元，中果卖了16000元，已知大果每箱单价比中果每箱多，且销量比中果少20箱． （1）求大果、中果每箱的售价分别是多少元？ （2）由于该玉露香梨色泽翠绿，果肉细腻多汁，口感清甜爽口，10月2日许多游客慕名而来，某单位旅客计划集体购买两种梨共100箱，预算购进的总费用不超过9000元，问至少购进中果多少箱？ 【答案】（1）中果每箱的售价80元，则大果每箱的售价100元 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设中果每箱的售价元，则大果每箱的售价元，再分别表示出各自购买数量，根据大果比中果少20箱建立方程，求解； （2）设购进中果箱，则购进大果箱，根据预算购进的总费用不超过9000元，建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设中果每箱的售价元，则大果每箱的售价元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则大果每箱的售价：元， 答：中果每箱的售价80元，则大果每箱的售价100元； 【小问2详解】 解：设购进中果箱，则购进大果箱， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进中果50箱． 21. 学科实践近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之拖，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目主题 依数学之拖，解生活之谜 项目背景 测量分别位于河两岸的两个建筑物之间的距离 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 如图所示： 1．先在点所在的河岸上取一点，连接，并延长到点，使； 2．利用测角仪测得等于，并保证三点同一直线上； 3．用皮尺测出两点的距离． 项目结论 ___________． 项目推广 用项目方法解决生活中的其他问题 根据上面的信息，解决下列问题： （1）项目结论：你得出的结论是___________，请你写出证明过程． （2）项目推广：如图①是一个青花瓷瓶，底部和瓶口皆为圆形，现在想知道它的底面圆内部的直径，请你设计一个测量方法，在图②中画出示意图并完成下表． 任务 测量青花瓷瓶底面圆内部的直径 测量工具 ____________ 实施步骤 ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ 【答案】（1），见解析 （2）两根足够长的细木棍、皮尺；步骤见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据证明全等，即可得到结论； （2）选用测量工具两根足够长的细木棍、皮尺，将两根细木棍的端点分别抵在花瓶底部的处，两根细木棍在瓶口处相交，交点记为点，然后在射线、上截取、，使，，再用皮尺测出的距离即为圆内部的直径，因为由操作可知，，，那么，故，因此的距离即为圆内部的直径． 【小问1详解】 解：结论是， 证明：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：选用测量工具两根足够长的细木棍、皮尺， 将两根细木棍的端点分别抵在花瓶底部的处，两根细木棍在瓶口处相交，交点记为点，然后在射线、上截取、，使，，再用皮尺测出的距离即为圆内部的直径，如图： 22. 阅读理解： 我们已经知道，乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）可以用平面图形的面积来表示. （1）如图1，图中的大正方形由另外两个小正方形及两个大小相同的小长方形构成，利用大正方形的面积等于其它四个图形的面积之和可以得到一个乘法公式，写出这个公式： ． （2）实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，如图2图形表示的等式是： ． （3）试用画图工具画出一个几何图形，使它能表示等式 ：，其中． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用图形表示多项式乘法和完全平方公式，解题的关键是数形结合． （1）用两种方式表示正方形的面积进行解答即可； （2）用两种方式表示长方形的面积即可得出答案； （3）根据可以构造长为，宽为的长方形． 【小问1详解】 解：根据正方形的面积公式，正方形的面积可以表示为：， 用两个正方形和两个长方形的面积相加可以表示出正方形的面积为：， 则可以得到的乘法公式为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：长方形的长为，宽为，则长方形的面积为：， 长方形的面积可以表示为：， ∴图形表示的等式为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴可以构造长为，宽为的长方形，如图所示： 则长方形的面积为：， 长方形的面积也可以表示为：， ∴图形表示的等式为：． 23. （1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由全等三角形的性质得出，，由角的和差关系即可求出．由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； ② ∵， ∴； （2），，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴ ∴，， ∴，． ∴． （3）∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $