精品解析：河北省衡水市武邑县职业技术教育中心2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度高三数学月考试题 （满分：120分 考试时间：120分钟 ） 一、选择题（每个小题3分，共60分） 1. 若集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数单调性解不等式可化简集合，再化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】由，得，即，所以， 又， 则. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数值求角，结合充分必要条件判定即可. 【详解】可以推出，即充分性成立； 但是不一定得出，例如，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 3. 若，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合指数函数和对数函数的单调性判断即可. 【详解】选项A：因为，所以， 又因为函数在其定义域内为增函数，所以，故A正确； 选项B：因为，即，所以，故B错误； 选项C：因为，所以，即，故C正确； 选项D：函数在其定义域内为增函数，且，所以，故D正确. 故选：B. 4. 设不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解含参数的绝对值不等式求得，即可求解. 【详解】不等式，显然， 不等式可化为，解为， 又不等式的解集为， 所以，解得， 即， 故选：A 5. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性的定义以及导函数判断即可. 【详解】A：对于，定义域为R，定义域关于原点对称， ，不是奇函数，故A错误； B：，定义域为R，定义域关于原点对称， ，不是奇函数，故B错误； C：，定义域为R，定义域关于原点对称， ，为奇函数， 又因为，， 所以在区间不是单调递减，故C错误； D：，定义域为R，定义域关于原点对称， ，为奇函数， 又，令，得， 所以在上单调递减.故D正确. 故选：D. 6. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的奇偶性得到关于的关系式，再由的任意性即可得解. 【详解】因为， 因为为奇函数，所以， 即， 则，由于的任意性可知，则. 故选：A. 7. 若函数为对数函数，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的定义得到关于的方程与不等式组，解之即可得解. 【详解】因为为对数函数， 所以，即，则. 故选：A. 8. 设，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断得，再利用对数函数与指数函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 则在上是减函数， 所以， 由于，则在上是减函数， 所以， 因为在上是增函数，且恒成立， 又，则，所以， 综合，， 故选：B. 9. 若函数在上为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由对数函数的定义判断得内函数单调递减，再利用对数型函数的单调性与一次函数的单调性，分类讨论的取值范围即可得解. 【详解】对于，必有且， 令，则由，得在上单调递减， 又在上为增函数，则在上必有， 则，解得， 当时，在其定义域上单调递减， 所以在上单调递增，满足题意，则； 当时，在其定义域上单调递增， 所以在上单调递减，不满足题意； 综上，，即的取值范围是. 故选：C. 10. 设，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正余弦函数的单调性判断得，再利用三角函数的基本关系式与倍角公式即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以， 所以， 则 故选：B. 11. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦型函数的性质求得，再代入利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值求即可得解. 【详解】因为， 当时，取得最大值， 此时，即， 由题意可知， 则. 故选：B. 12. 在中，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理和已知条件得到，再根据的范围求得，即可求解. 【详解】在中，满足余弦定理， 因为，所以， 得到， 又，所以， 因为，故， 故选：A. 13. 已知等比数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式得到关于的方程，解后再求得其前三项，从而得解. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，， 即， 即，则，解得或， ∴，，或，，， ∴. 故选：A. 14. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，从而可求. 【详解】因为，， 所以. . . 故选：C 15. 已知是等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式，结合整体法求解即可. 【详解】因为是等比数列，设公比为， 所以， 又因为，所以，解得， 则， 又因为， 所以， 故选：B. 16. 在中，角的对边为，若与垂直，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表与正弦定理的边角变换，结合正弦函数的和差公式与性质求得，从而得解. 【详解】因为与垂直， 所以，即， 由正弦定理，得，则， 因为在中，，所以， 所以，即，所以是等腰三角形. 故选：A. 17. 过点且与圆相切的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设定切线方程，由圆的标准方程得到圆心和半径，根据圆心到切线的距离等于半径，即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 过点的直线与圆相切， 若斜率不存在，则，显然不成立， 设切线的斜率为，则切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 可化为，解得， 所以切线方程为， 故选：B. 18. 若圆上到直线的距离为2的点恰有3个，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的标准方程得到圆心坐标，求得圆心到直线的距离为，根据圆上的点到直线距离为2的点有3个，得到，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上到直线的距离为2的点恰有3个， 所以，即，则. 故选：C. 19. 已知直线经过点，其斜率为．若与圆相交所得弦的长为，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设定直线方程，根据圆的标准方程得到半径和圆心坐标，计算圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算弦长，即可求解. 【详解】因为直线经过点，其斜率为， 设其方程为，即， 圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 又与圆相交所得弦的长为， 所以， 可化为，解得， 故选：C. 20. 焦点在轴上的抛物线上一点到焦点的距离为，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析抛物线的特征设定其方程，根据点到焦点的距离等于其到准线的距离，即可求解. 【详解】抛物线的焦点在轴上，且点在抛物线上，所以抛物线开口向左， 设抛物线的方程为，准线方程为， 又抛物线上一点到焦点的距离为，而点到焦点的距离等于其到准线的距离， 所以，解得， 故抛物线的方程为， 故选：D. 二、填空题（每个小题3分，共15分） 21. 圆关于直线的对称圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由圆的方程得到其圆心与半径，再利用点关于对称求得对称圆的圆心，从而由圆心与半径求得对称圆的方程，由此得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 设圆心关于，即对称的点为， 所以，解得， 所以对称圆的圆心为，半径为， 则对称圆的方程为. 故答案为：. 22. 若直线与直线平行，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两直线平行的性质得到关于的关系式，进而求得，再利用正余弦的齐次式法，结合三角函数的倍角公式与基本关系式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 由，得，显然， 所以， 则. 故答案为：. 23. 为椭圆上一点，的中点为，若，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和椭圆中焦点三角形的中位线性质，即可求解. 【详解】 因为椭圆，所以， 又的中点为，连接，在中，是中位线， 所以， 即，又， 所以， 故答案为：6. 24. 直线与双曲线的交点个数是______. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的方程求得其渐近线方程，利用直线平行与双曲线渐近线的性质即可得解. 【详解】对于，令，得， 所以双曲线的渐近线为， 显然直线与其中一条渐近线平行， 由双曲线渐近线的性质可知，直线与双曲线只有1个交点. 故答案为：. 25. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，则线段的中点到轴的距离是______. 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线方程求得，从而利用焦半径公式求得，再利用中点坐标公式即可得解. 【详解】对于，有，则， 依题意，设，， 则，， 因为，所以，则， 又AB的中点的横坐标为， 所以线段AB的中点到y轴的距离是4. 故答案为：4. 三、解答题（共45分） 26. 已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义及运算和空集的定义，结合不等式的解法求解即可. 【详解】由得，解得或， 所以集合或， 当时，， 此时满足，符合题意； 当时，， 由得，解得：， 综上所述，实数的取值范围为. 27. 已知对数函数满足. （1）解不等式； （2）求函数的递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设对数函数解析式为且，由已知条件求出的值，再结合对数函数的单调性求解不等式即可； （2）由（1）可知，进而可求得函数的解析式，再根据复合函数的单调性法则求解即可. 【小问1详解】 设对数函数解析式为且， 因为对数函数满足，即，解得， 所以对数函数解析式为：， 因为，所以函数在上单调递减， 所以当，即时， 有，则或， 所以的解集为. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，其定义域为， 令，可知其在上单调递减，在单调递增， 又因为函数在定义域上单调递减， 由复合函数的单调性法则可知的递增区间为. 28. 若函数在一个最小正周期内的图象中，最高点坐标为，最低点坐标为，且过点. （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域和递增区间. 【答案】（1） （2）函数的值域为，递增区间为 【解析】 【分析】（1）根据函数的最高点和最低点可求解的值和周期，再将点代入函数解析式即可求解. （2）根据正弦型函数的值域和单调性求解即可. 【小问1详解】 因为最高点坐标为，最低点坐标为，所以， 又因为，即， 所以可得，可得， 此时函数为， 又因为函数过点，则， 由于，所以， 因此函数的解析式为. 【小问2详解】 对于，所以， 正弦函数在的值域是， 因此的范围是，即值域为， 函数在时单调递增， 即单调递增区间为， 当，单调递增区间为， 由于，递增区间为， ，单调递增区间为，不在给定区间内， 所以，函数的递增区间为. 29. 已知各项都为正数的等差数列满足，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式列式即可得解； （2）利用等差数列的求和公式，结合裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 依题意，设数列的公差为， 因为，且成等比数列， 所以，解得， 则. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 则， 故数列的前项和. 30. 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段中点的横坐标为. （1）求直线的方程； （2）求； （3）求的面积. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线方程得到焦点，设定直线方程，结合韦达定理计算线段的中点，即可求解. （2）根据（1）得到，，再结合即可求解. （3）先计算原点到直线的距离，结合（2）中的长，即可求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线方程，消去得， 则，， 因为线段中点的横坐标为，所以，即， 化简得，所以， 即，解得， 所以直线的方程为或， 即或； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 则， 【小问3详解】 因为直线的方程为或， 所以原点到直线的距离或， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高三数学月考试题 （满分：120分 考试时间：120分钟 ） 一、选择题（每个小题3分，共60分） 1. 若集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 设不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数为对数函数，则=（ ） A. B. C. D. 8. 设，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数在上为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 设，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 12. 在中，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 13. 已知等比数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 15. 已知是等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 16. 在中，角的对边为，若与垂直，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 17. 过点且与圆相切的直线方程是（ ） A. B. C. D. 18. 若圆上到直线的距离为2的点恰有3个，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 19. 已知直线经过点，其斜率为．若与圆相交所得弦的长为，则=（ ） A. B. C. D. 20. 焦点在轴上的抛物线上一点到焦点的距离为，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每个小题3分，共15分） 21. 圆关于直线的对称圆的方程为______. 22. 若直线与直线平行，则______. 23. 为椭圆上一点，的中点为，若，则______. 24. 直线与双曲线的交点个数是______. 25. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，则线段的中点到轴的距离是______. 三、解答题（共45分） 26. 已知集合，.若，求实数的取值范围. 27. 已知对数函数满足. （1）解不等式； （2）求函数的递增区间. 28. 若函数在一个最小正周期内的图象中，最高点坐标为，最低点坐标为，且过点. （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域和递增区间. 29. 已知各项都为正数的等差数列满足，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，令，求数列的前项和. 30. 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段中点的横坐标为. （1）求直线的方程； （2）求； （3）求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $